鉆地爆炸耦合地沖擊等效計算理論與方法

徐天涵，邱艷宇，謝 方，王明洋，3

（1.陸軍工程大學 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2.武漢理工大學 道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070；3.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094）

目前，軍事強國已投入實戰(zhàn)的制導鉆地炸彈侵徹更深，破壞作用更大，對淺層防護工程構成現(xiàn)實威脅；已列裝的鉆地核彈爆炸產生的耦合地沖擊作用對深層防護工程威脅巨大。鉆地爆炸對地下工程產生的破壞效應與其地沖擊特征密切相關。因此，準確評估地沖擊是地下防護工程設計計算的基礎。

與空爆和觸地爆相比，地下爆炸的耦合地沖擊強度大大增強，且隨著埋深增大，地沖擊強度增大。達到封閉爆埋深時，地沖擊強度達到最大值，不再隨埋深增大而增大。由于封閉爆可簡化為無限介質中的球對稱爆炸，因此可方便地利用爆炸力學理論進行計算［1-2］。對于觸地爆和非封閉的地下爆炸，由于地表自由面的影響，理論求解較為困難，一般利用試驗手段測量地沖擊大小，或進行數(shù)值模擬計算。為表征地沖擊的耦合程度，引入耦合系數(shù)，其定義為地下爆炸地沖擊與封閉爆或觸地爆地沖擊的比值。若以封閉爆為基準，則耦合系數(shù)小于1，僅當封閉爆時耦合系數(shù)等于1，表征了地表自由面對地沖擊的削減作用；若以觸地爆為基準，則在地表時耦合系數(shù)等于1，隨埋深增大耦合系數(shù)增大，表征了埋深增大對地沖擊的放大作用。

以不同的地沖擊參數(shù)為研究對象，可得到不同的耦合系數(shù)。目前較為常用的為美國學者根據(jù)數(shù)值模擬給出的和俄羅斯學者根據(jù)試驗給出的地沖擊能量耦合系數(shù)曲線［3-4］。地沖擊能量指介質運動的機械能。此外，國內外研究人員利用不同埋深的化爆試驗給出了不同介質中地沖擊應力、等效當量等參數(shù)的耦合系數(shù)變化曲線［5-14］。利用耦合系數(shù)可以直觀表征地下爆炸的耦合效率，同時也可方便計算任意深度的地沖擊大小。

相關研究已取得了較為豐富的成果，但對于耦合系數(shù)的計算仍主要依靠試驗和數(shù)值模擬，對于地沖擊的耦合機理和理論表征仍需進一步研究。不同耦合系數(shù)之間的轉換關系尚未給出，導致不同的研究成果之間難以形成統(tǒng)一、普適的結果。本文在現(xiàn)有研究基礎上，針對上述問題，分析地沖擊與爆炸破壞區(qū)尺寸的關系，據(jù)此建立不同耦合系數(shù)之間的轉換關系，給出耦合系數(shù)計算方法。

1 地下爆炸破壞區(qū)特征與常用耦合系數(shù)

鉆地爆炸瞬間，與裝藥直接接觸的介質受到強烈壓縮，介質結構完全破壞，在擠壓作用下形成一個空腔，該范圍稱為壓縮范圍，對應半徑為壓縮半徑ra。介質中爆炸壓力隨爆心距增加迅速減小，當壓力小于巖體介質的壓縮強度時，介質不會壓壞。但介質仍在進行徑向運動，因此在環(huán)向會受到拉應力作用，若拉應力大于巖體抗拉強度，則會產生徑向裂縫，由于巖體、混凝土等介質的抗拉強度比抗壓強度小得多，因此壓縮范圍外就出現(xiàn)了比壓縮范圍大得多，以產生裂縫為主的破壞區(qū)，其半徑為破壞半徑rp。破壞范圍外只產生很小的彈性變形，稱為彈性區(qū)。當空腔內爆炸產物卸荷后，受壓縮的空腔會向爆心方向發(fā)生部分回彈，從而在介質中產生環(huán)形裂縫。

對于接觸爆炸，如圖1a所示，其裝藥中心位于地表，壓縮范圍與破壞范圍的截面形狀近似拋物線型［15］，此時爆心下方的壓縮半徑與破壞半徑分別為ra0與rp0，地表水平面的壓縮（成坑）半徑與破壞半徑分別為ra*與rp*。接觸爆炸的壓縮半徑與破壞半徑比封閉爆炸的要小，這是由于部分能量泄入空氣中，減小了裝藥對介質的破壞作用。

圖1 地下爆炸示意圖Fig.1 Diagram of underground explosions

對于地下爆炸，如圖1b所示，比例埋深（爆深與當量的立方根之比）為hˉ時爆心下方壓縮半徑與破壞半徑分別為rah與rph。隨著埋深增加，壓縮半徑與破壞半徑逐漸增加，直至某一深度后與封閉爆炸的值相等，繼續(xù)增加埋深也不再變化。

對于完全封閉爆炸，如圖1c所示，地表自由面的影響可忽略，爆炸后周圍介質同時受到爆炸產物的作用，爆炸產生的壓縮區(qū)與破壞區(qū)均近似為球形，半徑分別為rac與rpc。相關研究［1，2，16］已形成了較為準確的計算公式。

淺埋爆炸地沖擊是十分復雜的耦合作用問題，理論研究和試驗均存在困難。通常是通過耦合系數(shù)將其轉化為等效的封閉爆炸或接觸爆炸進行計算。國內外常用的地沖擊耦合系數(shù)有如下幾種：

（1）地沖擊能量耦合系數(shù)ηe，定義為相同介質、相同爆炸當量情況下，地下爆炸地沖擊能量與封閉爆炸地沖擊能量之比［3］，即

式中：Wsc為封閉爆炸地沖擊能量；Wsh為比例埋深hˉ處的爆炸地沖擊能量。

地下爆炸地沖擊能量向四周傳遞，但對地下防護工程安全設計而言，有效的地沖擊能量通常是位于爆心下方半空間的部分。因此，對應的耦合系數(shù)即可分為全部能量耦合系數(shù)ηet和有效能量耦合系數(shù)ηef。通過數(shù)值模擬和現(xiàn)場試驗，美國學者與俄羅斯學者分別給出了地下核爆的有效能量耦合系數(shù)曲線［3-4］，如圖2所示。

圖2 美國與俄羅斯有效能量耦合系數(shù)曲線Fig.2 Curves of effective energy coupling factor of the United States and Russia

（2）當量耦合系數(shù)ηQ，定義為相同介質、相同爆距處，產生相同地沖擊參數(shù)大小的封閉爆炸與地下爆炸的當量之比［12］，即

式中：Q為比例埋深為hˉ的爆炸當量；Qeff為等效的封閉爆炸當量。

利用當量耦合系數(shù)可以方便地換算地下爆炸對應的封閉爆當量，文獻［10-12，14］通過不同埋深處的爆炸試驗，給出了不同介質中的當量耦合系數(shù)隨比例埋深的變化曲線。

（3）地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)ησ，定義為相同介質、相同當量、相同爆心距情況下地下爆炸地沖擊參數(shù)與封閉爆炸地沖擊參數(shù)之比［5］，即

式中：σ、v、a、u分別為地沖擊應力、粒子速度、粒子加速度以及介質位移；下標h與c分別代表比例埋深為hˉ以及封閉爆炸的情況。

美國工程兵水道試驗站給出了混凝土和土中化爆的地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)曲線［5］，文獻［10-12，14］通過試驗得到了不同介質中的應力、加速度耦合系數(shù)曲線。

（4）填塞系數(shù)m，定義為相同介質，相同爆炸當量條件下，地下爆炸壓縮半徑與接觸爆炸壓縮半徑之比，即

根據(jù)定義，上述前3 種耦合系數(shù)在封閉爆炸時等于1，非封閉時小于1；填塞系數(shù)m在接觸爆炸時等于1，在封閉爆炸時為大于1的常數(shù)。

國內外上述幾種表述的耦合系數(shù)曲線主要由試驗得到，系數(shù)之間關系不清，適用范圍受介質所限。為此，本文通過理論揭示耦合地沖擊機理，闡明上述耦合系數(shù)之間的關聯(lián)性，并提出便于防護工程應用的當量耦合系數(shù)和填塞系數(shù)計算方法。

2 地下爆炸地沖擊耦合系數(shù)計算理論

2.1 地沖擊能量計算

首先研究封閉爆炸與接觸爆炸的地沖擊能量與破壞區(qū)體積的關系。對于封閉爆炸，計算簡圖如圖1c所示，可視為處于無限均勻介質中。在彈性區(qū)內，爆炸引起的介質運動可以看作是半徑為r的球面擴張問題。在r處介質徑向應力為σr，半徑為r的球面相當于一個能量“源”，從球面輻射出的能量完全等于球面上介質應力所做功。由此可得輻射能量為

式中：Sr= 4πr2為半徑為r的球面表面積；ur為r處介質的徑向位移；ur(∞)為時間趨于無窮時的最終位移。

積分式（5）后可得到兩項，分別代表介質的靜態(tài)彈性勢能與向遠處傳播的動能。地沖擊能量指的就是介質運動動能，可寫為［17］

式中：B*=[5+3(1+24ν)2]/64，ν為介質泊松比；τs為介質剪切強度；G為介質剪切模量；cp與cs分別為介質的縱波波速與剪切波速；Vpc=4πr3pc/3 為破壞范圍邊界所包圍介質體積。

對于接觸爆炸，計算簡圖如圖1a所示，爆心上方的能量耗散至空氣中，地沖擊能量僅存在于爆心下方的半空間范圍，因此有效能量與全部能量相等。

爆心下方破壞區(qū)范圍為rp0，地表水平面上破壞區(qū)半徑為rp*，假設破壞區(qū)邊界截面為拋物線［15］，則可得爆心下方破壞區(qū)邊界面積為

耦合能量計算式（5）的本質是將單位面積能量流對破壞區(qū)邊界面積進行積分。對于任意形狀的破壞區(qū)表面，可將其按面積等效為半球面［18］，因此對于式（7），有Sp0=4πrp0rp*/3=2πrˉp02，rˉp0為等效半球半徑，可得接觸爆炸向下傳播的地沖擊能量為

式中：Vp0=2πrˉ3p0/3。

由式（6）和式（8）可知，封閉爆炸和接觸爆炸的地沖擊能量與破壞體積成線性關系，單位破壞體積的能量相等，且為僅與介質性質有關的常數(shù)。

綜上可知，對于比例埋深為hˉ的地下爆炸，破壞半徑rph介于rpc和rp0之間，破壞體積Vph介于Vpc和Vp0之間，因此地沖擊能量Wsh介于Wsc與Ws0之間。

封閉爆炸的壓縮半徑與破壞半徑一般呈線性關系。但對非封閉爆炸而言，自由面的影響加大了破壞范圍，根據(jù)文獻［19］的研究，壓縮半徑ra與破壞半徑rp的關系為

式中：θ為介質參數(shù)。

從式（9）可以看出，rp與ra的比值存在尺度放大效應。

2.2 地下爆炸耦合系數(shù)的理論表征

2.2.1 全部能量耦合系數(shù)與有效能量耦合系數(shù)

根據(jù)公式（1），結合公式（6）和（8），全部地沖擊能量耦合系數(shù)ηet表述為

式中：0.5 ≤ξ≤1.0，為隨埋深變化的系數(shù)，表征地下爆炸破壞區(qū)封閉度。

接觸爆炸時破壞區(qū)可等效為半球，ξ=0.5；封閉爆炸時為完整球形，ξ=1.0。

有效地沖擊能量耦合系數(shù)ηef表述為

式中：WshL與VphL分別為比例埋深hˉ處地下爆炸爆心下方半空間的地沖擊能量和破壞區(qū)等效半球體積。需要注意的是，非封閉爆炸的有效地沖擊能量WshL不等于全部地沖擊能量Wsh的一半，因為地沖擊在爆心上下半空間內不是均勻分布的。

由公式（10）、（11）可知，對于接觸爆炸，有效地沖擊能量耦合系數(shù)為全部地沖擊能量耦合系數(shù)的兩倍。

若將破壞半徑換算成壓縮半徑，由公式（9）可將公式（10）和（11）分別改寫為

2.2.2 當量耦合系數(shù)與能量耦合系數(shù)的關系表征

量綱分析與試驗均表明［20-22］，爆炸成坑體積V與 爆 炸 當 量Q為 指 數(shù) 關 系，V=kQα，α=0.75～1.00，k為比例系數(shù)，由此推得壓縮半徑與爆炸當量的關系為ra∝Qα/3，從安全的角度，可取α=1.00。結合式（2），可將式（12）、（13）分別轉化為以下當量耦合系數(shù)的形式：

由公式（14）、（15）可知，若不考慮公式（9）地下爆炸破壞區(qū)的尺度效應，則有效地沖擊能量耦合系數(shù)ηef與當量耦合系數(shù)ηQ是一致的，即ηef=ηQ。

2.2.3 地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)與當量耦合系數(shù)的關系

對于封閉爆炸，地沖擊可按下式計算［4］：

式中：vpk為粒子速度峰值；A與n為參數(shù)，可由試驗確定。

地沖擊應力可寫為

式中：ρ0為靶體初始密度。

對于淺埋爆炸，根據(jù)式（2）的定義，地沖擊可寫為

或者根據(jù)式（3）的定義可寫為

聯(lián)立式（18）、（19），結合式（2）可得

2.2.4 填塞系數(shù)與當量耦合系數(shù)的關系

填塞系數(shù)是壓縮半徑之比，由式（4）與式（15）可得，填塞系數(shù)m與有效能量耦合系數(shù)ηef，以及與當量耦合系數(shù)ηQ的關系為

式中：ηef(0)、ηQ(0)分別為埋深為0時的有效能量耦合系數(shù)和當量耦合系數(shù)

綜上可知，幾種耦合系數(shù)之間均存在轉換關系，且均與破壞體積密切相關。當量耦合系數(shù)、地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)以及填塞系數(shù)均是按有效地沖擊能量計算。

3 耦合系數(shù)計算方法

針對接觸爆炸和封閉爆炸破壞范圍的研究已取得較為豐碩的成果，盡管目前在理論上尚難得到耦合系數(shù)隨比例埋深的解析規(guī)律，但試驗和數(shù)值模擬表明，能量耦合系數(shù)的演化軌跡類似Boltzmann函數(shù)的形式。圖3 給出了一條完整的Boltzmann 函數(shù)曲線，對比圖2 可以看出，耦合系數(shù)曲線與Boltzmann函數(shù)曲線的右半部分變化規(guī)律一致，通過調整具體系數(shù)大小可以改變曲線的初始值和增長速率。

圖3 Boltzmann函數(shù)曲線Fig.3 Curve of the Boltamann function

因此，可以將能量耦合系數(shù)ηe（實際計算中，ηe可取全部能量ηet或有效能量ηef）表達為

可以將ηe=0.99時看作達到完全耦合，將其代入式（22）可得

地沖擊源自于爆炸空腔的擴張，當空腔擴張停止后，爆炸能量基本完成了耦合入介質的過程。當爆炸成腔在拋擲成坑之前完成時，可忽略自由面對地沖擊耦合的影響，滿足該條件的最小比例埋深約等于封閉爆炸壓縮半徑，即≈rac。大量拋擲爆炸試驗充分證實了該結論［4］。因此，式（23）可寫為

綜上，確定式（22）僅需接觸爆壓縮半徑和封閉爆壓縮半徑這兩個參數(shù)。

根據(jù)美、俄數(shù)值模擬數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)，封閉爆的有效地沖擊能量大約是接觸爆的16 倍，則D1= 1/16 = 0.062 5，即ηef(0)=0.062 5，由公式（15）可得，封閉爆壓縮半徑是接觸爆的2 倍。根據(jù)室外現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)［4］，硬巖中封閉爆炸壓縮半徑為8～12 m·kt?1/3，可取10 m·kt?1/3，代入式（24），可得D2=1.9，由此可得有效能量耦合系數(shù)隨深度變化的曲線。同理，根據(jù)式（15）換算可得有效能量耦合系數(shù)曲線，與美國根據(jù)數(shù)值模擬得到的曲線［3］和俄羅斯根據(jù)試驗得到的曲線［4］進行比較，結果見圖4。由圖4可以看出，理論計算曲線總體介于試驗和模擬曲線之間。比例埋深小于2.0 m·kt?1/3時，理論結果與俄羅斯試驗數(shù)據(jù)吻合度更好；比例埋深大于2.0 m·kt?1/3時，理論結果更接近美國數(shù)值模擬數(shù)據(jù)。同時可以看到，全部能量耦合系數(shù)與有效能量耦合系數(shù)差距最大時是在埋深為0處，隨埋深增加差距減小，最終均趨近于1。

圖4 能量耦合系數(shù)理論計算結果與試驗、模擬結果對比Fig.4 Comparison of theoretical energy coupling factor with experimental and simulation re?sults

利用式（15）將圖4中的有效能量耦合系數(shù)曲線以及美國和俄羅斯的耦合系數(shù)曲線換算為當量耦合系數(shù)曲線，結果如圖5 所示。由圖5 可以看出，當量耦合系數(shù)計算曲線介于美、俄曲線之間，三者之間相互關系與能量耦合系數(shù)（圖4）一致。

圖5 當量耦合系數(shù)ηQ與美、俄曲線比較Fig.5 Theoretical ηQ versus curves of the United State and Russia

由式（21）將有效能量耦合系數(shù)曲線換算為填塞系數(shù)曲線（圖6），當比例埋深為6.7 m·kt?1/3時，填塞系數(shù)為1.97，當比例埋深為10.0 m·kt?1/3時，填塞系數(shù)為2.00，表明比例埋深到6.7 m·kt?1/3時已可認為地沖擊接近完全耦合，與美國結論一致。

圖6 填塞系數(shù)m計算曲線Fig.6 Calculated curve of packing factor m

為便于工程應用，可將圖5當量耦合系數(shù)與圖6填塞系數(shù)分別表達成如下關系：

4 結論

本文探討了地下爆炸耦合地沖擊等效計算理論和方法，得到如下結論：

（1）根據(jù)地沖擊能量與爆炸破壞區(qū)的關系，得到了能量耦合系數(shù)（全部能量耦合系數(shù)和有效能量耦合系數(shù)）、當量耦合系數(shù)、地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)及我國規(guī)范使用的填塞系數(shù)之間的相互轉換關系，若不考慮地下爆炸破壞區(qū)的尺度放大效應，有效能量耦合系數(shù)與當量耦合系數(shù)相等。

（2）通過Boltzmann 函數(shù)，利用接觸爆和封閉爆壓縮半徑兩個初始參數(shù)，可以得到耦合系數(shù)曲線計算公式。對于不同介質，封閉爆壓縮半徑已有大量理論和試驗結論，而接觸爆壓縮半徑仍需進一步理論分析和試驗補充。

（3）通過與美、俄地下核爆耦合系數(shù)曲線對比分析，可以看出當埋深較小時耦合系數(shù)理論值與俄羅斯曲線較接近，埋深較大時與美國曲線較接近。結合填塞系數(shù)計算，美國給出的耦合系數(shù)曲線具有較好的可靠性，且偏安全。

作者貢獻聲明：

徐天涵：初稿撰寫，理論推導，稿件修改。

邱艷宇：文獻查找，理論推導。

謝 方：文獻查找，理論推導，初稿校對。

王明洋：提出選題，寫作指導，內容把關。