巧建模 悟本質(zhì)

謝志勇 曹錚錚

《圖形的運(yùn)動(dòng)（三）》的教學(xué)重點(diǎn)是圍繞旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心建構(gòu)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)知模型。如何引導(dǎo)學(xué)生遷移已有的對(duì)圖形平移運(yùn)動(dòng)特征的認(rèn)知，以及建構(gòu)這種認(rèn)知的學(xué)習(xí)路徑，通過(guò)直觀操作，感悟旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，建構(gòu)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

一、找準(zhǔn)認(rèn)知起點(diǎn)，讓探究方向更明確

《圖形的運(yùn)動(dòng)（三）》——旋轉(zhuǎn)是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。在第二學(xué)段，學(xué)生通過(guò)對(duì)軸對(duì)稱圖形和平移運(yùn)動(dòng)的探究，已經(jīng)積累了探究圖形運(yùn)動(dòng)的基本方法和經(jīng)驗(yàn)，知道描述平移運(yùn)動(dòng)必須具備兩個(gè)要素：一是找準(zhǔn)平移方向，二是找準(zhǔn)在此方向上平移的距離。這是學(xué)生描述圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)。教師找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，能讓探究方向更明確。

如何清楚地描述圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程呢？課堂上，筆者先出示教材第83頁(yè)例1（指針旋轉(zhuǎn)圖），讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)指針在做什么運(yùn)動(dòng)。學(xué)生回答“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧研究圖形運(yùn)動(dòng)的要素。學(xué)生回答：我們?cè)谒哪昙?jí)學(xué)習(xí)了圖形的平移運(yùn)動(dòng)，是從平移的方向和距離展開(kāi)探究的，所以研究旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可能也要從這兩個(gè)方面著手。明確探究方向后，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生橫向遷移知識(shí)，尋找解決新知的基本學(xué)習(xí)方法。筆者提問(wèn)：觀察例1，指針從“12”走到“1”，你能把這個(gè)指針的旋轉(zhuǎn)過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言完整地描述出來(lái)嗎？一名學(xué)生回答：指針向右運(yùn)動(dòng)。另一名學(xué)生糾正道：指針是沿弧線運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)方向隨著指針旋轉(zhuǎn)依次指向“1、3、6、9”等，指針的朝向不斷變化，所以向左、向右、向上、向下等用于描述平移運(yùn)動(dòng)的詞，不適用于描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭贊同，筆者乘機(jī)引導(dǎo)：如果不能用“向右”描述指針旋轉(zhuǎn)的方向，那該怎樣描述呢？一名學(xué)生提出可以用“順時(shí)針?lè)较颉眮?lái)描述。由此，筆者引出了順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较?。從平移運(yùn)動(dòng)的方向到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的方向，學(xué)生經(jīng)歷了思維的躍遷，找到了描述新的圖形運(yùn)動(dòng)的方法。

二、抓準(zhǔn)問(wèn)題沖突點(diǎn)，讓概念理解更通透

準(zhǔn)確把握認(rèn)知沖突是探究活動(dòng)有效開(kāi)展、有序推進(jìn)的動(dòng)力源，是學(xué)生通透理解數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵點(diǎn)。學(xué)生在上一個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)知識(shí)的正向遷移，準(zhǔn)確描述了圖形旋轉(zhuǎn)的方向。本環(huán)節(jié)，筆者要重點(diǎn)解決的問(wèn)題是如何準(zhǔn)確描述旋轉(zhuǎn)的距離。

筆者引導(dǎo)：指針從“12”走到“1”，如何描述旋轉(zhuǎn)的距離呢？學(xué)生回答：指針從“12”走到“1”，順時(shí)針走了1格。筆者借助課件，對(duì)比演示旋轉(zhuǎn)中的1格（一段弧線）與平移中的1格（一段線段），并引導(dǎo)：你還堅(jiān)持用1格描述旋轉(zhuǎn)的距離嗎？學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)，不能用幾格表示旋轉(zhuǎn)的距離，因?yàn)榛【€無(wú)法用“幾大格”“幾小格”“零點(diǎn)幾格”表述，并提議把弧線拉直后量取其長(zhǎng)度，用長(zhǎng)度表示旋轉(zhuǎn)距離。筆者肯定了化曲為直的想法，但也說(shuō)明了實(shí)踐中不好操作，讓學(xué)生再想想其他辦法。學(xué)生小組討論后提出：弧線上的距離可以用角度描述，旋轉(zhuǎn)一周是360°，把360°平均分成12大格，每大格是30°，這樣指針從“12”走到“1”就可以描述成“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°”。本環(huán)節(jié)，筆者沒(méi)有急于揭示答案，而是通過(guò)適時(shí)、適度的引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀抽象出用角度描述旋轉(zhuǎn)距離的方法。

隨后，筆者讓學(xué)生再次描述指針從“12”走到“1”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。學(xué)生回答：指針從“12”走到“1”，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了30°。為引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)中心，筆者制造認(rèn)知沖突，用課件動(dòng)態(tài)演示指針繞3個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)中心（繞指針的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；繞指針的另一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；繞指針的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后的樣子，并質(zhì)疑：指針按照同學(xué)們的要求旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果怎么不一樣呢？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)用方向和距離兩個(gè)要素?zé)o法準(zhǔn)確描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，還要關(guān)注繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。由此，筆者引出“旋轉(zhuǎn)中心”的概念。這樣教學(xué)，學(xué)生深刻理解了描述圖形的運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心缺一不可。

三、確準(zhǔn)認(rèn)知難點(diǎn)，讓模型構(gòu)建更全面

為了讓學(xué)生全面建構(gòu)圖形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的模型，準(zhǔn)確、熟練地描述圖形的旋轉(zhuǎn)，筆者把教材中的習(xí)題進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)變式練習(xí)深化思維層次，感悟旋轉(zhuǎn)三要素之間的關(guān)系。

課堂上，筆者出示下圖，讓學(xué)生先找出基本圖形，再指出旋轉(zhuǎn)中心，最后說(shuō)明旋轉(zhuǎn)角度。

以第三幅圖為例，學(xué)生觀察后提出：這幅圖的基本圖形是正方形，也可以是小三角形；如果以正方形為旋轉(zhuǎn)的基本圖形，旋轉(zhuǎn)中心在正方形內(nèi)部，即正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)；如果以小三角形為旋轉(zhuǎn)的基本圖形，旋轉(zhuǎn)中心在三角形外部，也是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的基本圖形不唯一，旋轉(zhuǎn)中心不僅可以在圖形的頂端（如圖1），也可以在圖形的內(nèi)部（如圖2），還可以在圖形的外部（如圖3）。變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和發(fā)散思維，使他們?cè)谥佬D(zhuǎn)角度不同，形成的旋轉(zhuǎn)圖案不同的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)中心的位置不同，得到的圖案也不同，從而更深入地理解了圖形的旋轉(zhuǎn)模型。

（作者單位：謝志勇，武漢市新洲區(qū)教學(xué)研究室；曹錚錚，武漢市新洲區(qū)第一初級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編輯 劉佳