數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的模擬實現(xiàn)：特征及其教育價值

徐章韜　李玲

【摘 要】數(shù)學(xué)教材中的模擬方法是一種再現(xiàn)抽象對象具體內(nèi)容的處理方式，多采用物理方法，通過實物、模型等模擬具體情境，將抽象的事物直觀化、具體化，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法的形成過程。研究者通過分析數(shù)學(xué)教材中模擬方法的分類及特征，并對模擬方法的教育價值進(jìn)行討論，認(rèn)為模擬方法能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)，模擬方法的信息技術(shù)實現(xiàn)支持“做中學(xué)”。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；模擬方法；實物模型；教育價值

一、問題提出

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性特點的學(xué)科，這種抽象脫離了對象的具體內(nèi)容，而只保留了數(shù)量關(guān)系與空間形式。如，從一個蘋果、一棵樹中抽象出數(shù)字“1”，從天上的圓月、水中的漣漪中抽象出“圓”。中學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象內(nèi)容多是從可感知的具體情境中抽象而來的。這些抽象內(nèi)容讓不少學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)難懂，往往是由于未能將所學(xué)內(nèi)容與所見實際或已有認(rèn)識建立起聯(lián)系，未能認(rèn)識到抽象對象的清晰表象，認(rèn)為一些數(shù)學(xué)對象是憑空產(chǎn)生、虛無縹緲的。學(xué)生以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗為主，雖不必處處親身經(jīng)歷，但也需要一定的實踐經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)，才能領(lǐng)悟“虛幻”之實。

數(shù)學(xué)教材是課程標(biāo)準(zhǔn)下的產(chǎn)物，肩負(fù)著用合適的載體、多樣的手法把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更好地表達(dá)出來的神圣使命。通過對數(shù)學(xué)教材的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材采用了物理模擬方法凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的手法。本文通過分析高中數(shù)學(xué)教材對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的模擬實現(xiàn)，解析其特征，揭示其教育價值，為教師更好地使用教材提供參考。

模擬方法更多地以數(shù)值模擬法的形式出現(xiàn)在電氣工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域中，是用計算機(jī)模擬特定問題，可視為用計算機(jī)做實驗。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，王向東等［1］認(rèn)為：“數(shù)學(xué)實驗是人為地、模擬地創(chuàng)設(shè)有利于觀察與思考的條件，從而把數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)與規(guī)律暴露出來的一種方法。”數(shù)學(xué)實驗可以通過物質(zhì)或技術(shù)工具對數(shù)學(xué)對象的模擬而展開?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，注重提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力［2］。而聯(lián)系與應(yīng)用正是模擬方法的優(yōu)勢所在。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)實驗、物理模擬等手法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合，拓展學(xué)生的視野，其教育教學(xué)價值需要進(jìn)一步挖掘。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的模擬實現(xiàn)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的種種沖突與張力。數(shù)學(xué)教材中的模擬方法是一種再現(xiàn)抽象對象具體表象的處理方式，使抽象對象與易于認(rèn)識的現(xiàn)實事物、現(xiàn)象聯(lián)系起來。其多采用物理方法，通過實物、模型等模擬數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法的形成過程，把以抽象的符號語言形式表達(dá)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法等以相對具體的形式呈現(xiàn)，從而豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗和感性認(rèn)識，使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到根植新觀念的認(rèn)知生長點，以此作為認(rèn)識數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

（一）凸顯“數(shù)學(xué)抽象—直觀想象”張力的模擬

由于數(shù)學(xué)具有抽象性的特征，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能以抽象講抽象，還要發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，數(shù)學(xué)抽象和直觀想象是相輔相成的，兩者相得益彰。

案例1 用單擺模擬正弦曲線

從歷史上看，三角函數(shù)的引入是天文學(xué)研究的需要，三角函數(shù)定義經(jīng)歷了從銳角到鈍角再到任意角三角函數(shù)的推廣。正弦曲線是三角函數(shù)的典型代表。正弦曲線不僅是周期曲線，還有一些特征點，尤其是它的拐點。曲線在拐點處的切線斜率達(dá)到最大或最小值時，使得拐點前后的曲線有不同的凹凸性。如此特殊的曲線究竟從何而來？正弦曲線的這些性質(zhì)如何體現(xiàn)？正弦曲線離學(xué)生的視野有多遠(yuǎn)？這些都是在教學(xué)中需要考慮的。立足學(xué)生實際的教學(xué)，必然會考慮正弦曲線與學(xué)生學(xué)習(xí)心理的距離。事實上，正弦曲線也蘊(yùn)藏于生活實際之中，單擺簡諧振動的軌跡，即其時間—位移圖象正是正弦曲線。單擺簡諧振動的周期性反映在正弦曲線的周期性上。曲線的拐點對應(yīng)單擺運(yùn)動到最低點處的情形，此時單擺的運(yùn)動速度最快。運(yùn)動速度的變化反映在曲線的切線斜率上。因此，單擺簡諧振動能很好地模擬正弦曲線的形成過程，結(jié)合物理情境能清楚地解讀正弦曲線的特點，使學(xué)生對正弦曲線的認(rèn)識直觀而清晰，而非僅限于靜態(tài)的圖形。通過實物模擬，學(xué)生不僅看到了正弦曲線的生成過程，還感受到它的意義。而意義的追求是數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)的活力所在。

案例2 用橢圓規(guī)模擬橢圓生成

古希臘人從圓錐面或圓柱面被平面所截的截口上發(fā)現(xiàn)了橢圓，阿波羅尼奧斯給出了橢圓的截線定義，并推導(dǎo)出橢圓焦半徑的性質(zhì)。后人利用橢圓的焦半徑性質(zhì)作出橢圓，給出橢圓的軌跡定義。荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰的橢圓規(guī)之一是“兩釘一線”的模型，如圖2（a）。橢圓的焦半徑性質(zhì)寓于“兩釘一線”的模型中，“兩釘”即兩定點，“一線”即定長?！皟舍斠痪€”既給出了橢圓的軌跡定義，又揭示了橢圓的特征——橢圓上的點到兩定點的距離之和為常數(shù)。除此之外，舒騰還制作了另外兩種橢圓規(guī)，如圖2（b）、（c）。［3］點A是滑槽KL的中點，BA=BD，A，B可轉(zhuǎn)動，D不可轉(zhuǎn)動，則D在滑槽上運(yùn)動時，點B的軌跡是圓，點E的軌跡是橢圓。這兩種作圖法的原理相同，可視為對不同的圓作壓縮變換所得。事實上，BD所在直線上除B（軌跡是圓）、D（軌跡是線段）兩點外，其他點的軌跡都是橢圓。這種作法反映了線段、圓與橢圓可相伴而生，借助信息技術(shù)還可以看到三者之間的轉(zhuǎn)換。

案例3 用書本模擬線面位置關(guān)系

判定線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，這一發(fā)現(xiàn)需以大量感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，并要在諸多線面平行與線面不平行實例的分析、辨認(rèn)過程中概括出其關(guān)鍵屬性。將書本平放在桌面上，翻動書的封面，則與書脊平行的封面的外邊緣線與桌面平行。借助書頁中平行的對邊模擬線面平行判定中的兩條平行直線，桌面外本的封面的外邊緣線與桌面內(nèi)的書脊所在直線始終平行，封面的外邊緣線也始終平行于桌面，進(jìn)而自然而然地將線面平行與線線平行聯(lián)系起來。此外，將書本立在桌面上，還可模擬線面垂直的定義。書頁的下邊緣線在桌面上，它們都與書脊所在直線垂直，而書脊所在直線也與桌面垂直。

（二）凸顯“邏輯推理—數(shù)學(xué)運(yùn)算”互補(bǔ)的模擬

邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的沖突、對立、融合推動著數(shù)學(xué)不斷向前發(fā)展。《幾何原本》體現(xiàn)了邏輯推理的重要作用，《九章算術(shù)》彰顯了數(shù)學(xué)運(yùn)算、算術(shù)思維的強(qiáng)大力量。因此，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的兩翼，使數(shù)學(xué)翱翔在人類探索未知世界的天空中。

案例4 用電路模擬命題邏輯

在形式邏輯推理中，人們關(guān)心命題的兩種狀態(tài)——真與假；在電路中，開關(guān)只有接通與斷開兩種狀態(tài)，燈泡只有亮與不亮兩種狀態(tài)。將開關(guān)狀態(tài)與燈泡狀態(tài)的這種二元特性與命題真假相對應(yīng)，用“開關(guān)接通、燈泡亮”模擬命題為真，用“開關(guān)斷開、燈泡不亮”模擬命題為假。用開關(guān)的串聯(lián)、并聯(lián)和反相模擬邏輯連接關(guān)系“且”“或”“非”，則各式各樣的復(fù)合命題都能用電路圖進(jìn)行模擬，命題真假的判斷也可歸結(jié)為燈泡亮與不亮。關(guān)于命題a、b的命題a且b（a[?]b）、a或b（a[?]b）、非a（ac），可由圖4中的電路圖模擬。視覺化的開關(guān)電路與言語化的命題邏輯中，非此即彼的二元特性是它們的共性，拋棄它們的具體表象，只保留這種二元特性，布爾代數(shù)便產(chǎn)生了。

案例5 用多米諾骨牌模擬數(shù)學(xué)歸納法

案例6 用容器盛沙模擬計算球的體積

案例7 用摸球?qū)嶒災(zāi)M二項式定理

案例8 用不等臂天平稱兩次模擬基本不等式

基本不等式表示對任意兩個正實數(shù)分別取算術(shù)平均和幾何平均后，運(yùn)算結(jié)果的必然性——兩正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)。古巴比倫的祭祀利用“和差術(shù)”，從代數(shù)角度推導(dǎo)出基本不等式。趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時利用弦圖，從幾何角度推導(dǎo)出基本不等式。教材中出現(xiàn)的用不等臂天平稱兩次則是對基本不等式的另一種思考。將物體放在左盤稱得物體質(zhì)量為a，將物體放在右盤稱得物體質(zhì)量為b，為估計物體的實際質(zhì)量，常取算術(shù)平均[a+b2]，而利用杠桿原理則得實際質(zhì)量為[ab]。兩種平均雖有差異，但其間存在著“恒不等”關(guān)系。不等臂蘊(yùn)含著[a≠b]，當(dāng)且僅當(dāng)在等臂天平中，即a=b時，才有[a+b2]=[ab]。

（三）凸顯“數(shù)學(xué)建模—數(shù)據(jù)處理”關(guān)聯(lián)的模擬

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)聯(lián)系現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，數(shù)據(jù)處理是其中重要的一環(huán)，兩者是不可分割的整體。因此，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)處理體現(xiàn)了模型化與數(shù)據(jù)驅(qū)動之間的內(nèi)在聯(lián)系。

案例9 用撒豆實驗?zāi)M計算圓周率

在一個正方形區(qū)域中均勻撒豆，統(tǒng)計落入正方形的內(nèi)切圓中的豆子數(shù)與落入正方形中的豆子數(shù)之比，當(dāng)豆子數(shù)足夠大時，這一比值就十分接近正方形的內(nèi)切圓面積與正方形面積之比，由此可得圓周率的近似值。這種方法通過構(gòu)建隨機(jī)過程，利用幾何概型，將圓周率的計算這一確定性問題轉(zhuǎn)化為撒豆過程中豆子所落入的區(qū)域這一隨機(jī)性問題，而圓周率蘊(yùn)藏在撒豆這一隨機(jī)過程的概率之中。這是蒙特卡洛方法——撒豆法，它通過建立隨機(jī)過程或概率模型，進(jìn)行隨機(jī)試驗獲取數(shù)據(jù)來估計概率模型的參數(shù)或數(shù)字特征，而這一參數(shù)或數(shù)字特征就是所求問題的解。

案例10 用高爾頓板實驗?zāi)M正態(tài)曲線

正態(tài)曲線是蘊(yùn)藏于客觀事實之中的客觀規(guī)律，在大量不確定因素的影響下，許多隨機(jī)變量的分布最終都指向正態(tài)分布。這體現(xiàn)了正態(tài)分布在混亂中維持著秩序的驚人規(guī)律，這一規(guī)律可通過高爾頓板實驗再現(xiàn)。在高爾頓板實驗中，小球遇到每一個釘子后向左或向右落下是一個隨機(jī)因素，小球落到底板上的位置受這些隨機(jī)因素共同影響。各個槽中的小球堆積高度反映了小球落入各個槽中的頻數(shù)分布規(guī)律。將球槽編號，建立隨機(jī)試驗結(jié)果與一些自然數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，則構(gòu)造了一個描述這個隨機(jī)試驗的離散型隨機(jī)變量，其分布列用頻率來近似?？梢园l(fā)現(xiàn)試驗中小球的堆積形狀與小球落入球槽的頻率分布直方圖相似，因此從小球的堆積形狀可以發(fā)現(xiàn)這個隨機(jī)變量的分布列特點。隨著小球數(shù)量的增加，頻率分布直方圖的形狀越來越像正態(tài)曲線。高爾頓板實驗再現(xiàn)了正態(tài)曲線的形成過程，并揭示了隨機(jī)性中蘊(yùn)含著的規(guī)律性——受大量作用微小的因素影響的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)模擬模型的特征分析

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不只是一個名詞，其還有豐富的內(nèi)涵。這些內(nèi)涵要用教學(xué)的手法揭示出來，以體現(xiàn)其教育特征和教育價值。

（一）物化的直觀中蘊(yùn)含著抽象——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式多樣化

物理模擬突出是數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特點。在單擺的擺動中，當(dāng)擺角足夠小時（小于5°），無論擺長長度如何變化，單擺的時間-位移圖象始終反映出周期性變化規(guī)律。在“兩釘一線”的橢圓規(guī)中，無論筆尖移至何處，筆尖到“兩釘”的距離之和始終相等。在線面平行判定的模擬中，在封面外邊緣線與書脊平行的條件下，無論怎樣翻動書本的封面，封面外邊緣線始終與桌面平行。它們的共同點是通過實物、模型的直觀演示，突出變化中的不變性，創(chuàng)設(shè)在感知事物的形態(tài)與變化過程中發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)屬性的條件，從具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)。這樣的模擬方法有利于理解一些數(shù)學(xué)概念及其性質(zhì)。

模擬的突出特點是揭示了教學(xué)是如何處理直觀想象與數(shù)學(xué)抽象之間的辯證關(guān)系的。抽象性是數(shù)學(xué)的特點，是數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性的基礎(chǔ)，但也正是數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)與生活、學(xué)生的實際有點遠(yuǎn)，使學(xué)生學(xué)習(xí)起來有點吃力。通過實物模擬，充分發(fā)揮感官的觀察、分析、思辨作用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從具體的經(jīng)驗走向思辨。而學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，去掉各種具體的物理屬性，正是數(shù)學(xué)抽象的力量所在。故欲習(xí)得數(shù)學(xué)抽象，必先從實物、直觀入手。這是一種認(rèn)識的辯證統(tǒng)一。

上述模擬案例，更新了我們的認(rèn)識。不唯符號、書本中蘊(yùn)含的知識，模型、實物中也隱藏著天地之機(jī)。因此人們常說“讀萬卷書不如行萬里路”，認(rèn)知分布理論深刻地揭示了這一觀點。學(xué)習(xí)方式不僅僅只有書中學(xué)這一種，例中學(xué)、做中學(xué)也是有效的學(xué)習(xí)方式?！皠友塾^察、動手操作”實驗式的具身學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)有一席之地。

（二）邏輯和運(yùn)算支配著事物的運(yùn)行——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容明確化

邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的力量所在。高中數(shù)學(xué)教材為了提高學(xué)生的邏輯推理能力，編寫了“簡易邏輯”這一章內(nèi)容。從實際的教學(xué)情況來看，有的學(xué)生認(rèn)為邏輯太抽象了，比其他知識更難學(xué)。數(shù)學(xué)是要講推理，但更要講道理。通過“開關(guān)接通或斷開與燈泡亮或不亮的聯(lián)系”類比復(fù)合命題的真假判斷邏輯，“在第一塊骨牌倒下的條件下，前一塊骨牌倒下與后一塊骨牌倒下的聯(lián)系”類比歸納遞推的邏輯，學(xué)生能從這些顯而易見的事實悟出推理之“理”，接受起來就容易多了。烏申斯基曾說，邏輯不是別的東西，而是現(xiàn)實世界里的事物和現(xiàn)象的聯(lián)系在我們頭腦中的反映。而在數(shù)學(xué)中，從“事物”到“現(xiàn)象”，即從既定事實到新的結(jié)論，要經(jīng)歷邏輯推理的過程。這樣的模擬方法有利于數(shù)學(xué)定理、公式等的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理水乳交融。張景中院士指出邏輯推理是抽象的計算，數(shù)學(xué)運(yùn)算是具體的推理。數(shù)學(xué)中的公式是推理的產(chǎn)物，是邏輯計算化后的產(chǎn)物。三個容器中的細(xì)沙體積間的聯(lián)系，揭示了圓柱、半球和圓錐體積之間的關(guān)系；摸球方法與摸球結(jié)果之間的關(guān)系，揭示了二項式定理的內(nèi)涵，更蘊(yùn)涵著母函數(shù)的萌芽；對不等臂天平稱兩次的結(jié)果取算術(shù)平均或取幾何平均的聯(lián)系，是基本不等式反映的恒不等關(guān)系。上述三種模擬的共同點是通過實物、模型的模擬，揭示現(xiàn)實世界里的事物和現(xiàn)象聯(lián)系中的量化關(guān)系，而且這種量化關(guān)系竟然是如此的顯然，數(shù)學(xué)公式無非是用符號把這種顯然表達(dá)出來了。通過推理、計算獲得事物之間的數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容和任務(wù)。

（三）溝通確定性數(shù)學(xué)與隨機(jī)性數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)語言表達(dá)多樣化

建立概率模型，進(jìn)行隨機(jī)試驗，估計概率模型的參數(shù)；構(gòu)造離散型隨機(jī)變量，借助實物，再現(xiàn)隨機(jī)過程，將隨機(jī)試驗結(jié)果直觀化，模擬隨機(jī)變量的分布。以上內(nèi)容的共同點是通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，經(jīng)歷隨機(jī)過程的模擬，進(jìn)而幫助學(xué)生解決問題或發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣的模擬方法有利于概率統(tǒng)計相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

概率統(tǒng)計的教與學(xué)是一大難點，其原因在于隨機(jī)性數(shù)學(xué)與確定性數(shù)學(xué)的特點迥異。教學(xué)要想方設(shè)法跨越這條鴻溝，溝通兩者之間的關(guān)聯(lián)。教師應(yīng)通過一些具體的模型來模擬隨機(jī)現(xiàn)象，使學(xué)生經(jīng)歷隨機(jī)過程，感受數(shù)據(jù)變化的隨機(jī)性，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)建模、統(tǒng)計建模及數(shù)據(jù)處理的認(rèn)識和理解。數(shù)學(xué)通過數(shù)學(xué)建模、統(tǒng)計建模來表達(dá)對現(xiàn)實世界的訴求，體現(xiàn)了隨機(jī)性數(shù)學(xué)與確定性數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)。在教學(xué)中，教師通過數(shù)學(xué)建模、統(tǒng)計建?；顒樱箤W(xué)生感受到用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的有效性和多樣性。

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)模擬方法的教育價值

（一）模擬方法發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對數(shù)學(xué)教育所要培養(yǎng)的人的描述，是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的具體化。數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)可以描述為會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)的眼光，體現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象，而直觀想象是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)或進(jìn)階。數(shù)學(xué)的思維，體現(xiàn)為邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算也屬于邏輯推理。數(shù)學(xué)的語言，主要是指數(shù)學(xué)模型，此外，數(shù)據(jù)分析在大數(shù)據(jù)時代也逐漸成為一種新的數(shù)學(xué)語言［4］。用數(shù)學(xué)“觀察、思考、表達(dá)”世界反映的是數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實世界，并指向?qū)嶋H應(yīng)用的觀點。從現(xiàn)實世界抽象而來的數(shù)學(xué)對象，最終又可用來解釋現(xiàn)象、表達(dá)世界。對現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)抽象使得研究對象更具一般性，而一般性又使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用更具有廣泛性。這說明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展離不開現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的雙向聯(lián)系。孫曉天［5］認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“聯(lián)系”是關(guān)鍵，“聯(lián)系”的兩頭，一頭是數(shù)學(xué)，另一頭是真實的世界和現(xiàn)實生活。沒有了“聯(lián)系”，從哪里抽象，拿什么建模，憑什么推理，換言之，人們津津樂道的那些數(shù)學(xué)素養(yǎng)幾乎全都斷了由頭，差不多可以免談。

模擬方法能化抽象為具象，也能幫助學(xué)生借助具象上升到抽象，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光；模擬方法把實物、模型中的數(shù)量關(guān)系具體地呈現(xiàn)出來，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；模擬方法本身就是一種建模方法，提供了聯(lián)系現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種途徑，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言?？偠灾?，模擬方法有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）模擬方法豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)多元表征理論提出可以用言語表征或視覺表征的多種表征形式表征同一個數(shù)學(xué)對象，言語表征包括文字、符號等，視覺表征包括實物、模型等。多元表征理論的實質(zhì)就是對信息進(jìn)行多角度、多視角的解釋，使學(xué)生建立新舊知識固著點的同時，便于調(diào)用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息使其對新信息進(jìn)行加工從而建構(gòu)知識。從表征的視角看，數(shù)學(xué)概念、定理、公式、思想方法的表述是以言語表征的形式，實物、模型等的呈現(xiàn)則是以視覺表征的形式。模擬方法即是從言語表征和視覺表征的不同表征形式來認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，模擬的過程更是建立起數(shù)學(xué)對象的言語表征和視覺表征的各種不同表征形式之間聯(lián)系的過程。如用單擺簡諧振動模擬正余弦曲線，單擺簡諧振動這一物理情境賦予正余弦曲線更豐富的內(nèi)涵，使得對它的解讀可以基于物理視角。單擺簡諧振動是一種內(nèi)涵豐富的視覺表征，它與另一種視覺表征——不加說明的正余弦曲線及言語表征“y=sinx/y=cosx”相互參照、聯(lián)系，同時原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的生活常識、物理知識、數(shù)學(xué)知識等與它們發(fā)生作用，形成豐富的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而理解抽象對象。

模擬方法具有跨學(xué)科的性質(zhì)，調(diào)動了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的多種知識儲備，橫向溝通知識間的聯(lián)系，豐富了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、可利用性及有意義性是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。豐富的情境、多樣化的刺激均有利于獲得穩(wěn)健的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，固無不可，但要視野開闊，跨學(xué)科地學(xué)習(xí)更值得提倡。這也正是STEAM所倡導(dǎo)的主張。

（三）模擬方法的信息技術(shù)實現(xiàn)支持學(xué)習(xí)方式多樣化

飛速發(fā)展的信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)開啟了新篇章，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教與學(xué)的整合成為時代發(fā)展的必然要求。包括美國、澳大利亞、新加坡在內(nèi)的許多國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都明確提出將信息技術(shù)的使用作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要素。使用信息技術(shù)的目的在于揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、優(yōu)化教學(xué)過程，進(jìn)一步讓學(xué)生體會使用信息技術(shù)工具學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問題的可行性和有效性，為學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)提供技術(shù)支持。模擬方法中的實物、模型的呈現(xiàn)與變化可通過信息技術(shù)來實現(xiàn)，使信息技術(shù)融入學(xué)習(xí)過程，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢。模擬方法的信息技術(shù)實現(xiàn)使得物理、數(shù)學(xué)和信息技術(shù)綜合與交叉，物理知識、電子信息知識和數(shù)學(xué)知識相互支持與補(bǔ)充，為學(xué)生提供借助信息技術(shù)探索客觀對象與數(shù)學(xué)對象之間聯(lián)系的方法。從現(xiàn)實世界中的客觀對象到數(shù)學(xué)對象的抽象過程，是變具體的存在為抽象的存在，關(guān)鍵在于明晰客觀對象的本質(zhì)屬性。動態(tài)、靈活的信息技術(shù)環(huán)境使得模擬方法中的客觀對象可視化、可操作，為突出客觀對象的本質(zhì)屬性提供便利，是研究變化中的不變性的有效工具，支持學(xué)生在“做中學(xué)”，實現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的多樣化和變革。上述物理模擬均可以用信息技術(shù)，使物理模擬走向虛擬現(xiàn)實、增強(qiáng)現(xiàn)實，使學(xué)生感受到現(xiàn)代科技的樂趣和魅力，同時也感受傳統(tǒng)經(jīng)典課程承載的深厚內(nèi)涵。

教材是一種示范，其中隱含的教育價值需要一線教師發(fā)揮主觀能動性，創(chuàng)造性地使用教材。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是理念，不是口號，需要教師從多角度進(jìn)行研討，對復(fù)雜問題進(jìn)行分解、模擬、算法化、泛化才是計算思維的體現(xiàn)。隨著信息技術(shù)、大數(shù)據(jù)時代人工智能的興起，在教學(xué)中運(yùn)用多種思維落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用之義。

參考文獻(xiàn)：

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［3］徐章韜，汪曉勤.從機(jī)械圓錐曲線規(guī)到電子圓錐曲線規(guī)［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（3）：54-57，59.

［4］史寧中，林玉慈，陶劍，等.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

［5］孫曉天.研究現(xiàn)實世界的真問題：記第十屆東盟國家中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科競賽（SSYS）［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（4）：1-3，15.

（責(zé)任編輯：陸順演）