注重創(chuàng)新能力培養(yǎng)的微分方程數(shù)值解法課程教學(xué)探索與實(shí)踐

傅紅筍 谷瑞雪 賈翠滿

摘? 要：研究生教育位于整個(gè)學(xué)制體系的最高層次，是學(xué)生與人才身份轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。針對新形勢下研究生課程對提高學(xué)生科研創(chuàng)新能力的培養(yǎng)要求，結(jié)合微分方程數(shù)值解法既有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性，又有計(jì)算機(jī)科學(xué)的實(shí)踐性與技術(shù)性的課程特點(diǎn)，以創(chuàng)新研究能力培養(yǎng)為核心目標(biāo)，從課程意義、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和考核評價(jià)等方面闡述研究生微分方程數(shù)值解法課程的建設(shè)情況，以及關(guān)于課程教學(xué)進(jìn)一步改進(jìn)的探討。

關(guān)鍵詞：研究生課程；微分方程數(shù)值解法；創(chuàng)新能力培養(yǎng)；教學(xué)方法；課程建設(shè)

中圖分類號(hào)：G420? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2023）S1-0069-04

Abstract： Postgraduate education， as the highest level of the whole educational system， is the most critical link in the transformation between students and talents. In view of the requirement of graduate courses to improve students' scientific research innovation ability under the new situation， this research combines with the characteristics --the abstractness and rigor of mathematics and the practical and technical characteristics of computer science-of the course "Numerical Solution of Differential Equations". Takingthe cultivation of innovative research ability as the core， this paper expounds the construction of the course "Numerical Solution of Differential Equation" for graduate students from the aspects of course significance， teaching content， teaching method， examination and evaluation， and discusses the further improvement of course teaching.

Keywords： postgraduate course; numerical methods of the differential equations; innovation ability cultivation; teaching method; construction of course

基金項(xiàng)目：大連海事大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目“微分方程數(shù)值解法”（YJG2022606）

第一作者簡介：傅紅筍（1978-），女，滿族，遼寧大連人，理學(xué)博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)槲⒎址匠陶磫栴}的數(shù)值解法。

*通信作者：谷瑞雪（1994-），女，漢族，遼寧大連人，理學(xué)博士，講師。研究方向?yàn)榉磫栴}理論、算法及應(yīng)用。

研究生教育作為最高層次的國民教育，其不同于本?？平逃耐怀鎏攸c(diǎn)就是“研究”。習(xí)近平總書記指出：“研究生教育在培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高創(chuàng)新能力、服務(wù)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、推進(jìn)國家治理體系和治理能力現(xiàn)代化方面具有重要作用?！毖芯可瞬排囵B(yǎng)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，課程教學(xué)是研究生培養(yǎng)中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是全面提升研究生科研創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，是學(xué)生順利完成學(xué)位論文的關(guān)鍵。2020年教育部、國家發(fā)展改革委、財(cái)政部發(fā)布《關(guān)于加快新時(shí)代研究生教育改革發(fā)展的意見》強(qiáng)調(diào)：“提升研究生課程教學(xué)質(zhì)量……完善課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容的審批機(jī)制，優(yōu)化課程體系，加強(qiáng)教材建設(shè)，創(chuàng)新教學(xué)方式，突出創(chuàng)新能力培養(yǎng)?！痹陔p一流建設(shè)、打造研究生“金課”的雙重背景下，優(yōu)化研究生課程教學(xué)內(nèi)容、提升研究生課程教學(xué)質(zhì)量是深化研究生教育改革的重要內(nèi)容[1]，也是學(xué)生素質(zhì)教育的重要組成部分。本文結(jié)合近幾年微分方程數(shù)值解法的教學(xué)實(shí)踐，對該門課程的意義、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和考核手段等進(jìn)行闡釋，旨在探究如何通過課程教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新研究能力，激發(fā)學(xué)生豐富的想象力和探索欲望。

一? 課程的意義與教學(xué)內(nèi)容

針對課程知識(shí)點(diǎn)多，公式推導(dǎo)繁瑣，而課時(shí)數(shù)（32學(xué)時(shí)）少的問題，在教學(xué)內(nèi)容的安排上貫徹少而精的原則。突出講解那些最具代表性的算法、最常用的離散手段、最關(guān)鍵的理論分析、最前沿的研究思路，而對那些原理相近、研究技巧相同的內(nèi)容只加以引導(dǎo)和提示，注重培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，在有限的學(xué)時(shí)里把培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和研究創(chuàng)造性放在首位來考慮。為此，我們對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了合理的選擇，主要包括四個(gè)模塊。

（一）? 常微分方程數(shù)值解法（8學(xué)時(shí)）

本部分內(nèi)容包括：微分方程數(shù)學(xué)模型及舉例；微分方程數(shù)值解的重要意義和基本思想、歐拉法及其改進(jìn)格式、龍格-庫塔法，以及算法的相容性、穩(wěn)定性和收斂性的引入和證明。這部分內(nèi)容相對簡單，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和科學(xué)研究思路卻是極為豐富和深刻的。通過這一模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生明確了微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題有三個(gè)：①如何將微分方程離散化， 并建立求其數(shù)值解的近似格式？ ②如何估計(jì)近似公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差？③如何保證近似公式的穩(wěn)定性與收斂性？ 這樣一來，學(xué)生就對后面的學(xué)習(xí)有了清晰的認(rèn)識(shí)。

（二）? 偏微分方程簡介（4學(xué)時(shí)）

本部分內(nèi)容包括：偏微分方程的分類、邊界條件和一階方程組。這部分以概念的回顧與總結(jié)為主，具有承前啟后、溫故知新的作用。目的是讓學(xué)生清楚橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程的物理、工程背景和內(nèi)在的數(shù)學(xué)性質(zhì)，雖然不同類型的方程在數(shù)值計(jì)算中面對的上述三個(gè)主要問題是一樣的，但求解手段和技巧應(yīng)該有所區(qū)別和側(cè)重，如同“知人善用”“知己知彼、百戰(zhàn)不殆”。

（三）? 偏微分方程有限差分法（16學(xué)時(shí)）

本部分內(nèi)容包括：有限差分法的基本概念和理論；橢圓型方程的差分方法；拋物型方程的有限差分法；雙曲型方程的差分方法。有限差分法既有豐富的理論研究又有廣泛的工程實(shí)踐，一直是微分方程數(shù)值解法研究的主流，算法的更新也非常迅速且越來越高效，各種算法的對比可以聚焦學(xué)術(shù)批判能力培養(yǎng)，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新能力養(yǎng)成。

（四）? 有限元法簡介與最新文獻(xiàn)分享（4學(xué)時(shí)）

本部分內(nèi)容包括：有限元法的歷史、有限元法的基本思想、自適應(yīng)有限元法及相關(guān)商業(yè)軟件。告訴學(xué)生我國數(shù)學(xué)家馮康院士在19世紀(jì)60年代初獨(dú)立于西方創(chuàng)始了有限元數(shù)學(xué)理論，為有限元方法的發(fā)展作出卓越貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究心理，引導(dǎo)學(xué)生查找、研讀最新的相關(guān)資料。

二? 教學(xué)方法與實(shí)踐

長期的教學(xué)實(shí)踐，最大的心得：一門好的課程，既要有好的教學(xué)內(nèi)容，又要緊密結(jié)合學(xué)生的實(shí)際。為此，無論課程講授了多少遍，都要認(rèn)真?zhèn)浜妹恳惶谜n，備教學(xué)內(nèi)容也備學(xué)生。每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都精心準(zhǔn)備、每一個(gè)細(xì)節(jié)都反復(fù)推敲?？偸窍氡M辦法用淺顯易懂的道理、生動(dòng)形象的語言將枯燥抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容傳授給學(xué)生；巧妙設(shè)計(jì)簡單有趣的案例，將深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想表達(dá)給學(xué)生；教給學(xué)生的不單純是知識(shí)，更主要的是指引學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題、解決問題并進(jìn)一步改進(jìn)解決方法，將學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過程之中。具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

（一）? 多角度理解算法，培養(yǎng)多角度思考能力

數(shù)值解法的基本思想是先取自變量一系列離散的點(diǎn)，將連續(xù)模型離散化。離散化的手段常用的有三種：數(shù)值微分、數(shù)值積分和泰勒公式。因此，可以通過不同的離散手段得到相同的數(shù)值算法。

這個(gè)例子作為第一堂課的主要內(nèi)容之一，不僅可以讓學(xué)生初步了解微分?jǐn)?shù)值解法的基本思想，又可以引導(dǎo)學(xué)生對待科學(xué)問題要從不同角度、采用不同手段進(jìn)行分析和處理，“殊途同歸”地發(fā)現(xiàn)真理。通過簡單且經(jīng)典的案例，拓展學(xué)生思維、引導(dǎo)學(xué)生多角度分析問題，為學(xué)生進(jìn)入更深層次的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

（二）? 層層遞進(jìn)的問題設(shè)置，激發(fā)勇于探索求新精神

所謂的微分方程數(shù)值解法，就是研究利用計(jì)算機(jī)求解微分方程數(shù)值解的數(shù)值方法及相關(guān)理論。牛頓說“一個(gè)例子比十個(gè)定理有效”。在講授一般性方法和理論之后，針對有實(shí)用背景的典型案例與同學(xué)一起建立算法并完成截?cái)嗾`差、穩(wěn)定性等理論分析。為了讓學(xué)生對理論結(jié)果有進(jìn)一步的體會(huì)，同時(shí)鍛煉學(xué)生的編程能力，設(shè)置程序編寫、參數(shù)敏感性、算法比較等一系列層層遞進(jìn)的題目，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生積極思考、自由討論解決問題，還可以在討論之后提出新問題。

課堂上，完成例2中前面四個(gè)問題后，學(xué)生根據(jù)自己編寫的程序運(yùn)行后的可視化結(jié)果（如圖1所示），可以得到結(jié)論：對于對流擴(kuò)散方程，尤其在對流占優(yōu) （對流速度的絕對值比擴(kuò)散系數(shù)大得多） 時(shí)，中心顯式差分格式往往會(huì)產(chǎn)生數(shù)值的振蕩；而迎風(fēng)差分格式雖能在一定程度上消除這種振蕩，但由于其“過量”地反應(yīng)解的情況，導(dǎo)致了數(shù)值解的擴(kuò)散。最后一個(gè)問題作為作業(yè)，讓學(xué)生通過查找資料、結(jié)合自己的興趣給出國內(nèi)外學(xué)者最新的解決方案或者自己提出新的解決方法。理論+問題+查新，學(xué)生在“學(xué)中用”，在“用中學(xué)”，實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)踐的有機(jī)融合，激發(fā)了學(xué)生的興趣，強(qiáng)化了科學(xué)方法訓(xùn)練和學(xué)術(shù)素養(yǎng)培養(yǎng)。

（三）? 科研與教學(xué)相融合，強(qiáng)化課程內(nèi)容前沿性

著名教育改革家、德國柏林洪堡大學(xué)創(chuàng)始者威廉·馮·洪堡早在兩百多年前就明確提出了“教學(xué)與科研相統(tǒng)一”的思想。清華大學(xué)融合式教學(xué)指導(dǎo)專家組組長于歆杰教授指出“教師應(yīng)努力將個(gè)人或團(tuán)隊(duì)的科研成果在教學(xué)內(nèi)容中酌情體現(xiàn)”[4]。本人及其科研團(tuán)隊(duì)主要致力于復(fù)雜介質(zhì)中波動(dòng)方程反演算法研究，我們承擔(dān)了多項(xiàng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目的研究工作、發(fā)表了多篇相關(guān)的高水平論文。因此，在講到雙曲型方程的有限差分法時(shí)，以地震勘探技術(shù)為工程背景，講授油氣藏勘探開發(fā)過程，重點(diǎn)講解如何應(yīng)用有限差分方法求解描述地震波在地下介質(zhì)中傳播的一維、二維聲波方程和彈性波方程。在講授基本方法的基礎(chǔ)上，講授自己利用基本概念和分析方法來解決科研項(xiàng)目中的學(xué)術(shù)問題并做出科研突破的過程和感悟，每當(dāng)此時(shí)學(xué)生們都會(huì)表現(xiàn)出相當(dāng)高的關(guān)注度?！坝行g(shù)且悟道”應(yīng)是一名教師畢生的追求，“言傳身教”要堅(jiān)持不懈開展高水平、前沿性科研工作，并主動(dòng)將研究成果轉(zhuǎn)化為教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)與科研的融合中教學(xué)相長、師生間彼此成就。

（四）? 課后答疑，線上線下綜合運(yùn)用

課后答疑也是教學(xué)過程的重要一環(huán)，尤其是近年來以線上授課為主的教學(xué)模式，相對于面對面授課的線下教學(xué)模式，師生之間的交流還是很不充分的[5]。事實(shí)上，歷史上很多的科研靈感都是在咖啡館兒里，面對面的交流中碰撞出來的思想火花。在答疑環(huán)節(jié)，主要做了三方面的工作：其一，隨時(shí)歡迎學(xué)生到辦公室當(dāng)面答疑，及時(shí)解決課程中出現(xiàn)的疑問；其二，借助每周組內(nèi)研討會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生思考微分方程數(shù)值解法領(lǐng)域的前沿和熱點(diǎn)問題，并與老師們共同探討研究；最后，利用課程QQ群，學(xué)生有問題時(shí)，可以直接在群里相互討論或給教師留言，教師每天上線后及時(shí)解答。

三? 多元化考核機(jī)制，評價(jià)貫穿過程始終

課程考核作為教學(xué)活動(dòng)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，是檢驗(yàn)課程學(xué)習(xí)效果和衡量課程授課質(zhì)量的關(guān)鍵步驟之一?？茖W(xué)、合理的考核不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生對課程知識(shí)的掌握程度，而且有利于教師在今后教學(xué)中有針對性地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式。鑒于微分方程數(shù)值解法課程是一門研究生專業(yè)核心選修課，側(cè)重于在課程學(xué)習(xí)過程中對學(xué)生創(chuàng)新思維的引導(dǎo)，以及學(xué)術(shù)研究能力的培養(yǎng)，因此課程的考核采用平時(shí)成績、作業(yè)成績和課程小論文相結(jié)合的多元化過程考核方式。平時(shí)成績占10%，主要考查平時(shí)的課堂考勤、課堂討論參與度等內(nèi)容。作業(yè)成績占40%，每個(gè)教學(xué)模塊結(jié)束后布置一次作業(yè)，作業(yè)內(nèi)容既有理論推導(dǎo)驗(yàn)證，又有實(shí)驗(yàn)編程，綜合考察學(xué)生對數(shù)學(xué)理論的掌握情況和利用程序設(shè)計(jì)語言和計(jì)算軟件解答題目的能力。既有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性，又有計(jì)算機(jī)科學(xué)的實(shí)踐性與技術(shù)性，微分方程數(shù)值解法這一基本特點(diǎn)在作業(yè)中充分展現(xiàn)。最后是課程小論文占50%，要求學(xué)生結(jié)合今后的研究方向，融合課程所學(xué)的內(nèi)容，以學(xué)術(shù)論文的形式完成規(guī)范排版，重要考核點(diǎn)在于：摘要簡潔扼要、選題新穎，具有理論和實(shí)際工程意義、理論推導(dǎo)嚴(yán)密詳實(shí)、數(shù)值計(jì)算細(xì)致可靠、引用經(jīng)典和最新的參考文獻(xiàn)，以及提出未來的研究工作設(shè)想與展望。

四? 結(jié)束語

近年來在微分方程數(shù)值解法課程的建設(shè)和實(shí)踐中，我們制作了多媒體課件，建立了豐富的教學(xué)案例，設(shè)置了部分思考題和數(shù)值實(shí)驗(yàn)等輔助教學(xué)內(nèi)容，基本解決了微分方程數(shù)值解課時(shí)少與教學(xué)內(nèi)容多的矛盾，使學(xué)生能夠?qū)W以致用，既掌握微分方程數(shù)值解法中基本的數(shù)學(xué)原理，又能夠借助Matlab、Python軟件解決自己研究方向的實(shí)際問題?！皩⒔?jīng)典與學(xué)科前沿緊密結(jié)合、將基礎(chǔ)算法原理與代碼編程相融合，全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)手能力及科研創(chuàng)新精神”是我們正在做，并且要持續(xù)做下去的重要工作。微分方程數(shù)值解法課程的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對于其他研究生課程亦是有借鑒意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張瑜，孫繼濤.以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為導(dǎo)向的應(yīng)用數(shù)學(xué)類研究生教學(xué)探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2020，36（2）：44-48.

[2] 張新明.面向工科研究生的《微分方程數(shù)值解》教學(xué)改革與實(shí)踐——基于分層次項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)教學(xué)法[J].高教學(xué)刊，2018（3）：136-137，141.

[3] 陸金甫，關(guān)冶.偏微分方程數(shù)值解法（第三版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

[4] 于歆杰.理工科核心課中的課程思政——為什么做與怎么做[J].中國大學(xué)教學(xué)，2019（9）：56-60.

[5] 王偉，馬永柳，杜宜賓.“復(fù)變函數(shù)”課程線上教學(xué)的實(shí)踐探索[J].黑龍江教育（高教研究與評估），2021（7）：57-58.