數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的若干思考

摘要：數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值由數(shù)學(xué)史的具體內(nèi)容決定，如數(shù)學(xué)思想發(fā)展史促進(jìn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的歷史背景形成教學(xué)的問(wèn)題情境，數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的歷史過(guò)程促進(jìn)體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思維方法，有趣的歷史故事激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力等。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)要重視對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行認(rèn)知分析、文化分析并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，也要重視數(shù)學(xué)史上的“情節(jié)”以及典型困難、失敗與錯(cuò)誤，還要形成體系。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略包括先行組織、情境借用、故事再現(xiàn)、寓古于今等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；HPM

將數(shù)學(xué)史的相關(guān)材料自然地融入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，是值得重視的課題。說(shuō)其值得重視，一是其確實(shí)在促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果方面，有著非常重要的意義；二是這個(gè)課題盡管研究時(shí)間并不晚，但更多的是相關(guān)研究者在做研究，研究成果的應(yīng)用并不廣泛，對(duì)實(shí)際教學(xué)的影響并不突出，確實(shí)存在較多的難點(diǎn)需要突破。本文是筆者對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的若干思考。

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值

不少學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值（功能、作用）有過(guò)研究，并取得了很多成果。比如，汪曉勤教授從對(duì)教師、學(xué)生的作用兩個(gè)方面做了較為系統(tǒng)的闡述。［1-2］筆者認(rèn)為，這方面的研究需要更加深入，因?yàn)樗軌驔Q定數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐路徑的選擇與拓展。數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值由數(shù)學(xué)史的具體內(nèi)容決定，因此，從數(shù)學(xué)史內(nèi)容的類(lèi)別方面展開(kāi)研究是一條可行的思路。

（一）數(shù)學(xué)思想發(fā)展史促進(jìn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展規(guī)律

數(shù)學(xué)思想發(fā)展史是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的主線，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)。重要數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。因?yàn)橹懒藬?shù)學(xué)思想的前世今生，就能夠從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，較為深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。比如，從小學(xué)到高中，學(xué)生在初等代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)歷了“數(shù)”從正整數(shù)到復(fù)數(shù)的完整建構(gòu)過(guò)程。因此，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中將歷史的過(guò)程有機(jī)再現(xiàn)，可以使學(xué)生對(duì)“數(shù)”的發(fā)展過(guò)程中經(jīng)歷（蘊(yùn)含）的數(shù)學(xué)觀念創(chuàng)新、數(shù)學(xué)哲學(xué)思想衍化、數(shù)學(xué)理性精神追求等有深刻的體驗(yàn)。

（二）數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的歷史背景形成教學(xué)的問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的歷史背景往往構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)（思想）生長(zhǎng)的推動(dòng)力。數(shù)學(xué)教學(xué)如果不利用這個(gè)推動(dòng)力，學(xué)生就無(wú)法真正經(jīng)歷知識(shí)生成的真實(shí)思維過(guò)程。正如萊布尼茲所言：“了解重大發(fā)現(xiàn)，特別是那些絕非偶然，經(jīng)過(guò)深思熟慮而得到的重大發(fā)展的真正起源是極為有益的?！保?］教學(xué)過(guò)程中，最好的問(wèn)題情境就是數(shù)學(xué)的歷史背景，它是提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新和創(chuàng)造能力的最好載體。而且，數(shù)學(xué)史中的背景最能體現(xiàn)學(xué)科融合，因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)的起點(diǎn)往往是自然、社會(huì)中的問(wèn)題，這些問(wèn)題本身就是綜合的，如微積分之于物理學(xué)，三角函數(shù)之于天文學(xué)。

（三）數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的歷史過(guò)程促進(jìn)體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思維方法

具體數(shù)學(xué)概念、方法等的歷史思維過(guò)程，特別是數(shù)學(xué)家研究相關(guān)問(wèn)題的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)內(nèi)容形成的沿革（如不等號(hào)符號(hào)化的思維方式：從文字表示、形象化表現(xiàn)到至善至美的符號(hào)等）是設(shè)計(jì)問(wèn)題、啟發(fā)思維的良好素材。可以這樣認(rèn)為：數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)過(guò)程，它既能激發(fā)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考，又能讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)文化的力量。

（四）經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題形成完整的問(wèn)題解決過(guò)程

經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如斐波那契數(shù)列問(wèn)題、哥尼斯堡七橋問(wèn)題、三等分角問(wèn)題等）可以形成完整的問(wèn)題解決過(guò)程（包括很多數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用過(guò)程，且不“掐頭去尾燒中斷”）。其中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)家的思想方法，或創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)分支，或創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，或揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這些都是那些人為編制的各種訓(xùn)練題所無(wú)法比擬的。將它們作為一個(gè)分支教學(xué)的背景性問(wèn)題（初始問(wèn)題）、一章內(nèi)容的序言、學(xué)習(xí)過(guò)程中的啟發(fā)性材料以及拓展閱讀資料，都能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到很好的引導(dǎo)作用。

（五）有趣的歷史故事激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力

歷史故事（典故），包括重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的趣味性故事、傳說(shuō)以及著名數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)經(jīng)歷、所獲成就等，都是激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣的重要素材。比如，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的夢(mèng)境、希帕索斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)而被投入大海的故事、希爾伯特旅館、集合悖論等，既可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，又能使學(xué)生為數(shù)學(xué)家追求真理、堅(jiān)韌不拔的精神所感動(dòng)，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。歷史故事具有較強(qiáng)的敘事性、情節(jié)性，能夠吸引學(xué)生，教學(xué)效果好。

特別值得一提的是，數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，尤其是偉大數(shù)學(xué)家的原著，往往滲透了他們深邃的思想，體現(xiàn)出他們對(duì)客觀世界的深刻認(rèn)識(shí)以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)自然和社會(huì)現(xiàn)象、規(guī)律的能力。向大師學(xué)習(xí)是培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生的一條捷徑。

（六）數(shù)學(xué)文化史使理性精神與人文素養(yǎng)齊頭并進(jìn)

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的組成部分，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史與人類(lèi)文化有密切的聯(lián)系。通過(guò)數(shù)學(xué)史可以讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)是怎樣產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)可以干什么，數(shù)學(xué)為什么要證明，數(shù)學(xué)家是如何學(xué)習(xí)、研究的，數(shù)學(xué)家又是怎么走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究之路的（怎樣愛(ài)上數(shù)學(xué)的）。還可以由數(shù)學(xué)史連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)，從中管窺高等數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然，深層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史還有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)論與歷史觀的形成與發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)

盡管很多教師都有在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的意識(shí)，但是由于設(shè)計(jì)與實(shí)施時(shí)存在不少現(xiàn)實(shí)性的困難，導(dǎo)致這項(xiàng)工作難以常態(tài)化開(kāi)展。

（一）缺少與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史料

一線教師熟悉的主要是祖沖之求圓周率、趙爽弦圖、楊輝三角、高斯算法、國(guó)際象棋上放麥粒等一些數(shù)學(xué)典故，另外在一些書(shū)籍（如汪曉勤教授的一些著作）、雜志上的文章中可以見(jiàn)到一些零散的數(shù)學(xué)史素材。但總的來(lái)說(shuō)，與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史料還是非常少的，更談不上系統(tǒng)性。教師沒(méi)有數(shù)學(xué)史料就如同廚師沒(méi)有食材，技藝再好也做不出好的食物。

由于本來(lái)就缺少或在歷史過(guò)程中遺失等原因，數(shù)學(xué)史料中很少有發(fā)現(xiàn)過(guò)程的記載，絕大多數(shù)是結(jié)論和證明，有些連證明都沒(méi)有。比如，中國(guó)古代的很多重要數(shù)學(xué)成果還需要現(xiàn)代數(shù)學(xué)家根據(jù)古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，猜測(cè)可能的推導(dǎo)或證明思路——吳文俊教授就做了不少這方面的工作。只有極少數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)對(duì)自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程進(jìn)行回溯，如龐加萊、哈密爾頓等。法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)瑪在其著作《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》中介紹了幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家回憶其數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（發(fā)明）的心理過(guò)程，但基本都不是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。

（二）缺少將數(shù)學(xué)史料從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的有效方法

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究還在初級(jí)階段，在理論體系和實(shí)施策略兩個(gè)方面都不成熟。多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用就是故事敘述。

有數(shù)學(xué)家思維過(guò)程的史料在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用相對(duì)比較容易，大多數(shù)情況下可以直接使用。比如，牛頓對(duì)指數(shù)冪運(yùn)算ax進(jìn)行推廣的思維過(guò)程［4］，邦別利在一元三次方程求根公式的基礎(chǔ)上，由方程x3=15x+4的公式解法得到的根的形式，“迫使”他承認(rèn)“負(fù)數(shù)可以開(kāi)平方”這個(gè)從直觀上很難為人們所接受的觀點(diǎn)的一系列思維過(guò)程［5］，都可以移植到課堂上。

但是，大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)論缺少發(fā)現(xiàn)過(guò)程的歷史記載。比如勾股定理，無(wú)論是中國(guó)古代的商高定理，還是古希臘的畢達(dá)哥拉斯定理，都只有結(jié)論，最多還有證明方法——有數(shù)百種之多?？墒?，“勾股定理是怎么發(fā)現(xiàn)的？”這個(gè)問(wèn)題還是難以回答。有初中數(shù)學(xué)教材介紹，畢達(dá)哥拉斯觀察地磚發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形直角邊上的正方形和斜邊上的正方形的面積關(guān)系（如下頁(yè)圖1所示），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般直角三角形三邊的長(zhǎng)度關(guān)系。從引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理的角度看，這當(dāng)然無(wú)可厚非。但是，這個(gè)故事的可信度并不高，因?yàn)闆](méi)有充分的史實(shí)來(lái)證明這一點(diǎn)。中外數(shù)學(xué)史家都沒(méi)有找到畢達(dá)哥拉斯如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的相關(guān)證據(jù)，只有一些猜測(cè)：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)研究過(guò)鋪地磚的問(wèn)題，因此，他們有可能受此啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)勾股定理。事實(shí)上，已經(jīng)考證的史實(shí)是，公元前1700多年的漢謨拉比時(shí)代的巴比倫人就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并且畢達(dá)哥拉斯去過(guò)巴比倫。［6］梁宗巨先生認(rèn)為：畢達(dá)哥拉斯很可能是從巴比倫人那里學(xué)來(lái)的，但從他們欣喜若狂的情況看，也不排除重新發(fā)現(xiàn)的可能性，或者是因?yàn)檎业搅俗C明的方法而興奮。

當(dāng)然，有數(shù)學(xué)家思維過(guò)程的史料有時(shí)也不一定能夠直接用于數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)史料需要選擇、組合、改造，讓其更契合學(xué)生、貼合教學(xué)，有真問(wèn)題、做真研究、傳真文化。這確實(shí)是個(gè)難點(diǎn)。

（三）歷史性與時(shí)代性難以有機(jī)整合

歷史時(shí)期不同，社會(huì)文化差異，如何在現(xiàn)代文化背景下合理、恰當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)史料用于數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生置身于歷史文化背景下，重溫?cái)?shù)學(xué)家們的思維過(guò)程？這是不容易的?，F(xiàn)在學(xué)生接觸的信息非常豐富，對(duì)不少內(nèi)容在學(xué)習(xí)之前已有一定的了解（這就是文化背景對(duì)教學(xué)的影響）。眾多的科普讀物讓學(xué)生已經(jīng)知道了一些數(shù)學(xué)結(jié)論，網(wǎng)絡(luò)上很多真假難辨的數(shù)學(xué)故事可能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生誤解，如三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列求和公式及與其有關(guān)的高斯的故事等。這些都給數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)帶來(lái)困擾。此外，古代有價(jià)值的問(wèn)題可能現(xiàn)在并無(wú)困難。比如，用不可達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問(wèn)題引入正弦定理和余弦定理的古代背景，因?yàn)榧t外測(cè)距儀的出現(xiàn)而并不形成有價(jià)值的問(wèn)題情境。再如三等分角問(wèn)題，現(xiàn)在的學(xué)生很難理解其必要性。

還有，一些古代學(xué)派的哲學(xué)思想強(qiáng)烈影響著當(dāng)時(shí)學(xué)者的數(shù)學(xué)觀，而這些哲學(xué)思想?yún)s很難為現(xiàn)在的學(xué)生所理解。比如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”是直觀地研究數(shù)列前若干項(xiàng)和的載體，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和及高階等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)都很有啟發(fā)意義，但對(duì)當(dāng)代的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很難說(shuō)清楚“怎么想到研究這個(gè)東西的”。而且，古人的數(shù)學(xué)觀本身也有一些時(shí)代局限性。比如，古希臘人擅長(zhǎng)用幾何方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括代數(shù)問(wèn)題。他們研究正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系之類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，都是通過(guò)構(gòu)造幾何圖形（如在半圓內(nèi)構(gòu)造直角三角形、拼接矩形等）說(shuō)明的。［7］而有了實(shí)數(shù)理論之后，從代數(shù)式的恒等變形更容易得到相關(guān)結(jié)論。

（四）數(shù)學(xué)史上真實(shí)探究的長(zhǎng)期性與數(shù)學(xué)教學(xué)追求的短期效益有沖突

在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史，通常要讓學(xué)生體驗(yàn)當(dāng)初數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的真實(shí)的探究過(guò)程，進(jìn)行真實(shí)的數(shù)學(xué)探究（從而完成數(shù)學(xué)建構(gòu)），這就需要有足夠的教學(xué)時(shí)間做保證。這對(duì)急于進(jìn)行解題訓(xùn)練以滿足應(yīng)試需要的師生而言，是不怎么愿意的。因此，有些教學(xué)過(guò)程即使運(yùn)用了數(shù)學(xué)史料，也沒(méi)有讓數(shù)學(xué)史中的“情節(jié)”真正上演，而是將數(shù)學(xué)的結(jié)果用歷史的形式呈現(xiàn)，于是，數(shù)學(xué)課變成了歷史課，而且是只進(jìn)行史實(shí)呈現(xiàn)的歷史課。

（五）現(xiàn)行教材固化了教師教學(xué)設(shè)計(jì)的思維

現(xiàn)行教材很少基于當(dāng)初數(shù)學(xué)家的研究過(guò)程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，即使運(yùn)用了數(shù)學(xué)史，也大多以閱讀材料的方式呈現(xiàn)史料，并且“傳說(shuō)”多于史實(shí)（據(jù)多個(gè)中外數(shù)學(xué)史家考證，就連高斯求前100個(gè)正整數(shù)和的故事的真實(shí)性，都不能得到證實(shí)）。教材對(duì)教學(xué)的示范作用是顯著的，尤其是現(xiàn)行教材，相對(duì)于過(guò)往的教材，內(nèi)容更加具體，過(guò)程更加詳細(xì)，幾乎可以為教師教學(xué)直接使用。教材沒(méi)有在合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史方面作出應(yīng)有的示范，也就難怪教師很少主動(dòng)從數(shù)學(xué)史的角度思考教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)。

三、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

數(shù)學(xué)史料從學(xué)術(shù)形態(tài)到教育形態(tài)，不僅要強(qiáng)調(diào)故事性，更要重視歷史背景、歷史過(guò)程、思想方法、思維策略，體現(xiàn)、彰顯數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，讓學(xué)生感受理性精神在數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的巨大力量以及數(shù)學(xué)科學(xué)在促進(jìn)人類(lèi)文化發(fā)展中的巨大作用。

（一）重視對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行認(rèn)知分析

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，僅知道與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知分析很重要。因?yàn)閿?shù)學(xué)史中的很多內(nèi)容缺少完整的問(wèn)題研究過(guò)程，能考證的細(xì)節(jié)非常欠缺，所以，數(shù)學(xué)家當(dāng)初的認(rèn)知思維需要通過(guò)合理的分析得到再現(xiàn)。此外，我們的學(xué)生與數(shù)學(xué)家畢竟存在多方面的差異，即使知道數(shù)學(xué)家研究的具體過(guò)程，也不一定適合現(xiàn)在的學(xué)生，也需要在對(duì)數(shù)學(xué)家的認(rèn)知分析與對(duì)學(xué)生的認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)史認(rèn)知分析的重要方法就是讀原著，因?yàn)槠渲刑N(yùn)含了創(chuàng)造者的思想、思維。比如，教學(xué)“復(fù)數(shù)”，可以讀一下卡爾達(dá)諾的《大術(shù)》的第26章第2節(jié)《關(guān)于二次方程的虛數(shù)根》［8］和邦別利的《代數(shù)學(xué)》的第27章第1節(jié)《論虛數(shù)》［9］，再讀一讀納欣的《虛數(shù)的故事》中的相關(guān)內(nèi)容［10］，從而設(shè)計(jì)出得到學(xué)生認(rèn)同的虛數(shù)概念導(dǎo)入過(guò)程。

（二）重視對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行文化分析

數(shù)學(xué)是文化的產(chǎn)物，常常受到當(dāng)時(shí)環(huán)境和時(shí)代背景的影響。更多地了解這些方面的知識(shí)，有助于我們理解數(shù)學(xué)是如何與其他人類(lèi)活動(dòng)相適應(yīng)的。比如，數(shù)概念的擴(kuò)展過(guò)程與人類(lèi)的社會(huì)生活密切相關(guān)（如自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等），也與哲學(xué)、藝術(shù)等科學(xué)有緊密的聯(lián)系（如無(wú)理數(shù)），還為數(shù)學(xué)自身的知識(shí)生長(zhǎng)需求所驅(qū)動(dòng)（如復(fù)數(shù)、四元數(shù)等）。當(dāng)然，其每一次擴(kuò)展后又與其他學(xué)科（如物理）相結(jié)合，從而得到充分而深刻的應(yīng)用，反過(guò)來(lái)又進(jìn)一步為數(shù)的意義提供新的解釋?zhuān)ㄈ鐝?fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)在物理學(xué)中的廣泛應(yīng)用等）。

（三）學(xué)生的認(rèn)知水平也很重要

數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)要與學(xué)生的認(rèn)知能力相適應(yīng)，符合認(rèn)知傾向，不能以歷史替代學(xué)生思維過(guò)程的暴露。很多情況下，教學(xué)中選用的史料需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟眉簟⒅亟M，以更具情境性、問(wèn)題性的形式出現(xiàn)，與學(xué)生的思維起點(diǎn)、認(rèn)知基礎(chǔ)相契合，從更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、用回溯的“追問(wèn)”藝術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造。比如，對(duì)兩角和與差的余弦公式，數(shù)學(xué)史上有很多推導(dǎo)方法，單是幾何方法都非常多，如何找到適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知水平的史料進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，需要認(rèn)真推敲。特別是現(xiàn)代文化對(duì)學(xué)生的影響，是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)必須關(guān)注的問(wèn)題。對(duì)某個(gè)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，除了考慮當(dāng)初數(shù)學(xué)家是在怎樣的背景下產(chǎn)生研究需求的，是如何進(jìn)行研究的，還要考慮這個(gè)過(guò)程、思想、知識(shí)與方法在現(xiàn)實(shí)社會(huì)、生活、科技領(lǐng)域有哪些應(yīng)用。

（四）重視收集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史“情節(jié)”

數(shù)學(xué)家工作的具體情節(jié)是值得借鑒的寶貴資源，因?yàn)槠渲邪嗽趺聪氲降?、遇到了什么困難、是如何克服的等非常重要的細(xì)節(jié)，而且包含著數(shù)學(xué)創(chuàng)造、創(chuàng)新的源泉以及重要的數(shù)學(xué)思想方法和思維策略，從而可以成為課堂上學(xué)生活動(dòng)“劇情”的底稿，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)所必需的。比如，牛頓構(gòu)造分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的思維過(guò)程對(duì)0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的教學(xué)都是非常有指導(dǎo)意義的。有了數(shù)學(xué)史的滋潤(rùn)，學(xué)生就不會(huì)為“0個(gè)a相乘、-1個(gè)a相乘究竟是什么意義？”而糾結(jié)，反而會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的價(jià)值、數(shù)學(xué)本質(zhì)的統(tǒng)一性有深刻的認(rèn)識(shí)。

（五）數(shù)學(xué)史上的典型困難、失敗與錯(cuò)誤也很重要

不僅數(shù)學(xué)史上成功的研究可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的啟示，困難、失敗與錯(cuò)誤也是重要的教學(xué)資源，它們是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過(guò)程完整性的必要補(bǔ)充，而且蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練價(jià)值。了解一個(gè)概念的曲折歷史往往可以引導(dǎo)我們對(duì)相關(guān)的問(wèn)題有深刻的理解。比如，在關(guān)于負(fù)數(shù)的基本概念形成后很長(zhǎng)一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀缓茈y處理，問(wèn)題不在于如何利用這些數(shù)字來(lái)運(yùn)算的規(guī)則，而在于這一概念本身，包括如何以有意義的方式解釋這些規(guī)則。歐拉就曾認(rèn)為函數(shù)f（x）=xa2+x2與g（x）=a2x2+x4是同一個(gè)函數(shù)，于是對(duì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)”產(chǎn)生了懷疑，并試圖對(duì)其加以進(jìn)一步的限定。［11］理解這一點(diǎn)，有助于我們同情學(xué)生可能遇到的困難并產(chǎn)生共鳴。而了解這些困難在歷史上是如何解決的，也可以幫助學(xué)生找到克服困難的方法。再如，概率論研究初期，數(shù)學(xué)家們對(duì)古典概型的研究就存在較多的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，并逐步經(jīng)歷了從錯(cuò)誤到有正確的思路但結(jié)論仍然錯(cuò)誤，再到建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓诺涓判偷倪^(guò)程。這個(gè)過(guò)程正是學(xué)生有可能經(jīng)歷的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

（六）數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)要形成體系

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)要納入整體設(shè)計(jì)，不是零散、孤立、點(diǎn)綴式的，而要具有立體、聯(lián)系和深刻性的特征，最好能完整地體現(xiàn)。數(shù)學(xué)史中，每一個(gè)具體的數(shù)學(xué)分支、具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其形成與獲得不是一蹴而就的，往往經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的發(fā)展、演化過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，也不是一個(gè)內(nèi)容（知識(shí)點(diǎn)）本身在完善、嚴(yán)謹(jǐn)，而是整個(gè)數(shù)學(xué)體系、結(jié)構(gòu)在完善、成型，只有體系自恰、嚴(yán)密，其部分才能準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)。這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)要形成體系的根本原因。比如，教學(xué)“函數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，要考慮當(dāng)初數(shù)學(xué)家研究的分別是哪些性質(zhì)，為什么研究這些性質(zhì)，是以怎樣的函數(shù)來(lái)進(jìn)行研究的。

四、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略

汪曉勤教授總結(jié)出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式（附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式），并且形成了較多的實(shí)踐案例。［12-13］國(guó)外也有很多學(xué)者提出了他們的方式。比如，Tzanakis和Arcavi總結(jié)了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三種運(yùn)用方式：提供直接的歷史信息、借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)（發(fā)生教學(xué)法）、開(kāi)發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)及其社會(huì)文化背景的深刻認(rèn)識(shí)。筆者這里想要提出的是將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的自然過(guò)程中，讓數(shù)學(xué)史在發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的完整過(guò)程中發(fā)揮重要作用的一些策略。

（一）先行組織：用數(shù)學(xué)思想史統(tǒng)攝章節(jié)、課時(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和過(guò)程

在一章、一節(jié)或一課時(shí)的起始部分，將本章、本節(jié)或本課時(shí)內(nèi)容的核心思想通過(guò)數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)出來(lái)，用以統(tǒng)整一個(gè)階段的教學(xué)內(nèi)容，將相應(yīng)階段的教學(xué)都置于核心數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下。

比如，在解析幾何這個(gè)數(shù)學(xué)分支的起始課，介紹笛卡兒、費(fèi)馬創(chuàng)立解析幾何的初衷及過(guò)程，揭示解析幾何的核心思想：用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題［所有問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)（幾何）問(wèn)題都可以利用方程表示，研究方程就可以知道問(wèn)題的性質(zhì)，從而解決所有的問(wèn)題］，其關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟，即將幾何圖形用方程表示和運(yùn)用方程研究幾何圖形的性質(zhì)。有了這個(gè)核心思想，直線、圓、圓錐曲線等都有了一致的研究方法和過(guò)程。［14］

（二）情境借用：引導(dǎo)學(xué)生重溫知識(shí)產(chǎn)生的歷史過(guò)程

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)研究的產(chǎn)物，是將原始背景和曲折過(guò)程過(guò)濾、剔除后“純凈”的剩留物，而對(duì)教學(xué)更有價(jià)值的可能正是這些被過(guò)濾、剔除掉的過(guò)程性事物。因?yàn)?，這些東西才能激發(fā)研究的興趣，體現(xiàn)研究的過(guò)程。

比如函數(shù)奇偶性的概念。為什么叫奇函數(shù)？為什么叫偶函數(shù)？教材上沒(méi)有說(shuō)，只說(shuō)了滿足什么樣條件的函數(shù)叫奇函數(shù)或偶函數(shù)。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)應(yīng)該讓學(xué)生知道這個(gè)“為什么”。歷史上首次提出奇函數(shù)、偶函數(shù)概念的是歐拉。由于早期的函數(shù)局限于冪函數(shù)以及由其復(fù)合得到的函數(shù)，因此最早的關(guān)于奇函數(shù)、偶函數(shù)的討論都是針對(duì)冪函數(shù)以及相關(guān)復(fù)合函數(shù)而言的。歐拉提出“奇函數(shù)”“偶函數(shù)”之名顯然源于冪函數(shù)的指數(shù)或指數(shù)的分子的奇偶性：整數(shù)指數(shù)或分?jǐn)?shù)指數(shù)（分母為大于1的奇數(shù)）的分子為偶數(shù)的冪函數(shù)為偶函數(shù)，整數(shù)指數(shù)或分?jǐn)?shù)指數(shù)（分母為大于1的奇數(shù)）的分子為奇數(shù)的冪函數(shù)為奇函數(shù)。［15］

基于上述歷史過(guò)程，函數(shù)奇偶性的教學(xué)應(yīng)該從特殊的冪函數(shù)入手，即從y=x、y=x2、y=x3、y=x-1等學(xué)生熟悉的冪函數(shù)（按教材順序，這時(shí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)冪函數(shù)，但對(duì)這些特殊的冪函數(shù)有所了解）開(kāi)始，考察其圖像的特征（暫時(shí)不能動(dòng)手畫(huà)出的，可以用相關(guān)軟件，如“幾何畫(huà)板”畫(huà)出），探索函數(shù)滿足怎樣的條件時(shí)才能具有這樣的特征，并研究具有這樣的特征時(shí)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而使概念中的“奇”“偶”形態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生自己都能作出這樣的命名。

（三）故事再現(xiàn)：使學(xué)生了解知識(shí)生成的合理性

教學(xué)中，需要使學(xué)生了解知識(shí)生成的合理性。在感性的、現(xiàn)實(shí)的素材很難為學(xué)生理解、接受時(shí)，要由數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在矛盾，通過(guò)理性精神的追求來(lái)消除困惑，了解合理性。但是，就學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)、數(shù)學(xué)認(rèn)知水平而言，有些數(shù)學(xué)內(nèi)容還難以理解和認(rèn)同。這時(shí)，可以直接提供歷史故事，形成認(rèn)知沖突，進(jìn)而了解合理性。

比如，在復(fù)數(shù)教學(xué)中，為了說(shuō)明負(fù)數(shù)開(kāi)平方的必要性（合理性），可以直接介紹意大利數(shù)學(xué)家邦別利用卡爾達(dá)諾公式求解三次方程x3=15x+4時(shí)，得到方程的三個(gè)根分別為-2+3，-2-3和32+-121+32--121，同時(shí)他通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)（現(xiàn)在利用信息技術(shù)作圖很容易看出）4是這個(gè)方程的解，所以他認(rèn)為32+-121+32--121=4……

如前所述，對(duì)于發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題有較大難度的課題，也可以直接用故事的形式呈現(xiàn)史實(shí)，給出結(jié)論，再引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行回溯，探索當(dāng)初數(shù)學(xué)家是怎么想到的。

（四）寓古于今：讓歷史性與時(shí)代性有機(jī)結(jié)合

一是用今天的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和歷史的數(shù)學(xué)思想方法組織教學(xué)，從而克服歷史原型中的認(rèn)知困難。比如，對(duì)數(shù)概念的產(chǎn)生以及對(duì)數(shù)表的構(gòu)造，不管是部分?jǐn)?shù)學(xué)史家認(rèn)為的受三角函數(shù)積化和差的啟發(fā)，還是另一些數(shù)學(xué)史家認(rèn)為的由阿基米德的等比數(shù)列與等差數(shù)列的關(guān)系想到將積、商轉(zhuǎn)化為和、差的思路［16-17］，都難以為中學(xué)生所理解。所以，現(xiàn)在通常的做法都是基于歐拉發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系引進(jìn)對(duì)數(shù)的概念（在納皮爾時(shí)代，這樣的關(guān)系并沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)?；蛘哒f(shuō)，創(chuàng)造對(duì)數(shù)時(shí)，還沒(méi)有研究指數(shù)函數(shù)）。筆者認(rèn)為，這樣的做法是恰當(dāng)?shù)摹２贿^(guò)，僅將“逆運(yùn)算”作為引進(jìn)對(duì)數(shù)的起因，并不符合數(shù)學(xué)的歷史過(guò)程，也削弱了引入對(duì)數(shù)的強(qiáng)大歷史動(dòng)因，更反映不出對(duì)數(shù)在數(shù)學(xué)史上的地位和作用。因此，建議將轉(zhuǎn)化或降低運(yùn)算級(jí)以提高運(yùn)算效率作為提出課題的重要背景和目標(biāo)鄭重地提出來(lái)，再結(jié)合指數(shù)冪中的指數(shù)將“比”化為“差”的功能，提出逆運(yùn)算（由冪求指數(shù)）的目標(biāo)要求。

二是用今天的情境背景呈現(xiàn)問(wèn)題，以歷史的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題，或?qū)v史上的問(wèn)題與今天的問(wèn)題同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生明晰它們本質(zhì)上的一致性，再展開(kāi)探索與建構(gòu)。這樣，可將古今有機(jī)融合，使學(xué)生更容易理解問(wèn)題，快捷地進(jìn)入數(shù)學(xué)探究的過(guò)程。比如，目前的教材都是通過(guò)幾個(gè)例子（解析式、表格、圖像）引入，讓學(xué)生歸納它們的共同特征，從而建構(gòu)函數(shù)的概念。這樣的方式，既沒(méi)有體現(xiàn)建立函數(shù)概念的必要性，又過(guò)于抽象——從怎樣的角度發(fā)現(xiàn)“共同特征”對(duì)學(xué)生而言是很有難度的。要引入函數(shù)的概念，就要讓學(xué)生感受變量之間的依賴關(guān)系，從而體會(huì)引進(jìn)新概念的必要性。為此，可先提出問(wèn)題：考古工作人員發(fā)現(xiàn)了一口很深的古井，從井口扔下石塊可以聽(tīng)到其接觸井底的聲音，如何根據(jù)石塊降落的時(shí)間確定古井的深度呢？然后引導(dǎo)：偉大的科學(xué)家伽利略為研究物體下落的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)計(jì)過(guò)讓球沿一個(gè)平緩的斜面滾落的實(shí)驗(yàn)。我們借助現(xiàn)代技術(shù)手段重溫一下伽利略的實(shí)驗(yàn)：用定時(shí)攝像機(jī)和電子感應(yīng)器記錄1秒、2秒、3秒……時(shí)物體的位移，從而建立位移與時(shí)間的關(guān)系s=4.9t2。為什么由這個(gè)關(guān)系式能夠根據(jù)時(shí)間確定古井的深度呢？分析：每個(gè)確定的t都對(duì)應(yīng)唯一確定的s……［18］

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（石志群，江蘇省泰州市教研室，特級(jí)教師，正高級(jí)教師。全國(guó)優(yōu)秀教師，江蘇省有突出貢獻(xiàn)的中青年專(zhuān)家。曾獲江蘇省紅杉樹(shù)園丁獎(jiǎng)。蘇教版高中數(shù)學(xué)教材副主編、分冊(cè)主編、核心編委。在省級(jí)以上刊物發(fā)表論文200多篇，其中核心期刊50多篇，被人大復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載35篇。）