無(wú)速度測(cè)量的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性

劉思淵,李新凱,張宏立

(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院,新疆烏魯木齊830047)

1 引言

近年來(lái),多智能系統(tǒng)的一致性問(wèn)題受到了越來(lái)越多的關(guān)注和研究,已成為分布式控制的熱點(diǎn)方向。一致性指的是通過(guò)設(shè)計(jì)控制協(xié)議,使得各個(gè)智能體的狀態(tài)達(dá)到一致。智能體之間的相互作用是整個(gè)系統(tǒng)能夠突破單個(gè)智能體的局限性,完成更加復(fù)雜的任務(wù),同時(shí),與單個(gè)智能體相比,多智能體系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性、抗干擾能力和容錯(cuò)性。在實(shí)際工程中,多智能體系統(tǒng)有著廣泛的應(yīng)用,例如無(wú)人機(jī)的協(xié)同控制[1]、交通管理系統(tǒng)[2]以及衛(wèi)星姿態(tài)控制[3]等。因此,研究多智能體的一致性問(wèn)題具有重要意義。

目前,多智能體系統(tǒng)的漸近一致性問(wèn)題已經(jīng)取得了一些的研究成果。文獻(xiàn)[4]針對(duì)一階多智能體系統(tǒng),設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議,并提出了多智能體一致性控制協(xié)議的理論框架。在此基礎(chǔ)上,一致性問(wèn)題得到了廣泛的研究。文獻(xiàn)[5]研究了含帶混雜擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了基于滑?？刂评碚摰囊恢滦詤f(xié)議。文獻(xiàn)[6]針對(duì)固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)涠嘀悄荏w系統(tǒng),設(shè)計(jì)出一種非線性控制協(xié)議。文獻(xiàn)[7]針對(duì)控制方向未知的二階非線性多智能體系統(tǒng),分別在有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者情況下提出控制協(xié)議。文獻(xiàn)[8]研究了切換拓?fù)錀l件下無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的Lur’e型非線性多智能體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)一致性問(wèn)題,提出了一種新的分布式協(xié)議。以上提出的控制協(xié)議,雖然解決了多智能體系統(tǒng)的漸進(jìn)一致性問(wèn)題,但是沒(méi)有考慮系統(tǒng)的收斂速度和抗干擾性能,因而設(shè)計(jì)收斂速度更快、抗干擾能力更強(qiáng)的控制協(xié)議成為一致性問(wèn)題的重要研究方向。

近年來(lái),研究人員將有限時(shí)間控制與一致性問(wèn)題相結(jié)合,提出了一系列有限時(shí)間一致性協(xié)議,極大提高了多智能體系統(tǒng)的收斂速度和抗干擾能力。文獻(xiàn)[9]針對(duì)一階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問(wèn)題,在切換拓?fù)錀l件下,設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間控制協(xié)議。文獻(xiàn)[10]研究了具有不匹配干擾的一致問(wèn)題,提出了基于終端滑?？刂评碚摰挠邢迺r(shí)間控制協(xié)議。文獻(xiàn)[11]提出了基于加冪積分理論的有限時(shí)間控制協(xié)議,解決了具有非線性項(xiàng)的高階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。此外,對(duì)于具有非線性項(xiàng)和外部干擾的多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[12]在齊次理論的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制控制協(xié)議。文獻(xiàn)[13]針對(duì)存在不匹配干擾的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間觀測(cè)器,并結(jié)合齊次理論提出了有限時(shí)間控制協(xié)議。然而,以上的有限時(shí)間控制協(xié)議中,是在智能體的狀態(tài)是全部可測(cè)量的假設(shè)下完成的,對(duì)于部分狀態(tài)不可以測(cè)量的研究仍然較少。

在實(shí)際應(yīng)用中,由于技術(shù)限制、制造成本等因素,智能體的速度信息可能無(wú)法獲得,因此,研究無(wú)速度信息的多智能體一致性問(wèn)題具有重要意義。文獻(xiàn)[14]針對(duì)無(wú)速度測(cè)量信息的一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了滑模觀測(cè)器對(duì)速度和干擾進(jìn)行觀測(cè),并在此基礎(chǔ)上提出了有限時(shí)間控制協(xié)議。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了有限時(shí)間觀測(cè)器對(duì)智能體速度進(jìn)行估計(jì),并設(shè)計(jì)了一致性控制協(xié)議。針對(duì)多智能體系統(tǒng)存在的干擾和速度未知問(wèn)題,文獻(xiàn)[16]利用高增益觀測(cè)器對(duì)速度進(jìn)行估計(jì),并設(shè)計(jì)了基于反步法的控制協(xié)議。文獻(xiàn)[17]對(duì)于有時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng),利用輔助系統(tǒng)理論,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制協(xié)議。文獻(xiàn)[18]針對(duì)有向圖下的一致性問(wèn)題,基于矩陣?yán)碚?僅利用相對(duì)位移信息設(shè)計(jì)了一致性協(xié)議。文獻(xiàn)[19]借助輔助系統(tǒng)理論,設(shè)計(jì)了一種新的非線性控股協(xié)議。文獻(xiàn)[20]針對(duì)無(wú)速度測(cè)量的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,在輔助系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間非線性控制協(xié)議。目前,無(wú)速度測(cè)量信息的一致性問(wèn)題研究多集中在漸近一致性方面,對(duì)于無(wú)速度測(cè)量信息的有限時(shí)間一致性研究較少。

基于上述討論,本文研究了無(wú)速度測(cè)量信息的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。主要貢獻(xiàn)有:

1)在速度信息缺失的情況下,設(shè)計(jì)了一種輔助系統(tǒng)。系統(tǒng)輸入是智能體的相對(duì)位移信息,輸出用來(lái)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),提供必要的阻尼,保證多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致。

2)在輔助系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,提出了一種無(wú)速度信息的有限時(shí)間一致性協(xié)議,并進(jìn)行了完整的有限時(shí)間穩(wěn)定性證明。

2 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

2.1 問(wèn)題描述

考慮由n個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng),其中第i個(gè)智能體的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

其中xi∈Rm,vi∈Rm,ui∈Rm分別代表智能體的位置、速度和控制輸入。令τn={1,2,…,n}。設(shè)m=1,對(duì)于m>1的情況,通過(guò)Kronecker算子進(jìn)行擴(kuò)展。為方便起見,將xi(t),vi(t),ui(t)簡(jiǎn)化為xi,vi,ui。

引理1[17]如果多智能體系統(tǒng)(1)對(duì)于任意初始狀態(tài),若存在一個(gè)正常數(shù)T,滿足:

(2)

i,j∈τn,則稱系統(tǒng)(1)能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。

引理2[17]如果領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng),對(duì)于任意初始狀態(tài),若存在一個(gè)正常數(shù)T,滿足:

(3)

i,j∈τn,則稱系統(tǒng)(1)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。x0,v0分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度。

2.2 圖論

本文使用無(wú)向圖G=(V,E,A)表示智能體之間的通信拓?fù)?其中V={v1,…,vn}表示智能體的集合,E?V×V為邊的集合,A=[aij]∈Rn×n表示系統(tǒng)的鄰接矩陣,其中aij≥0。若任意兩個(gè)智能體之間都存在一條路徑,則稱無(wú)向圖G是連通的。在無(wú)向圖中aij=aji。定義L=(lij)∈Rn×n為無(wú)向圖的Laplacian矩陣,其中

(4)

令B={b1,…,bn}表示領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨著之間的通信連接,其中bi>0表示跟隨著i可以獲得領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息,否則,bi=0。

引理3:對(duì)于如下自治系統(tǒng):

(5)

如果對(duì)于任意ε>0,存在(r1,r2,…,rn)∈Rn,其中ri>0,f(x)滿足:fi(εr1x1,…,εrnxn)=εκ+rifi(x)其中κ≥-max{ri},i∈τn,則稱f(x)是關(guān)于(r1,r2,…,rn)的具有齊次度κ的齊次函數(shù)。此外,若函數(shù)f(x)是齊次的,則系統(tǒng)(5)也是齊次的。

引理5:假設(shè)式(5)是關(guān)于(r1,r2,…,rn)的具有齊次度κ的齊次函數(shù),f(x)是連續(xù)的,并且x=0是其漸近平衡態(tài)。如果齊次度κ<0,則系統(tǒng)(4)的平衡態(tài)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

3 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)無(wú)速度測(cè)量的一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種基于相對(duì)位移信息的輔助系統(tǒng),將輔助變量yi加入到控制協(xié)議的設(shè)計(jì)中,以提供必要的阻尼。而后,為了提高系統(tǒng)的收斂速度,設(shè)計(jì)一種有限時(shí)間控制協(xié)議,大大縮短了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的收斂時(shí)間。

假設(shè)1 多智能體系統(tǒng)的拓?fù)涫菬o(wú)向連通圖。

考慮(1)所描述的多智能體系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種有限時(shí)間控制器

(6)

其中:sig(φ(x))α=sig(φ(x))|φ(x)|α,0<α1<1,k1>0,輔助系統(tǒng)yi滿足

(7)

其中,α2=2α1/(1+α1),k2>0,k3>0,k4>0,yi(0)為輔助變量的初始值,可以任意選擇。

定理1:考慮無(wú)速度測(cè)量信息的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)多智能體系統(tǒng)(1),若假設(shè)1成立,在控制協(xié)議(6)作用下,系統(tǒng)(1)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。

證明:選取如下Lyapunov函數(shù)

(8)

可知V1是正定的,對(duì)V1求導(dǎo)

(9)

因?yàn)閳DG是無(wú)向連通圖,所以有如下等式:

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)圖G是無(wú)向連通圖,有

=0

(14)

若上式成立,則對(duì)于所有i,j∈τn,都有xi=xj,進(jìn)而有vi=vj。由引理4得

由此可知,多智能體系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)全局漸近一致。

接下來(lái)需要證明系統(tǒng)可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致。將式(6)、式(7)代入式(1)

(15)

對(duì)于式(15),給定ε>0,由引理3可推導(dǎo)出

ε1+α1vi(t)=εκ+2vi(t)

(16)

k1(k2sig(ε1+α1yi)α2+k4ε1+α1yi)

-k1(k2sig(yi)α2+k4yi)]

(17)

-k2sig(ε1+α1yi)α2+k4ε1+α1yi+

(18)

注1:文獻(xiàn)[19]研究了二階多智能體系統(tǒng),建立了僅利用輔助系統(tǒng)和相對(duì)位移信息的非線性控制協(xié)議,沒(méi)有考慮收斂時(shí)間問(wèn)題。與文獻(xiàn)[19]相比,本文考慮的是在無(wú)向連通圖拓?fù)湎?多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致問(wèn)題,利用智能體的相對(duì)位移信息和輔助變量,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器,提高了系統(tǒng)的收斂速度。

4 領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)考慮了無(wú)速度測(cè)量的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了無(wú)速度信息的控制協(xié)議,并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了有限時(shí)間一致證明。其中輔助系統(tǒng)的設(shè)計(jì)形式與無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)相同,這里不再贅述。通信拓?fù)錆M足如下假設(shè):

假設(shè)2通信拓?fù)錇闊o(wú)向連通圖,至少有一個(gè)跟隨者可以獲取領(lǐng)導(dǎo)者的信息。

領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程

(19)

其中x0,v0,u0分別是領(lǐng)導(dǎo)者的位移,速度和輸入。

設(shè)計(jì)控制器如下

bi(xi-x0)

(20)

輔助系統(tǒng)yi

(21)

定理2:考慮無(wú)速度測(cè)量信息的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng),若假設(shè)2成立,在控制器(20)的作用下,領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)是實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致的。

證明:首先,建立相應(yīng)的誤差系統(tǒng)。定義領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者之間的誤差變量,令exi=xi-x0,evi=vi-v0,eyi=yi-y0結(jié)合式(20)、式(21)與系統(tǒng)(1),將系統(tǒng)的一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,誤差系統(tǒng)為

(22)

設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)

(23)

對(duì)(14)求導(dǎo)

(24)

化簡(jiǎn)得

(25)

令不變集M為:

(26)

進(jìn)一步可得

(27)

圖G是連通的,可知exi=0,evi=0。由引理4得,當(dāng)t→∞時(shí),誤差變量都趨0,即exi→0,evi→0,也就是說(shuō),跟隨者的狀態(tài)可以與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到一致,即xi→x0,vi→v0。因此,領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)漸近一致。

接下來(lái)需證明領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。考慮式(22),由引理3可得,給定ε>0,有

ε1+α1evi=εκ+2evi

(28)

(29)

(30)

注4:輔助系統(tǒng)(21)相當(dāng)于一個(gè)降階觀測(cè)器。系統(tǒng)的輸入是跟隨者智能體與其鄰居之間的相對(duì)位移信息和領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的位移信息,在缺失速度信息的情況下,將輔助系統(tǒng)的輸出引入到控制協(xié)議的設(shè)計(jì)中,以產(chǎn)生必要的阻尼,使系統(tǒng)可以達(dá)到一致狀態(tài)。

注5:由于領(lǐng)導(dǎo)者的存在,跟隨者智能體的最終狀態(tài)與初始狀態(tài)無(wú)關(guān),跟隨者的一致性最終值只與領(lǐng)導(dǎo)的最終狀態(tài)有關(guān)。達(dá)到一致性狀態(tài)后,跟隨者的速度和位移與領(lǐng)導(dǎo)者相同。

5 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)設(shè)計(jì)了兩組對(duì)比仿真實(shí)例來(lái)說(shuō)明本文控制協(xié)議的有效性。其中,第一組是對(duì)無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行仿真,驗(yàn)證有限時(shí)間一致性協(xié)議的有效性。針對(duì)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng),利用有限時(shí)間一致性協(xié)議對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,闡明了本文控制協(xié)議的有效性。

仿真實(shí)例1(無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng))

對(duì)于無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng),考慮由6個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng),其通信拓?fù)淙鐖D1所示,其鄰接矩陣A如下

圖1 無(wú)向通信拓?fù)?/p>

(31)

系統(tǒng)的物理參數(shù)取α1=0.4,κ=α1-1=-0.6,α2=2α1/(1+α1)=4/7,k1=1,k2=2,k3=3,k4=3。六個(gè)智能體的初始狀態(tài)為

x1(0)=(-5,-3,0)T

x2(0)=(-2,6,0)T

x3(0)=(1,1,0)T

x4(0)=(5,8,0)T

x5(0)=(3,3,0)T

x6(0)=(2,-5,0)Tv1(0)=(1.8,2,1.8)T

v2(0)=(1,1,0)T

v3(0)=(-0.5,-0.5,-2)T

v4(0)=(1.5,1.5,2.5)T

v5(0)=(-0.8,-1,-1)T

v6(0)=(-1,3,0)T

(32)

本文控制器如下

(33)

仿真結(jié)果如圖2-圖6所示。在圖2中,可以看到6個(gè)智能體初始狀態(tài)各不相同,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后可以在空間中達(dá)到一致狀態(tài)。智能體沿x軸、y軸、z軸方向的位移曲線如圖3所示,位移最終一致狀態(tài)分別為:xx=0.499t+0.667,xy=1.001t+1.667,xz=0.384t。智能體在x軸、y軸、z軸方向上的位移誤差曲線和速度誤差曲線,如圖4所示,位移誤差曲線由x1-xi, (i=2,3,4,5,6)構(gòu)成,經(jīng)過(guò)5 s后,位移誤差趨向于0。

圖2 三維空間中智能體的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 位移響應(yīng)曲線

圖4 位移誤差曲線

三維空間中,智能體沿x軸、y軸、z軸方向的速度如圖5所示,經(jīng)過(guò)大約5 s后,智能體的速度和位移都趨向一致。由注3可知,智能體的最終速度與初始速度和輔助變量的初始值有關(guān),智能體的最終一致速度為:vx=0.499 m/s,vy=1.001 m/s,vz=0.384 m/s。圖6給出了智能體的速度誤差曲線由v1-vi, (i=2,3,4,5,6)構(gòu)成。由可以看到,在x軸、y軸、z軸,智能體的位移誤差和速度誤差都收斂到0由上可知,在速度信息缺失的情況,控制協(xié)議(33)能夠下使多智能體系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。

圖5 速度響應(yīng)曲線

圖6 速度誤差曲線

仿真實(shí)例2(領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng))

圖7 領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者通信拓?fù)?/p>

x1(0)=(-5,-3,0)T

x2(0)=(-2,6,0)T

x3(0)=(1,1,0)T

x4(0)=(5,8,0)T

x5(0)=(3,3,0)T

x6(0)=(2,-5,0)Tv1(0)=(1.8,2,1.8)T

v2(0)=(1,1,0)T

v3(0)=(-0.5,-0.5,-2)T

v4(0)=(1.5,1.5,2.5)T

v5(0)=(-0.8,-1,-1)T

v6(0)=(-1,3,0)T

(34)

給定領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)為

(35)

其中,y0(0)=(0.5,0.5,1)T。

本文控制器如下

(36)

仿真結(jié)果如圖8-圖12所示。圖8給出了系統(tǒng)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡,可以看出,跟隨者智能體在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,能夠和領(lǐng)導(dǎo)者智能體的狀態(tài)達(dá)到一致,即跟隨者智能體能夠跟隨領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)。

圖8 三維空間中智能體的運(yùn)動(dòng)軌跡

智能體在x軸、y軸、z軸方向智能體位移分別為以vx=0.5 m/s,vy=0.5 m/s,vz=1.0 m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),并于領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)保持一致,如圖9所示。

圖9 位移響應(yīng)曲線

圖10給出了多智能體系統(tǒng)的位移誤差曲線,誤差曲線由x軸、y軸、z軸方向上的領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者位移之差組成,即x0-xi, (i=1,2,3,4,5,6),位移誤差曲線最終收斂到0。

圖10 位移誤差曲線

智能體沿x軸、y軸、z軸方向的速度曲線如圖11所示,領(lǐng)導(dǎo)者的穩(wěn)定速度為v0=(0.5, 0.5, 1),經(jīng)過(guò)6 s后,跟隨者的速度與領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)到一致。智能體的速度誤差曲線由v0-vi, (i=1,2,3,4,5,6)構(gòu)成,速度誤差最終可以收斂到0,如圖12所示。綜上所述,在控制協(xié)議(36)作用下,領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者的多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致。

圖11 速度響應(yīng)曲線

圖12 速度誤差曲線

6 結(jié)論

本文研究了無(wú)速度測(cè)量信息下的多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。為使系統(tǒng)狀態(tài)收斂到相同的狀態(tài),設(shè)計(jì)了一種無(wú)速度測(cè)量信息的多智能體有限時(shí)間一致性算法。該算法利用輔助系統(tǒng)解決了速度信息不可獲取的問(wèn)題,使用輔助系統(tǒng)的輸出和相對(duì)位移信息設(shè)計(jì)控制協(xié)議,并且將控制協(xié)議推廣到領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者多智能體系統(tǒng)中。運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和圖論等,證明了控制協(xié)議的有效性。通過(guò)對(duì)無(wú)速度測(cè)量的一致性協(xié)議進(jìn)行仿真表明,本文提出的控制協(xié)議可有效提高系統(tǒng)的收斂速度。