例說(shuō)求二次函數(shù)最值的途徑

錢(qián)健

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要函數(shù)，其圖象為一條拋物線.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題比較常見(jiàn)，其中二次函數(shù)的最值問(wèn)題較為復(fù)雜，通常要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、方程思想來(lái)輔助解題.要求二次函數(shù)的最值，往往要討論函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、開(kāi)口方向、單調(diào)性等.下面就兩類(lèi)二次函數(shù)最值問(wèn)題及其解法展開(kāi)討論，并總結(jié)出一些解題的技巧、思路.

一、求不含參數(shù)的二次函數(shù)的最值

不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題比較常見(jiàn)，這類(lèi)問(wèn)題通常要求根據(jù)二次函數(shù)的解析式和定義域求最值.在求最值時(shí)，可先判定二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，以確定其圖象的開(kāi)口方向；然后將函數(shù)式化為頂點(diǎn)式 y =ax -h2+k .一般地，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，函數(shù)在 R上有最小值 k；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，函數(shù)在 R上有最大值 k.若函數(shù)的定義域不為 R，則需根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸 x =h 與定義域的位置關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.還可根據(jù)函數(shù)的解析式畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象來(lái)確定最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，以確定最值.