解答平面向量最值問(wèn)題的三種路徑

張子超

平面向量最值問(wèn)題主要考查平面向量的公式、定理的應(yīng)用，對(duì)同學(xué)們的計(jì)算能力與綜合分析能力都有較高的要求，此類問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式有：（1）求某個(gè)向量的模的最值；（2）求某兩個(gè)向量數(shù)量積的最值；（3）求某個(gè)代數(shù)式的最值，本文以幾個(gè)題目為例，詳細(xì)介紹解答平面向量最值問(wèn)題的幾個(gè)路徑．

一、運(yùn)用坐標(biāo)系法

若平面向量最值問(wèn)題中涉及的圖形為規(guī)則圖形，就可以根據(jù)圖形的特征，尋找相互垂直的兩條直線，將其視為x軸與y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的方向向量，并將其代人目標(biāo)式，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)代數(shù)式的最值．運(yùn)用坐標(biāo)系法解題比較直觀、便捷，

運(yùn)用坐標(biāo)系法解題的關(guān)鍵在于建立合適的平面直角坐標(biāo)系，這里以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸的正方向，垂直于OA的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)∠AOC=a，便能根據(jù)題意快速求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)以及x+y的表達(dá)式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性就能求出最值．

二、采用基底法

基底法是求解平面向量最值問(wèn)題的重要方法．我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用一組基底來(lái)表示．那么在求解平面向量最值問(wèn)題時(shí)，可將目標(biāo)向量用一組合適的基底表示出來(lái)，通過(guò)基底之間的數(shù)乘、加減運(yùn)算以及數(shù)量積公式求得最值．

解答該題，需注意將數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形明確各個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系，選取合適的基底PO和OB，并用基底來(lái)表示出PA+PB+PC，最后利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最值．

三、利用函數(shù)性質(zhì)法

有些平面向量最值問(wèn)題中的目標(biāo)式較為復(fù)雜，很難快速求得最值，此時(shí)不妨選取合適的變量，根據(jù)目標(biāo)式的特征構(gòu)造函數(shù)模型，將平面向量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值．

解答本題，要先根據(jù)平面向量的共線定理，引人參數(shù)t，求得OP·AP的表達(dá)式；然后將其視為關(guān)于t的函數(shù)式，對(duì)其配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，

求解平面向量最值問(wèn)題的路徑很多，在遇到不同題目時(shí)，可以從多個(gè)方面進(jìn)行考慮，根據(jù)題意和解題經(jīng)驗(yàn)選擇最合適的、最簡(jiǎn)單的路徑求解，有時(shí)也需綜合運(yùn)用多個(gè)路徑來(lái)解題