淺談操作學(xué)具幫助學(xué)生理解豎式算理的策略

高雅

【摘 要】“不僅要掌握算法，還要理解算理”已成為教師計(jì)算課教學(xué)的共識(shí)，但學(xué)具操作幫助學(xué)生理解算理的實(shí)踐有效性還有待增強(qiáng)，教學(xué)中教師可以從“厘清算法算理是什么”“設(shè)計(jì)合適的導(dǎo)學(xué)問題”“聚焦關(guān)鍵動(dòng)作”幾個(gè)方面入手，凸顯直觀操作與抽象算理之間的聯(lián)結(jié)，從而幫助學(xué)生掌握算法、理解算理。

【關(guān)鍵詞】算法 算理 操作

筆者連續(xù)聽了三節(jié)北師大版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊第六單元加與減（三）的第四課時(shí)“閱覽室（兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法）”的常態(tài)教研課。三位教師課前都做了充分的準(zhǔn)備，尤其是在教具和學(xué)具的準(zhǔn)備上下足了功夫：從“閱覽室”情境中抽象出“30-7”的算式后，他們給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備了計(jì)數(shù)器和小棒，讓學(xué)生用計(jì)數(shù)器撥一撥，用小棒擺一擺，然后再組織學(xué)生展示分享自己是怎么撥、怎么擺的。課后交流時(shí)，三位執(zhí)教的教師都不約而同地反思道：花了大量的時(shí)間讓學(xué)生去操作、演示，學(xué)生動(dòng)手操作和上臺(tái)分享占用了課堂太多的時(shí)間，有的學(xué)生說得又不是很清楚，導(dǎo)致算法沒有時(shí)間去強(qiáng)化練習(xí)，而學(xué)生對(duì)算理的理解似乎并不是很深刻。筆者聽出教師的弦外之音其實(shí)是想問：已經(jīng)有很多學(xué)生能夠口算出30-7=23，課堂上還有沒有必要讓學(xué)生動(dòng)手操作？直接教計(jì)算方法是不是省事而且有效得多？面對(duì)教師的困惑，筆者先后追問了兩個(gè)問題：①課堂上為什么要讓學(xué)生擺一擺、撥一撥呢？②兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法的算法和算理到底是什么？對(duì)于問題①教師們幾乎不假思索地脫口而出：因?yàn)椴粌H要讓學(xué)生掌握算法，還要通過操作讓學(xué)生理解算理。但問題②，教師們有些驚詫，竟然一時(shí)語塞，陷入短暫的靜思中……

可見，教師對(duì)“計(jì)算課不僅要掌握算法，更重要的是要讓學(xué)生理解算理”“要通過對(duì)小棒、計(jì)數(shù)器等實(shí)物的操作幫助學(xué)生探索計(jì)算方法、理解算理”這樣的理念和目標(biāo)已經(jīng)耳熟能詳并且在實(shí)際教學(xué)中努力地為這樣的目標(biāo)實(shí)踐，但實(shí)踐效果并不理想，有的時(shí)候甚至讓教師產(chǎn)生“這樣的課堂教學(xué)效率并不高”的挫敗感。那么，教師將學(xué)具操作運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐時(shí)到底走入了什么誤區(qū)？計(jì)算教學(xué)時(shí)應(yīng)如何幫助學(xué)生掌握算法、理解算理？

一、研讀文本，厘清核心問題“算理、算法到底是什么”

“算法、算理到底是什么？”這是計(jì)算課教學(xué)的核心問題。這個(gè)問題會(huì)讓教師一時(shí)語塞，究其原因它在教學(xué)經(jīng)驗(yàn)里是一個(gè)“不是問題的問題”，連教師用書上都只是強(qiáng)調(diào)“掌握算法、理解算理”，而并未清楚地闡述算法和算理到底是什么。因此，教師有必要在研讀文本時(shí)弄清這個(gè)核心問題的本質(zhì)。

算法就是計(jì)算的方法，是“怎么算”的問題；算理就是計(jì)算的道理，也就是“為什么這么算”的問題。我們首先追溯到不退位減法的算法和算理：比如57-42，怎么算？個(gè)位7減2等于5，十位5減4等于1，所以結(jié)果是15。因此，不退位減法的常用計(jì)算方法是個(gè)位上的數(shù)減個(gè)位上的數(shù)，十位上的數(shù)減十位上的數(shù)，也就是相同數(shù)位上的數(shù)相減。那么，這樣算的道理是什么呢？道理就是只有相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。

從不退位減法到退位減法，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生怎樣的思維沖突呢？比如30-7，用原有的計(jì)算方法“個(gè)位上的數(shù)減個(gè)位上的數(shù)”會(huì)遇到“新問題”，因?yàn)閭€(gè)位的0減7不夠減，那怎么辦呢？辦法就是退1當(dāng)10再減。為什么是“退1當(dāng)10”呢？因?yàn)?個(gè)十就是10個(gè)一，“退1當(dāng)10”實(shí)際就是“十”與“一”這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的等量轉(zhuǎn)換。簡而言之：兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法的算法就是在原有的“相同數(shù)位上的數(shù)分別相減”的基礎(chǔ)上“退1當(dāng)10再減”，算理就是“1個(gè)十相當(dāng)于10個(gè)一”。那么，與此相對(duì)應(yīng)的進(jìn)位加法的算法就是“滿10進(jìn)1”，算理就是“10個(gè)一是1個(gè)十”。后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)加減法和多位數(shù)加減法時(shí)，學(xué)生可以以此為經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步深化理解“滿十進(jìn)一”和“退一當(dāng)十”的道理并由此發(fā)展多樣化的算法。

又如學(xué)習(xí)除法豎式時(shí)，“理解除法豎式中每一步的含義”也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，教師往往也是通過分物過程來解釋豎式每一步所表示的意思，從而幫助學(xué)生理解除法豎式的算理。那么，除法豎式的算理到底是什么呢？以68÷2為例（見下表）：

教學(xué)時(shí)要結(jié)合現(xiàn)實(shí)的分物過程解釋豎式每一步的意思，讓學(xué)生體會(huì)，豎式是分物過程的一種記錄方式，從而讓學(xué)生把分物操作內(nèi)化成其數(shù)學(xué)思維過程。

二、設(shè)計(jì)合適的導(dǎo)學(xué)問題，引領(lǐng)學(xué)生帶著問題動(dòng)手操作

問題的指向性是否明確也是影響教學(xué)效果的重要因素之一。在教學(xué)“30-7”時(shí)，在學(xué)生動(dòng)手操作前，教師提出了比較常見的導(dǎo)學(xué)問題：30減7得多少或者30減7怎么算？請你用小棒和計(jì)數(shù)器算一算。這個(gè)導(dǎo)學(xué)問題有兩個(gè)弊端：一是學(xué)生沒有操作小棒和計(jì)數(shù)器的需求，只是按照教師的要求進(jìn)行“假操作”，因?yàn)樗缇退愠隽?0-7=23；二是學(xué)生誤認(rèn)為用小棒計(jì)算、用計(jì)數(shù)器計(jì)算、用豎式計(jì)算是三種不同的計(jì)算方法。其實(shí)在這里，小棒、計(jì)數(shù)器、豎式是三種不同的計(jì)算工具，而小棒和計(jì)數(shù)器能直觀地演示出豎式計(jì)算中“在十位上打個(gè)小圓點(diǎn)，個(gè)位就變成10減7”的道理，即小棒和計(jì)數(shù)器的演示是為了直觀理解算理，這也是小棒和計(jì)數(shù)器操作的必要性和重要性所在。設(shè)計(jì)怎樣的導(dǎo)學(xué)問題，才能讓學(xué)生產(chǎn)生用小棒和計(jì)數(shù)器操作的需求并幫助學(xué)生理解“退一當(dāng)十”的道理呢？

“0減7不夠減，怎么辦呢？”“要從3捆里減去7根，怎么辦呢？”“個(gè)位一個(gè)珠子也沒有，要減去7個(gè)，怎么辦呢？”這類問題是引領(lǐng)學(xué)生動(dòng)手操作的重要導(dǎo)學(xué)問題?！霸趺崔k？”指向?qū)W生需要?jiǎng)幽X筋想辦法解決問題，從而產(chǎn)生操作的需求并在操作時(shí)關(guān)注解決問題的方法，而不僅僅是關(guān)注計(jì)算的結(jié)果。從小棒的操作來看，需要拆散一捆，變成10根，從10根里減去7根。從計(jì)數(shù)器的操作來看，需要從十位退掉1顆珠子換成個(gè)位的10顆珠子，再從個(gè)位的10顆珠子里減去7。這些操作動(dòng)作都是在直觀地解釋豎式中“在十位打個(gè)小圓點(diǎn)就在個(gè)位當(dāng)10來減”的原因，豎式則是在簡潔地記錄“退1當(dāng)10”的過程。

相對(duì)于“怎么算？得多少？”，“不夠減怎么辦？”是更貼近一年級(jí)學(xué)生認(rèn)知水平的導(dǎo)學(xué)問題，能有效地幫助學(xué)生建立直觀操作與抽象數(shù)算之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而達(dá)到通過直觀操作理解算理的目的。因此，在實(shí)踐教學(xué)中，教師需要將核心素養(yǎng)的目標(biāo)具體化，并依據(jù)具體化的目標(biāo)設(shè)計(jì)最能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)需求和思考的導(dǎo)學(xué)問題。

三、聚焦關(guān)鍵動(dòng)作，幫助學(xué)生建立聯(lián)結(jié)，澄清思維

學(xué)生在導(dǎo)學(xué)問題的引領(lǐng)下，運(yùn)用小棒和計(jì)數(shù)器進(jìn)行獨(dú)立操作之后，教師會(huì)組織學(xué)生展示分享他們解決問題的過程和方法。獨(dú)立操作后的集體展示分享是課堂教學(xué)中非常重要的一種教學(xué)方式，在一定程度上保證了學(xué)生學(xué)習(xí)思考的時(shí)間和空間。如果說獨(dú)立操作是個(gè)體自主學(xué)習(xí)的過程，那么展示分享就是一個(gè)集體共享共進(jìn)的過程。而最讓教師苦惱的是學(xué)生的“共享”往往不得要領(lǐng)，“共進(jìn)”也有點(diǎn)停滯不前。怎么辦？鄭毓信教授指出，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)不能忽視教師的指導(dǎo)和幫助。在展示分享環(huán)節(jié)，教師如何指導(dǎo)和幫助學(xué)生想得更深入、更全面、更清晰呢？“聚焦關(guān)鍵動(dòng)作，建立直觀操作與抽象算理之間的聯(lián)結(jié) ”是教師需要建立的重要思維方式。

就退位減法這節(jié)課而言，操作的關(guān)鍵是“把1捆拆開”或者“十位1顆珠子換成個(gè)位十顆珠子”，而學(xué)生的展示分享往往是流水賬式的，即把“拆開一捆、從10根里去掉7根、還剩23根”的全過程一點(diǎn)不差地演示出來，甚至在減7根的時(shí)候還是一根一根減的，導(dǎo)致演示過程很長，學(xué)生注意力分散。因此，教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成操作后思考的習(xí)慣，即回顧反思，想想是怎么解決問題的，解決問題的關(guān)鍵是什么；然后在思考的基礎(chǔ)上聚焦到關(guān)鍵動(dòng)作是“散開一捆變成10根”或者“將十位的一顆珠子換成個(gè)位的10顆珠子”，從而理解“退一當(dāng)十”。

這樣的算法和算理教學(xué)不僅適用于兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法，也適用于多位數(shù)的退位減法。從這個(gè)意義來說，兩位數(shù)的退位減法又是整個(gè)退位減法教學(xué)的起始課，而退位減法的計(jì)算方法又蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的思想，即“個(gè)位不夠減”這個(gè)新問題如何轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的舊問題，只要“借1當(dāng)10”就實(shí)現(xiàn)了新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化，新問題就能迎刃而解。

關(guān)于算法和算理的教學(xué)貫穿整個(gè)小學(xué)階段的四則運(yùn)算，對(duì)“什么是算法和算理”的追問又應(yīng)該統(tǒng)領(lǐng)運(yùn)算教學(xué)的全過程，這樣相關(guān)教學(xué)就不僅是給操作與分享提供時(shí)間和空間，而更重要的是指導(dǎo)學(xué)生在操作和分享中實(shí)現(xiàn)從經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知到數(shù)學(xué)認(rèn)知的超越。