數(shù)形結(jié)合巧解題

黃燁華

通過觀察圖形來探究數(shù)量關(guān)系，或利用數(shù)量關(guān)系來描述圖形特征，從而使復雜的問題簡單化，這種思想方法稱為數(shù)形結(jié)合思想.用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分為兩類：①利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題，它常常借用數(shù)軸、直角坐標系、函數(shù)圖象等；②運用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題，常常要建立方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系等.下面簡單介紹“數(shù)形結(jié)合”巧解初中數(shù)學題的幾種情形.

一、數(shù)形結(jié)合巧解圖形變化規(guī)律問題

初中階段的圖形變化規(guī)律題中往往涉及數(shù)字的變化，圖形關(guān)系在發(fā)生規(guī)律性的變化時，數(shù)量關(guān)系也會隨之出現(xiàn)規(guī)律性的變化.解題時我們應從分析圖形結(jié)構(gòu)的形成過程入手，從簡單到復雜進行歸納猜想，從而獲得隱含的數(shù)字規(guī)律，并用代數(shù)式描述出來，進而解答相關(guān)問題.

例1 圖1是小明用火柴搭的1條、2條、3條“金魚”……，則搭 n 條“金魚”需要火柴_________根.

分析：本題雖然是圖形問題，但依然可以采用數(shù)形結(jié)合思想來解.可以將火柴棒擺成的金魚“形”轉(zhuǎn)化為火柴棒的“數(shù)”量.

解：1條金魚，有8根火柴；

2 條金魚，有 14 根火柴，比 1 條金魚多 6根；

3 條金魚，有 20 根火柴，比 2 條金魚多 6根，比1條金魚多2×6根；

……n 條金魚，有（）根火柴，比（n-1）條金魚多 6 根，比（n-2）條金魚多 2×6 根，……，比1條金魚多（n-1）×6根；

這樣，利用遞推的方法就可以推算出第n條金魚需要8+6×（n-1）=6n+2根.

點評：本題主要考查圖形的變化規(guī)律.解答此類題目的方法是：從變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變的部分和變化的部分及變化部分的特點.

二、數(shù)形結(jié)合巧解二元一次方程組問題

二元一次方程組和一次函數(shù)的結(jié)合很好地詮釋了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，我們可以利用兩直線的交點坐標確定方程組的解，也可以利用方程組的解確定兩直線的交點坐標.在利用一次函數(shù)圖象解二元一次方程組時，兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標是 x 的值，縱坐標是y的值，正確找出交點坐標是解題的關(guān)鍵．

例2 用圖象法解某二元一次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖 2 所示），則所解的二元一次方程組是（

）分析：題目已經(jīng)給出方程組的圖象，我們根據(jù)圖象可以明確兩條直線的斜率，進而直接將圖象中兩直線的交點坐標P帶入方程即可以驗證準確與否.

解：由圖可知，兩直線都過P（1，1）點，其中一條直線斜率為 k=-1，另一條直線斜率為k=2.對比選項，只有選項 D 滿足條件，其中直線 x + y - 2 = 0的斜率為k=-1，直線2x - y - 1 = 0的斜率為 k=2，而且都滿足過 P（1，1）.答案為D項.

評注：通過圖象求解二元一次方程組問題，除了關(guān)注交點坐標外，還要看圖象能提供哪些其他信息，同時要關(guān)注選項，對比出選項的異同點.

三、數(shù)形結(jié)合巧解二次函數(shù)問題二次函數(shù)蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸以及與坐標軸的交點等都與其系數(shù) a，b，c 密不可分.因此，在解答二次函數(shù)問題時，要把圖形的性質(zhì)特征與數(shù)量關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，通過觀察圖象分析圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，通過分析數(shù)量關(guān)系的變化判斷函數(shù)圖象的運動軌跡，從而求解.

例 3 圖 3 為二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象，在下列說法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④當 x＞1時，y隨x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.結(jié)論一定成立的是（ ）.

分析：此題考查了二次函數(shù)的圖象.我們可以借助于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)特征完成解題.

評注：“數(shù)形結(jié)合”要牢牢地抓住“數(shù)”的性質(zhì)和“形”的特征，本題考查了同學們對二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系的理解和運用，同時也考查了觀察圖象的能力.同學們一定要重視對定義、概念以及原理的學習，這些都是數(shù)形結(jié)合的根源.

四、數(shù)形結(jié)合巧解統(tǒng)計問題

解答統(tǒng)計問題的重點在于收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、將數(shù)據(jù)用圖形的方式表達出來，這充分顯示了數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運用.條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖是初中數(shù)學統(tǒng)計學中的重點.如果是關(guān)于比重的問題，可以使用扇形統(tǒng)計圖.如果是關(guān)于數(shù)據(jù)集中分析的問題，可以使用條形統(tǒng)計圖.如果是關(guān)于數(shù)據(jù)變化規(guī)律問題，可以使用折線統(tǒng)計圖.利用統(tǒng)計圖簡潔明了的特點展示數(shù)據(jù)，可以讓我們對結(jié)果或者規(guī)律一目了然.

例4 某自行車公司調(diào)查陽光中學的學生對其產(chǎn)品的了解情況，隨機抽取部分學生進行問卷，結(jié)果分“非常了解”“比較了解”“一般了解”“不了解”四種類型，分別記為A、B、C、D.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.

（1）本次問卷共隨機調(diào)查了名學生，扇形統(tǒng)計圖中m=．

（2）請根據(jù)數(shù)據(jù)信息補全條形統(tǒng)計圖．

（3）若該校有 1000 名學生，估計選擇“非常了解”“比較了解”共約有多少人？

點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

總之，數(shù)形結(jié)合思想在解答各類數(shù)學問題時都有用武之地.同學們要注意結(jié)合題目信息以及知識點之間的聯(lián)系，把握“數(shù)”的性質(zhì)與“形”的特征，充分挖掘隱含條件，靈活實現(xiàn)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，進而準確、快捷、高效地解題.