張衛(wèi)明：專題復(fù)習　圖形的認識

張衛(wèi)明

圓的概念和性質(zhì)多，圖形之間位置復(fù)雜。同時，圓與三角形、四邊形的綜合應(yīng)用能力考查要求高，如果對圓的概念本質(zhì)理解不夠透徹，便會在應(yīng)用時混淆相似的性質(zhì)；對性質(zhì)條件內(nèi)容疏忽，就不能形成正確的數(shù)學幾何思維。下面舉例剖析圓中常見的幾個易混淆的概念，希望對同學們掌握圓的內(nèi)容有所幫助。

一、對圓軸對稱性理解模糊

例1 下列命題中，正確的是（）。

A.平分弦的直線，必垂直于弦

B.垂直于弦的直線，必經(jīng)過圓心

C.垂直平分弦的直線必平分弦所對的弧

D.平分弦的直徑必垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

【解析】對于本題，可以在紙上畫出草圖，利用排除法或舉反例進行判斷。平分弦的直線不一定垂直于這條弦，故A錯誤；垂直于弦的直線不一定過圓心，故B錯誤；當這條弦為直徑時，兩條直徑不一定垂直，故D錯誤；由垂徑定理可得C正確。故選C。

【點評】本題考查垂徑定理的運用，需要借助圓的軸對稱性才能真正理解垂徑定理。對于一個圓和一條直線來說，如果一條直線具備：①經(jīng)過圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣弧，這五個條件中的任何兩個，那么也就具備其他三個條件。

二、圓中位置關(guān)系分類不清

例2 已知⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（）。

A.[25] B.[45]

C.[25]或[45] D.[23]或[43]

【解析】連接OA。

∵AB⊥CD，

∴AM=BM=4。

在Rt△OAM中，OA=5，

∴OM=[OA2-AM2]=[52-42]=3。

如圖1，CM=8，

∴AC=[AM2+CM2]=[82+42]=[45]；

如圖2，CM=2，

∴AC=[AM2+CM2]=[42+22]=[25]。

故選C。

【點評】由AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理易得AM=4，再根據(jù)勾股定理計算出OM=3。由于題目沒有給出具體的圖形，對于點C與點M的位置需要分類討論：點C與點M位于圓心異側(cè)；點C與點M位于圓心同側(cè)。

三、切線判定方法選擇偏頗

例3 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D，說明：直線AB是⊙O的切線。

【解析】如圖4，連接OD、CD。

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=[12]AB，∠A=60°。

∵D為AB的中點，

∴BD=AD=[12]AB。

∴AD=AC。

∴△ADC是等邊三角形。

∴∠ADC=∠ACD=60°。

∵∠ACB=90°，

∴∠DCO=30°。

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠DCO=30°。

∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=90°，

即OD⊥AB。

又∵OD過圓心O，

∴直線AB是⊙O的切線。

【點評】切線的證明是中考必考題型。對于圓的切線的證明，主要有以下兩種方法：一是切線的判定定理，二是借助“d=r”。兩種方法要注意區(qū)分，當題目提到有公共點時選判定定理，連半徑，證垂直；當條件或圖形中沒有公共點時（或沒有標注字母），則過圓心作直線的垂線段，證“d=r”。

同學們在平時的學習中，要重視概念的學習，理解概念形成和應(yīng)用的條件，掌握概念之間的轉(zhuǎn)換條件，這樣才能做好知識點之間的融會貫通，學數(shù)學會越學越輕松。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學）