2020—2022年新高考卷函數(shù)試題分析與教學(xué)啟示

賴婷婷　楊燕　毋曉迪

【摘要】本文從核心知識、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等四個維度統(tǒng)計和分析2020—2022年的新高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套試卷中考查必修部分函數(shù)知識的試題，發(fā)現(xiàn)它們具有堅持立足基礎(chǔ)、巧設(shè)問題情境、聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等特點，提出：突出必備知識，引導(dǎo)教學(xué)回歸基礎(chǔ)；創(chuàng)新試題情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用；注重本質(zhì)探究，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想；優(yōu)化函數(shù)教學(xué)，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】新高考 試題分析 核心素養(yǎng) 高中數(shù)學(xué) 函數(shù)

【中圖分類號】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）08-0100-05

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的四條主線之一，其思想方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出將研究函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系作為數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，強調(diào)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容之間的銜接，其學(xué)習(xí)過程涵蓋觀察、分析、抽象、概括等方法。隨著新課程、新教材、新高考的推進(jìn)，課程與教學(xué)評價方式變革的實現(xiàn)面臨著高考改革有待深化的問題。函數(shù)命題設(shè)計圍繞著讀懂題目、作出圖象并觀察、用數(shù)學(xué)語言分析與表達(dá)、通過邏輯推理進(jìn)行求解論證等四個環(huán)節(jié)進(jìn)行，通過閱讀題目，理解題意，抽象概括，建立刻畫函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，借助圖形和空間進(jìn)行分析、推理與論證，加強了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。

如表1所示，本文結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》，從核心知識、關(guān)鍵能力（邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力）、數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想）、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等四個維度統(tǒng)計和分析2020—2022年的新高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套試卷中考查必修部分函數(shù)知識的試題，探索命題的多樣性。

一、數(shù)學(xué)新高考卷命題特點

筆者以條件、問題和一般解法涉及的知識點、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)思想以及核心素養(yǎng)為統(tǒng)計對象，統(tǒng)計與分析2020—2022年數(shù)學(xué)新高考卷考查函數(shù)知識的試題，具體內(nèi)容如表2所示。

可見，試題設(shè)計的基礎(chǔ)為核心知識，載體為問題情境，特征為關(guān)鍵能力，它們依托思想方法落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（一）突出核心知識，體現(xiàn)創(chuàng)新性與綜合性

根據(jù)表2，試題考查的函數(shù)知識點相對穩(wěn)定，核心知識覆蓋較全，主要涉及函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性）、指數(shù)運算、對數(shù)運算、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等內(nèi)容。函數(shù)的基本性質(zhì)中的奇偶性和單調(diào)性、函數(shù)圖象考查頻率居高，幾乎每年每套試題都有涉及，而且這6套新高考卷函數(shù)部分考題的創(chuàng)新性與綜合性在不斷提高，與高中數(shù)學(xué)其他模塊內(nèi)容融合，對學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握情況要求更高，如2020年新高考卷Ⅱ第17題、2022年新高考卷Ⅰ第18題融合了正弦定理、余弦定理，2021年新高考卷Ⅰ第10題融合了平面向量，2021年新高考卷Ⅱ第14題融合了導(dǎo)數(shù)。

（二）巧用問題情境，綜合考查關(guān)鍵能力

根據(jù)表2的統(tǒng)計與分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，每道題平均考查1—2個數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，并且這些關(guān)鍵能力的考查并不是獨立展開的，而是緊密聯(lián)系的。試題的設(shè)計以函數(shù)知識為基礎(chǔ)，考查學(xué)生提取、組織題目條件的能力，以及對函數(shù)知識的抽象、記憶、理解、應(yīng)用、分析與創(chuàng)造的能力。以函數(shù)思想方法為引領(lǐng)，通過運用函數(shù)思想與函數(shù)模型，考查數(shù)學(xué)建模能力；通過運用數(shù)形結(jié)合思想，考查空間想象能力；通過應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般思想，考查邏輯推理能力。例如，2020年新高考卷Ⅰ第6題，以新冠疫情為背景，考查的知識點集中于指數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪指運算，在關(guān)鍵能力上體現(xiàn)綜合性。學(xué)生首先需要運用數(shù)學(xué)建模能力，將試題中的生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后運用邏輯思維能力，對新冠疫情初期病例感染數(shù)變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測分析，最終運用運算求解能力，求解出累計感染病例數(shù)加倍所需的時間；2021年新高考卷Ⅱ第14題給出三個條件，求同時滿足這三個條件的一個函數(shù)解析式，考查知識點集中于函數(shù)的奇偶性、可導(dǎo)性，學(xué)生需要首先運用邏輯思維能力，分析、列舉、推導(dǎo)出分別符合題干三個條件的函數(shù)解析式，然后運用創(chuàng)新能力，整合所列出的函數(shù)解析式，最終得出同時滿足三個條件的函數(shù)解析式。學(xué)生只有同時掌握上述關(guān)鍵能力，才能夠解決復(fù)雜情境下的問題。

（三）借助三角函數(shù)，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想

根據(jù)表2，轉(zhuǎn)化與化歸思想是近三年新高考卷集中考查的數(shù)學(xué)思想，其次是數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，最后是函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想。作為高中函數(shù)必修部分的重要內(nèi)容，三角函數(shù)知識幾乎每年每套題中都有涉及，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例如，2020年新高考卷Ⅰ第17題、新高考卷Ⅱ第17題，2021年新高考卷Ⅰ第6題和第10題，2022年新高考卷Ⅰ第18題、新高考卷Ⅱ第6題，以基本公式sin²x+cos²x=1，sinx/cosx=tanx以及三角恒等變換為考查要點，要求學(xué)生充分理解它們的內(nèi)在聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；2020年新高考卷Ⅰ第10題、新高考卷Ⅱ第11題以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象為考查要點，2022年新高考卷Ⅰ第6題、新高考卷Ⅱ第9題以正弦函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性為考查知識點，要求學(xué)生能夠理解參數(shù)變化對函數(shù)圖象的影響，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立知識之間的聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想。

（四）突出數(shù)學(xué)運算與邏輯推理素養(yǎng)的滲透

新高考卷試題中每道題平均考查2—3方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，尤其重視對數(shù)學(xué)運算與邏輯推理這兩大核心素養(yǎng)的考查，特別是作為解決數(shù)學(xué)問題基本手段的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，幾乎每道題都有涉及，其次是考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，而較少考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。例如，2020年新高考卷Ⅰ第11題、新高考卷Ⅱ第12題，2021年新高考卷Ⅱ第7題以及2022年新高考卷Ⅰ第7題，雖然試題考查的是指數(shù)運算、對數(shù)運算、基本不等式等基礎(chǔ)知識，但學(xué)生需要理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路與論證過程，才能求得運算結(jié)果，從而促使數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處；2022年新高考卷Ⅰ第12題，要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性與對稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，要求學(xué)生具有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)建議

（一）突出必備知識，引導(dǎo)教學(xué)回歸基礎(chǔ)

新高考卷以《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容為命題依據(jù)，將函數(shù)的概念、性質(zhì)作為解決數(shù)學(xué)問題的起點，強調(diào)對函數(shù)概念、性質(zhì)、運算法則的理解和應(yīng)用，突出基礎(chǔ)性。試卷中基礎(chǔ)題占比穩(wěn)定，讓大多數(shù)學(xué)生都能正確解答，增強學(xué)生的解題信心，著重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況。根據(jù)對近三年新高考卷試題和《課程標(biāo)準(zhǔn)》的分析，一線高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)處理好基礎(chǔ)知識、基本技能與核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，建立三者之間的銜接路徑，引導(dǎo)教學(xué)回歸基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，教師要通過開展認(rèn)知活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)必備知識和基本技能，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。新高考卷加強對基本函數(shù)概念和性質(zhì)、基本方法與法則、基本技能、基本函數(shù)模型的考查，增強考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性，引導(dǎo)教學(xué)夯實學(xué)生基礎(chǔ)。

例1（2021年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅱ）14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）：_________________。

①f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；②當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）>0；③f（x）是奇函數(shù)。

本題屬于結(jié)論開放性問題，試題設(shè)計是“結(jié)構(gòu)不良問題”，答案開放，但考查的并不是很偏、很難的知識點，而是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識。因此，在教學(xué)過程中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)通性通法，夯實數(shù)學(xué)必備知識，使得教學(xué)回歸基礎(chǔ)。

（二）創(chuàng)新試題情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用

近年來，情境化試題成為新高考試題的主要呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科考試由“知識立意、能力立意”向“素養(yǎng)立意”的轉(zhuǎn)變。情境教學(xué)讓學(xué)生在情境中感受、在情境中思考討論。創(chuàng)設(shè)情境為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供了支持，能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生能夠在教師引導(dǎo)下運用所學(xué)知識和已有的生活經(jīng)驗解決現(xiàn)實中的問題，從而加強數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系。因此，教師在教學(xué)中要注意通過實際例子抽象相應(yīng)的函數(shù)概念，將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境，以數(shù)學(xué)問題來支持函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。

例2（2020年高考數(shù)學(xué)新高考卷I）6.基本再生數(shù)[R0]與世代間隔[T]是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)。基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：[I（t）=ert]描述累計感染病例數(shù)[I（t）]隨時間[t]（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率[r]與[R0]，[T]近似滿足[R0=1+rT]，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出[R0=3.28]，[T=6]。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需的時間約為（ ）。

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

本題以新冠疫情為背景，將學(xué)生現(xiàn)實生活中遇到的熱點問題嵌入試題中，有助于學(xué)生將學(xué)到的函數(shù)基礎(chǔ)知識、思想方法與生活實際問題聯(lián)系起來。因此，教師在教學(xué)過程中要從函數(shù)的基礎(chǔ)知識出發(fā)，挖掘其在不同背景、不同學(xué)科中的應(yīng)用內(nèi)容和形式，創(chuàng)設(shè)多樣化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，拓展與遷移知識，最終實現(xiàn)聯(lián)系實際、學(xué)以致用。

（三）轉(zhuǎn)化與化歸，注重本質(zhì)探究

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)體現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識又是數(shù)學(xué)思想的具體呈現(xiàn)。函數(shù)相關(guān)試題重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。作為高中數(shù)學(xué)重要的函數(shù)模型，三角函數(shù)當(dāng)中蘊含著轉(zhuǎn)化與化歸思想，因此，教師在教學(xué)時，不僅要充分利用單位圓幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的定義、公式推導(dǎo)等知識，更要在教學(xué)誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）等知識的過程中，注重對其本質(zhì)進(jìn)行探究，將轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿始終。

例如，在誘導(dǎo)公式的教學(xué)中，教師借助單位圓，在任意角的三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，建立任意角的三角函數(shù)值與跟該角終邊具有對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，從而將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想；運用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值時，先將負(fù)角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角三角函數(shù)，再進(jìn)行0—2π內(nèi)的三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，最后將其轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

（四）提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

近年來，新高考命題以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，體現(xiàn)育人功能。從表2可以看出，函數(shù)相關(guān)試題不僅考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，還側(cè)重對學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，特別是對邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查，強調(diào)知識的遷移與應(yīng)用。因此，邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)應(yīng)成為教師在函數(shù)教學(xué)中需要著重培養(yǎng)的內(nèi)容。

一方面，教師要重視鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。在教學(xué)函數(shù)的過程中，教師以問題為載體，通過問題串的形式，逐層遞進(jìn)，步步探索，不僅重視學(xué)生對知識的理解，還重視推導(dǎo)過程，從“如何激發(fā)學(xué)生思維”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動探索，嘗試解釋原因、機(jī)理，理解知識的內(nèi)涵。在發(fā)現(xiàn)和探討的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解知識，明白數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成嚴(yán)密的思維邏輯鏈條，突出以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。通過探究一般性結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生把握事物的本質(zhì)屬性，形成條理清晰、論據(jù)明確的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，從而提升邏輯推理素養(yǎng)。

另一方面，教師要注重開展思維訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。如通過例題和適當(dāng)練習(xí)，加深學(xué)生對所學(xué)函數(shù)知識的理解與應(yīng)用，使其深刻體會函數(shù)知識的內(nèi)涵。在練習(xí)的過程中，學(xué)生從函數(shù)知識的簡單應(yīng)用出發(fā)，不僅鞏固了所學(xué)知識，而且拓展數(shù)學(xué)思維，從而發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

函數(shù)不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本概念，還是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一，貫穿在整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中。高考數(shù)學(xué)新高考卷函數(shù)部分試題既立足于《課程標(biāo)準(zhǔn)》，考查函數(shù)基礎(chǔ)知識，又具有一定的創(chuàng)新性，指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。試題聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，有效突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，體現(xiàn)高考選拔功能。在廣西實施新高考的背景下，一線教師非常有必要深入研究已有新高考試題，找準(zhǔn)教學(xué)方向，從而更從容地迎接新高考帶來的機(jī)遇與挑戰(zhàn)。

參考文獻(xiàn)

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注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度專項課題“基于高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展之研究性學(xué)習(xí)的開展策略與實踐研究”（2021ZJY1814）的研究成果。

作者簡介：賴婷婷（1997— ），廣西南寧人，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育；

楊燕（1990— ），廣西南寧人，講師，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究；

毋曉迪（1992— ），碩士，講師，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 劉小瑗）