從表象認知走向本質(zhì)理解
——《圓的認識》教學(xué)實踐

□ 孫麗卿

圓是學(xué)生在小學(xué)階段要認識的最后一個平面圖形，對他們而言，圓既熟悉又陌生。學(xué)生在生活中的很多地方都能看見形形色色的圓，但大部分學(xué)生對圓的認識均處于表象認知階段，對圓的本質(zhì)屬性很陌生。人教版教材六年級上冊《圓的認識》的編排，要求學(xué)生結(jié)合已有的知識經(jīng)驗，用多種方法畫圓，并在畫圓的過程中認識圓心、半徑、直徑，以及半徑、直徑的關(guān)系等。教學(xué)時，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對圓的本質(zhì)的理解，以培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、初步表征，喚醒經(jīng)驗

（一）觀察“靜態(tài)圓”

師：今天我們來認識一種大家既熟悉又陌生的圖形——圓。

（板書：圓的認識）

師：課前，我已經(jīng)讓大家觀察過生活中的圓，哪位同學(xué)來說一說，生活中哪些地方有圓？

生：硬幣、球、茶杯的一個底面……

（教師用課件出示生活中形形色色的圓）

師：看著這些圓，誰能說說圓長什么樣？

生：彎彎的，胖胖的，不是凹凸不平的（用手比畫平面圖形）。

師：同學(xué)們對圓的描述都很形象。圓其實是人們從現(xiàn)實生活中抽象出來的一種平面圖形。

師：剛才有個同學(xué)說球也是圓，你們同意嗎？球與圓有什么不同？

生：不同意，球是立體圖形。

生：圓是一個平面圖形，而球是立體圖形。

師：我們已經(jīng)學(xué)過哪些平面圖形了？

生：長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

（教師用課件出示圖1）

圖1

師：以前學(xué)過的這些平面圖形和圓有什么區(qū)別？

生：以前學(xué)過的平面圖形是有角的，線是直的；圓沒有角，線是彎的。

師：以前學(xué)的平面圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形。

設(shè)計意圖：教師課前布置學(xué)生觀察生活中的圓，讓學(xué)生結(jié)合生活中的圓，交流“圓長什么樣”，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論球與圓、以前學(xué)過的平面圖形與圓之間的區(qū)別，讓學(xué)生在比較中感悟圓是曲線圍成的平面圖形，經(jīng)歷圓概念的初步抽象過程。

（二）觀察“動態(tài)圓”

（教師用課件出示“滴水成圓”和“操場畫圓”的準備狀態(tài)）

師：這樣能形成圓嗎？

生：能形成圓。

師：請大家想象一下形成圓的過程。

（教師用課件分別動態(tài)展示圓的形成過程）

師：觀察圓的兩種形成過程，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都有一個中心。

師：“滴水成圓”是如何由中心形成圓的？“操場畫圓”呢？

生：“滴水成圓”是從中間一點向外慢慢擴散形成一個圓，“操場畫圓”是以繩子的一個端點為中心，把繩子拉直，用繩子的另一個端點繞一周形成一個圓。

生：“滴水成圓”形成了好多個圓，這些圓是按從小到大的順序出現(xiàn)的；“操場畫圓”只形成了一個大小固定的圓。

（教師板書：中心均勻擴散、端點旋轉(zhuǎn)一周。如圖2）

圖2

師：圓中有很多奧妙，今天我們就來一起探索圓的神秘世界。

設(shè)計意圖：教師呈現(xiàn)圓的動態(tài)形成過程，讓學(xué)生在觀察與思考中進一步體會什么是圓，為后續(xù)理解圓的本質(zhì)特征奠定基礎(chǔ)。

二、建立聯(lián)系，探究本質(zhì)

（一）聯(lián)系“一中同長”畫圓

任務(wù)一：根據(jù)“滴水成圓”現(xiàn)象，不用圓規(guī)（可用刻度尺），選擇圖3中的一個正方形，在里邊畫出一個最大的圓。

圖3

（教師出示任務(wù)一，提出活動要求：①獨立完成；②小組交流；③展示匯報。學(xué)生根據(jù)要求完成任務(wù)一后，教師引導(dǎo)學(xué)生進行反饋交流）

師：請第一組小組代表來匯報。

（學(xué)生代表出示小組作品，如圖4）

圖4

生：我們先經(jīng)過原圖中虛線的交點，用尺畫一些線，再用尺量出虛線一半的長度，在我們所畫的每條線上找到距離交點同樣長度的位置并描上點，最后把這些點按畫曲線的方法連起來，就形成了圓。

師：說得很好，你是受到“滴水成圓”過程的啟發(fā)吧，由一點均勻向外擴散能形成圓，所以你從正方形的中心位置出發(fā)，畫了一些長度相等的線段，用曲線把這些線段的端點連起來，就畫出了圓。

師：我剛才還收集了另外兩名同學(xué)的作品（如圖5），他們基本也是按照第一小組的思路畫的圓，可為什么右邊的作品看起來明顯不夠圓呢？

圖5

生：圖中這個圖形從中心點到四周的距離不相等，所以圖形就不圓了。

生：我也同意這樣的說法。我還想補充一點，他畫的線比較少，所以畫起來有難度。

師：我國古代著名思想家、教育家墨子在2400年前就說過一句話：“圓，一中同長也?！蹦隳芾斫膺@句話的意思嗎?

生：這句話的意思是說，圓的中心點到圓上的距離處處相等。

師：我也做了一個“一中同長”的圖形，我是這樣做的。

（教師用課件逐一演示，如圖6）

圖6

師：如果要形成一個完整的圓，你們覺得要畫多少條同樣長度的線段？

生：無數(shù)條。

師：對，無數(shù)條同樣長度的線段就會在四周形成無數(shù)個點，當點無限多的時候，這些點就構(gòu)成了一條曲線，也就形成了圓。

（教師板書：同長、無數(shù)個點、曲線）

師：你們知道形成圓最關(guān)鍵的要素是什么嗎？

生：中心和同長。

師：數(shù)學(xué)上把圓中心的一點叫作圓心，用大寫字母O表示；把連接圓心與圓上任意一點的線段長度叫作半徑，用小寫字母r表示。

師：現(xiàn)在大家知道圓的圓心和半徑有什么用了嗎？

生：圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。

設(shè)計意圖：教學(xué)設(shè)計要架起學(xué)生已有經(jīng)驗和知識本質(zhì)之間的橋梁，讓學(xué)生從現(xiàn)象感悟本質(zhì)。教師設(shè)計“用刻度尺在正方形中畫出最大的圓”的活動，在交流中借助“滴水成圓”的現(xiàn)象引發(fā)學(xué)生對同長的感悟。通過這樣的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生理解形成圓的兩個關(guān)鍵要素：圓心和半徑。

（二）聯(lián)系“操場畫圓”，用圓規(guī)畫圓

任務(wù)二：①請根據(jù)“操場畫圓”的方法用圓規(guī)畫一個圓，并在圓中標出圓心和半徑。②把所畫的圓剪下來，折一折，說說你有什么發(fā)現(xiàn)。

師：剛才同學(xué)們借助“一中同長”畫出了圓，接下來請大家根據(jù)“操場畫圓”的方法，試一試用圓規(guī)畫圓。

（學(xué)生獨立操作，教師巡視指導(dǎo)）

師：你們覺得用圓規(guī)畫圓和“操場畫圓”有什么聯(lián)系？說說你們的想法。

生：圓規(guī)的針尖相當于皮尺固定的端點，筆尖相當于皮尺的另一個運動端點。

（教師板書：同長、軌跡、曲線）

師：圓規(guī)畫圓有同長嗎？

生：圓規(guī)針尖到筆尖的距離就是同長，也就是半徑。

師：請大家把用圓規(guī)畫出的圓剪下來，折一折，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生動手操作，教師巡視指導(dǎo)）

生：我把圓對折，發(fā)現(xiàn)它能夠完全重合，說明圓是軸對稱圖形，并且有無數(shù)條對稱軸。我還發(fā)現(xiàn)折痕都經(jīng)過圓心。

師：這個同學(xué)真了不起，有這么多發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)上把通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作圓的直徑，用d表示。

師：請大家想一想，圓內(nèi)有多少條直徑？直徑和半徑之間有什么關(guān)系？

生：圓內(nèi)有無數(shù)條直徑，因為圓有無數(shù)條對稱軸。直徑是半徑的2 倍；半徑是直徑的

設(shè)計意圖：任務(wù)二是在任務(wù)一的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷從現(xiàn)象認識到本質(zhì)理解，再根據(jù)本質(zhì)尋找數(shù)學(xué)中的圓的全過程。學(xué)生通過用圓規(guī)作圓、折圓等操作活動，理解了圓的對稱性以及半徑與直徑的關(guān)系。

三、聯(lián)系生活，內(nèi)化本質(zhì)

師：有四個小朋友排成一排玩投球游戲，你覺得他們這樣玩公平嗎？如果不公平，應(yīng)該如何調(diào)整？

生：排成一排玩不公平，他們應(yīng)該排成圓形。因為圓形從圓心到圓上的距離處處相等，也就是說，小朋友們距離投球的球框距離都相等，這樣才公平。

師：有同學(xué)說圍成正方形也可以，你們覺得可以嗎？

生：可以，如果讓四個小朋友站在正方形的四個角上，那么游戲也是公平的。

師：我們一起來看一看。如果五個、六個或者更多個小朋友玩這個游戲，他們站在哪兒才公平呢？

（教師用課件逐一呈現(xiàn)圖7）

圖7

師：大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)正多邊形的邊越多，圖形越接近了圓。

師：如果正多邊形的邊無限多會怎么樣？

（引發(fā)學(xué)生思考，初步滲透極限思想）

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活。學(xué)生用圓的本質(zhì)解釋生活中一些現(xiàn)象的過程，就是他們對圓的本質(zhì)進一步內(nèi)化的過程。在應(yīng)用過程中，學(xué)生可深入感悟一些數(shù)學(xué)思想方法，如“正多邊形的邊越多，正多邊形就越接近于圓”這樣的極限思想。