解決“指對(duì)同構(gòu)“問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單方法

江蘇省揚(yáng)州市第一中學(xué) (225000) 周定祥

利用同構(gòu)法來(lái)解決函數(shù)恒成立問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn),而“同構(gòu)”法中又以“指對(duì)同構(gòu)”最為復(fù)雜,其隱藏深,構(gòu)造方法巧妙會(huì)使大部分同學(xué)望而生畏.本文以2020屆新高考一卷第21題與江西八校2022屆4月聯(lián)考第12題為例來(lái)談?wù)勎业慕夥?

例1 (2020新高考一卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法一:∵aex-1-lnx+lna≥1,∴elnaex-1-lnx+lna≥1,∴elna+x-1-lnx+lna≥1,∴elna+x-1+lna-1≥lnx,∴elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x,∴elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx.

令g(x)=ex+x,即g(lna+x-1)≥g(lnx).下面討論g(x)單調(diào)性即可,過(guò)程略.

解法二:∵aex-1-lnx+lna≥1,∴aex-1+lna-1+x≥lnx+x,∴aex-1+lna+lnex-1≥lnx+x,∴aex-1+ln(aex-1)≥lnx+x,令g(x)=lnx+x,即g(aex-1)≥g(x),下面討論g(x)單調(diào)性即可,過(guò)程略.

觀察上面兩種方法的同構(gòu)過(guò)程,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力和構(gòu)造能力.一般采用法一的較多,法二更加不自然,對(duì)學(xué)生要求更高,那么有沒(méi)有簡(jiǎn)化的方法?通過(guò)觀察法一的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)最后轉(zhuǎn)化為討論g(x)=ex+x的單調(diào)性,也就是把原不等式中對(duì)數(shù)形式轉(zhuǎn)化成了指數(shù)形式.那可不可以開始就把對(duì)數(shù)式看成一個(gè)整體?

解法三:令t=lnx,則et=x①,原不等式轉(zhuǎn)化為t≤elna+x-1+lna-1②,兩式相加得et+t≤elna+x-1+lna+x-1,令g(x)=ex+x,得g(t)≤g(lna+x-1),即g(lna+x-1)≥g(lnx),下面討論g(x)單調(diào)性即可,過(guò)程略.

同理,觀察解法二的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)最后轉(zhuǎn)化為討論g(x)=lnx+x單調(diào)性,也就是把原不等式中指數(shù)形式轉(zhuǎn)化成了對(duì)數(shù)形式,那可不可以開始就把指數(shù)式看成整體?

解法四:令t=aex-1,∵a>0,∴aex-1>0,∴l(xiāng)nt=lna+x-1①,原不等式轉(zhuǎn)化為t≥lnx-lna+1②,①②相加得lnt+t≥lnx+x.令g(x)=lnx+x,得g(t)≥g(x),即g(aex-1)≥g(x),下面討論g(x)單調(diào)性即可.

解法四摒棄了傳統(tǒng)“同構(gòu)法“中的各種技巧,轉(zhuǎn)化為觀察等式與不等式的結(jié)構(gòu),通過(guò)加法得到”同構(gòu)體“.降低學(xué)生上手的難度,當(dāng)然最基本的同構(gòu)知識(shí)還是要有比如:x=lnex=elnx.此方法有幾個(gè)注意點(diǎn),首先,不等式即②式需要把t放到不等式一側(cè),其余各式轉(zhuǎn)移到另一側(cè),方便觀察,其次,觀察換元后的等式與原不等式之間的關(guān)系,可以相加也可以在保證同號(hào)的情況相乘.最后,如果相加或相乘后不能發(fā)現(xiàn)同構(gòu)體,可以適當(dāng)化簡(jiǎn).

例2 (江西八校2022屆4月聯(lián)考第12題)已知函數(shù)f(x)=log3(3x+1)+mx(m∈R)是偶函數(shù),函數(shù)g(x)=2e(k-1)x-3lnx+(3k-5)x,若g(x)≥2m+1恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( ).

說(shuō)明:法一為指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式,也可以對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.