多孔介質(zhì)中Brinkman方程組解的連續(xù)依賴性*

石金誠

廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300

Straughan et al.（1999）引入了具有Soret 效應(yīng)且不可壓縮的對流擴(kuò)散Brinkman 方程，他們在有界區(qū)域內(nèi)建立了解對Soret 系數(shù)的連續(xù)依賴性，有關(guān)Brinkman 方程更系統(tǒng)的介紹見文獻(xiàn)（Nield et al.，1992；Straughan，2008）。偏微分方程（組）的連續(xù)依賴性或收斂性，稱之為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，關(guān)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的本質(zhì)見文獻(xiàn)（Ames et al.，1997）。

近年來，多孔介質(zhì)中流體方程組的研究越來越受到學(xué)者們的關(guān)注，其中較為典型的流體方程組有Brinkman、Darcy 和Forchheimer 方程組，文獻(xiàn)（Payne et al.，2007）討論了這些方程組的Saint-Venant 原理。文獻(xiàn)（Franchi et al.，2003；Lin et al.，2007；Ciarletta et al.，2015；Cichon et al.2015；Chen et al.，2016；Liu，2017；Liu et al.，2018a；Liu et al.，2018b；李遠(yuǎn)飛，2019a；李遠(yuǎn)飛，2019b；李遠(yuǎn)飛等，2019；李遠(yuǎn)飛，2020）討論了包括Brinkman、Darcy 和Forchheimer 方程組在內(nèi)更多偏微分方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，獲得了一些新的成果。本文我們考慮如下Brinkman方程組

其中ui，p，T，C分別為速度、壓強(qiáng)、溫度和鹽濃度，gi(x)和hi(x)為重力函數(shù)且|gi|，|hi|≤1，?為拉普拉斯算子，σ> 0是Soret系數(shù)，λ> 0是Brinkman系數(shù)。

方程組（1）在Ω ×[0，τ]內(nèi)成立，其中Ω 是R3中有界單連通的凸區(qū)域，τ是固定的一個常數(shù)且0 ≤τ< +∞.我們所考慮的溫度與鹽濃度的邊界是絕緣的，并且溶質(zhì)通過邊界的通量為0。其邊界條件為

此外，初始條件為

本文研究了方程組（1）的解對Brinkman系數(shù)λ的連續(xù)依賴性。為了獲得連續(xù)依賴性的結(jié)果，通常的做法是利用溫度和鹽濃度的最大值，去推導(dǎo)出交叉項(xiàng)的先驗(yàn)界，而本文方程組（1）的第4 個方程中含有溫度的拉普拉斯項(xiàng)，該項(xiàng)的存在導(dǎo)致鹽濃度C的最大值估計難度很大。為了克服這個難題，我們采用給出C的四階范數(shù)的先驗(yàn)界。為了推導(dǎo)出到C的四階范數(shù)的先驗(yàn)界而構(gòu)造的函數(shù)是文中最大創(chuàng)新點(diǎn)。

1 先驗(yàn)估計

本節(jié)中將給出在后面定理的證明中所需的若干估計。

引理1 對于溫度T，我們有如下估計

證明在方程組(1)的第3個方程兩邊同時乘以T2p?1，p≥1，并在Ω上積分得

且式（5）化為

即證明了式（3）。

在式（6）中取p= 1，有

則

證畢

引理2 對于鹽濃度C，我們有如下估計

證明在方程組(1)的第4個方程兩邊同時乘以C，并在Ω上積分，由H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式得

引理3 對于鹽濃度C，我們有如下的4階范數(shù)估計

運(yùn)用式（3），H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式，可得

其中ε1，ε2是大于零的任意常數(shù)。

運(yùn)用方程組(1)的第3個、第4個方程以及H?lder不等式，可得

再運(yùn)用式（3），H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式，可得

其中ε3，ε4是大于零的任意常數(shù)。

聯(lián)合式（9）～（10），可得

其中k是大于零的任意常數(shù)。

2 連續(xù)依賴性

假設(shè)(ui，T，C，p)是如下Brinkman方程組初邊值問題的解

邊界條件為

初始條件為

我們定義解的差為：ωi=ui?u*i，θ=T?T*，S=C?C*，π=p?p*，λ=λ1?λ2，則(ωi，θ，S，π)滿足如下初邊值問題

邊界條件為

初始條件為

引理4 對于速度ui，有如下估計

證明 在方程組(13)的第1個方程兩邊同時乘以2ui，并在Ω上積分得

其中k1，k2，k3是大于零的常數(shù)。

證明 在方程組(19)的第1個方程兩邊同時乘以2ωi，并在Ω上積分，由式（20）、H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式，可得

對于滿足在邊界上為零的函數(shù)E，由文獻(xiàn)（Flavin et al.，1995）的結(jié)論，我們有如下Sobolev不等式

其中c1，c2是大于零的常數(shù)。

在式（26）中，取E= ωi，可得

聯(lián)合式（8）、（25）和（27），可得

注本文我們研究了流體模型的解對Brinkman系數(shù)λ的連續(xù)依賴性。利用文中的類似方法，依然可以建立方程組的解對其他方程系數(shù)的連續(xù)依賴性。接下來，將考慮在有界區(qū)域內(nèi)方程組的解對邊界系數(shù)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。由于本文中的方程含有?ui項(xiàng)，通過該項(xiàng)較容易得到速度梯度的估計，接著我們將討論不含有該項(xiàng)的情況，此時如何獲取速度梯度的估計將會是面臨的最大障礙，我們會在后續(xù)文章中進(jìn)行研究。