公理系統(tǒng)視角下的亞里士多德三段論論

【摘要】 亞里士多德是古希臘哲學(xué)的集大成者，在當(dāng)時(shí)幾乎所有的學(xué)科都有所建樹(shù)，從而也在自己豐富的哲學(xué)、認(rèn)識(shí)論和幾何學(xué)等知識(shí)的基礎(chǔ)上形成了獨(dú)特的演繹構(gòu)建學(xué)科的觀點(diǎn)，并在這一觀念的指導(dǎo)下提出了他的三段論學(xué)說(shuō)。他以謂述和條件句的方式將三段論表示出來(lái)，以中詞在結(jié)構(gòu)中的位置將三段論劃分為三個(gè)格，并在證明第二三格的式的有效性中將第二三格的式化歸為第一格的式，這實(shí)際上形成了一個(gè)有公理和定理的古典演繹體系。這個(gè)體系有一種強(qiáng)烈的公理化思想，亞里士多德的這一創(chuàng)舉在哲學(xué)和邏輯學(xué)上對(duì)于后世學(xué)者的研究都具有極其深遠(yuǎn)的意義。

【關(guān)鍵詞】 亞里士多德；三段論；化歸；公理系統(tǒng)

【中圖分類號(hào)】B81-0? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】2096-8264（2023）14-0072-03

【DOI】10.20024/j.cnki.CN42-1911/I.2023.14.022

眾所周知，與邏輯學(xué)最相關(guān)的一個(gè)詞可能就是推理，那么亞里士多德的邏輯學(xué)說(shuō)中與這一部分相對(duì)應(yīng)的就是他最成熟的三段論學(xué)說(shuō)。“三段論是一種談?wù)摲绞?，在其中某些事物被斷定，某些不同于它們的事物就可以由它們是如此確定的論斷而必然推出?！盵1]61亞里士多德對(duì)三段論這樣的定義，從三段論的形式方面對(duì)人們頭腦中的由此及彼的推理作了細(xì)致的研究。亞里士多德最終建立了完整的、成體系的三段論學(xué)說(shuō)，這一創(chuàng)舉是基于什么樣的背景和基礎(chǔ)、具體過(guò)程怎樣，以及有何意義，這些問(wèn)題都是值得我們探討的。

一、亞里士多德建立公理系統(tǒng)的知識(shí)背景

（一）哲學(xué)背景

在哲學(xué)觀點(diǎn)上，我們不能簡(jiǎn)單地把亞里士多德劃入唯心主義或者唯物主義，因?yàn)檫@樣做是不確切的。不過(guò)亞里士多德的老師柏拉圖卻顯然可以歸入“唯心主義者”，因?yàn)樵谒乃枷胫姓J(rèn)為理念是實(shí)物的原型并且可以獨(dú)立存在。那么亞里士多德反對(duì)柏拉圖的理念論，并且認(rèn)為世界乃是由各種本身的形式與質(zhì)料和諧一致的事物所組成的，這些思想就已經(jīng)包含了一些唯物主義的因素。但是他又認(rèn)為每一自然現(xiàn)象都有其發(fā)展的原初的內(nèi)在的目的，承認(rèn)宇宙間應(yīng)該總有一個(gè)原動(dòng)者，它自己不動(dòng)，卻能使一切其他對(duì)象處于動(dòng)變狀態(tài)?？梢?jiàn)亞里士多德的本體論世界觀中摻雜了唯物主義和唯心主義，或者說(shuō)他本人是一個(gè)不徹底的唯物主義者。當(dāng)然在亞里士多德那個(gè)時(shí)代也沒(méi)有唯物主義和唯心主義的說(shuō)法，但這一點(diǎn)唯心主義的雜質(zhì)對(duì)于亞里士多德邏輯體系的創(chuàng)建也是發(fā)揮了十分重要的作用。

亞里士多德的認(rèn)識(shí)論同他的不徹底的唯物主義的哲學(xué)觀點(diǎn)是密切相連的，在古希臘哲學(xué)史上占有重要的地位。他承認(rèn)客觀存在的自然界中的事物是認(rèn)識(shí)的直接對(duì)象，是經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)發(fā)生的根源。認(rèn)識(shí)開(kāi)始于接觸個(gè)別事物，形成感覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)，但感覺(jué)提供的只是個(gè)別事物的知識(shí)，在有關(guān)個(gè)別事物的知識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)總結(jié)、概括，理論思維的加工，獲得關(guān)于個(gè)別事物的一般的、本質(zhì)的知識(shí)，而科學(xué)的任務(wù)正在于認(rèn)識(shí)一般。人們從對(duì)個(gè)別對(duì)象的經(jīng)驗(yàn)到對(duì)一類事物的一般判斷，同時(shí)也是科學(xué)產(chǎn)生的過(guò)程。亞里士多德既重視感性認(rèn)識(shí)，也重視理性認(rèn)識(shí)的思想，表現(xiàn)出一種折中和調(diào)和的特點(diǎn)。

亞里士多德的邏輯學(xué)和其中最重要的三段論學(xué)說(shuō)是與他這種樸素的唯物主義哲學(xué)和認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)分不開(kāi)的。他也正是在這一基礎(chǔ)上建立了一種類型的邏輯體系，從而博得了古典形式邏輯創(chuàng)始人的榮譽(yù)。

（二）幾何學(xué)背景

在亞里士多德的著作中，我們可以發(fā)現(xiàn)他在論述時(shí)會(huì)像他的老師柏拉圖一樣經(jīng)常以蘇格拉底為例。這當(dāng)然是可以理解的，因?yàn)樘K格拉底畢竟是他老師的老師，蘇格拉底的思想是他思想的源泉。然而，在《前分析篇》中“幾何學(xué)”一詞出現(xiàn)的次數(shù)卻與“蘇格拉底”一詞的出現(xiàn)次數(shù)令人驚奇的接近，可見(jiàn)“幾何學(xué)”對(duì)于亞里士多德的重要程度足以與他的思想源泉相提并論。我們知道幾何學(xué)是演繹證明的代表，亞里士多德如此重視“幾何學(xué)”，體現(xiàn)了他深藏于心的演繹構(gòu)建學(xué)科的科學(xué)觀。

在《幾何原本》中，歐幾里得首先規(guī)定了某些公理，然后從中推導(dǎo)出其他的定理，亞里士多德就十分肯定幾何學(xué)的這種演繹性質(zhì)和公理化特征。亞里士多德在肯定幾何學(xué)所提供的演繹方法的同時(shí)，也指出一切科學(xué)都應(yīng)該像幾何學(xué)一樣表現(xiàn)為一種公理演繹系統(tǒng)的形式。他的邏輯學(xué)就是按照幾何學(xué)這種演繹模式建構(gòu)的，而三段論作為演繹體系就是這種科學(xué)觀的一個(gè)典型代表。他提出三段論的完善的格和不完善的格的劃分，以及所有不完善的格都可化歸為完善的格，就是企圖使三段論體系像古希臘幾何學(xué)那樣建立為一個(gè)被證明了的科學(xué)系統(tǒng)。

二、古典公理系統(tǒng)的具體構(gòu)建

（一）三段論的描述方式

傳統(tǒng)邏輯把三段論表述為“所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P”（Barbara）。而亞里士多德對(duì)三段論的表述則不同?！氨热缢麑?duì)Barbara的表述是：如果P屬于每個(gè)M并且M屬于每個(gè)S，那么P必然屬于每個(gè)S?！盵2]70。這里，我們可以看到區(qū)別是很明顯的：（1）表述判斷時(shí)，傳統(tǒng)邏輯使用了系詞“是”，但是亞里士多德卻沒(méi)有這樣使用。（2）在前提和結(jié)論的連接上，傳統(tǒng)邏輯在結(jié)論前使用“所以”，亞里士多德卻是用“如果……那么……”來(lái)表述。

我們先看第一種區(qū)別，這種表述方式在古希臘的自然語(yǔ)言中是較為少見(jiàn)的，這是亞里士多德致力于建構(gòu)清楚、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜握撓到y(tǒng)才特別使用的獨(dú)特的技術(shù)語(yǔ)言，亞里士多德使用它并且貫徹始終。至于第二種區(qū)別，我們可以看到他是用由“如果……那么……”形成的條件句來(lái)表述三段論的，即：如果有前提之一，并且有前提之二，那么就有某結(jié)論。他之所以更傾向于采用公理系統(tǒng)中表述公理和定理的常用方法：“如果……那么……”，正是因?yàn)檫@樣的描述方式更便于他構(gòu)建三段論公理系統(tǒng)。

（二）三段論的證明方法

亞里士多德從48種可能的前提組合中，排除了34個(gè)不符合規(guī)則的式，那么就還余下14種，他把這14個(gè)式看作有效的式。這14個(gè)式依據(jù)中詞在結(jié)構(gòu)中位置的不同又分為三個(gè)格，他稱第一格的式（AAA、EAE、AII、EIO）為完善式，而后兩格的式（第二格：EAE、AEE、EIO、AOO；第三格：AAI、EAO、IAI、AII、EIO、OAO）均為不完善的。亞里士多德的完善的三段論，就是前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是自明的，而不完善三段論則缺乏這種自明性，它們需借助這些前提中必然推引出的卻又并非充當(dāng)前提的另一些命題，才能使前提和結(jié)論間具有明顯的正確性。所有不完善三段論的不顯然邏輯有效性可以借助第一格而變得顯然，這是一種推理證明過(guò)程，這個(gè)過(guò)程可以通過(guò)換位法、歸謬法、顯示法來(lái)完成。

1.換位法

換位法是使用最普遍也是最簡(jiǎn)單的方法，大部分的式都可以用換位法來(lái)證明。具體來(lái)說(shuō)就是借助A、E、I這三個(gè)命題的換位規(guī)則，將要證明的式的一個(gè)前提換位，就能得到一個(gè)第一格的三段論。這個(gè)證明用P、M、S這三個(gè)符號(hào)可以表述如下（以第二格的EAE式為例）：

MEP? ? ? ? ? ?→? ? ? ? ? ?PEM（E命題換位）

MAS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?MAS

PES? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?PES

（第二格的EAE式）? （第一格的EAE式）

不過(guò)換位法并不能使所有第二格和第三格的式都成為完善的，由于O命題不能換位，因此第二格的AOO式和第三格的OAO式就無(wú)法用換位法證明，因此還需要其他的辦法。

2.歸謬法

亞里士多德第一次運(yùn)用歸謬法是在證明第二格的AOO式時(shí)，首先假定A00式的結(jié)論P(yáng)OS是錯(cuò)的，那么POS的矛盾命題PAS就是正確的，并且根據(jù)其中一前提MAP，得到第一格的AAA式：

MAP

PAS

MAS

但MAS的結(jié)果和欲證AOO式中另一條件MOS矛盾，故而第一格最后的斷定MAS就是錯(cuò)誤的。但第一格的推理形式是對(duì)的，那么問(wèn)題就出在它的一個(gè)假定的前提“POS是錯(cuò)的”上。由于這一假定錯(cuò)誤，則由第二格得到的結(jié)論P(yáng)OS就是正確的，這樣也就證明該第二格的AOO式是正確的推理形式，它能得到可靠的結(jié)論。這里是建立一個(gè)第一格的AAA式以證明第二格的AOO式。

所以，歸謬法的思路就是： ①假定欲證的三段論W的結(jié)論為假； ②以這個(gè)結(jié)論與一個(gè)前提P結(jié)合起來(lái)，推出某種東西； ③這個(gè)被推出的東西和欲證的三段論W中另外一個(gè)條件矛盾，因而是不可能的； ④因此證明W的結(jié)論成立。這里的第②步是一個(gè)第一格的式。

3.顯示法

除上述提到的兩種證明方法外，還有一種亞里士多德使用較少的“顯示法證明”，這是一種通過(guò)引入一個(gè)新的詞項(xiàng)來(lái)證明原有兩個(gè)詞項(xiàng)之間關(guān)系的方法。例如用顯示法證明第三格AAI式：如果P和R都適于每一個(gè)S，并且如果我們從S類中選擇某一事物，比如說(shuō)N，那么P和R就都適于 N。因此，P就適于有些R。[1]71由于所有S是P，所有S又是R，因而總會(huì)有S的分子既是R又是P，這里N就是那個(gè)增加的顯示項(xiàng)，它是S的某一個(gè)分子，表明既是R又是P的分子存在，因而也就證明有R是P。“亞里士多德提出的這個(gè)顯示項(xiàng)N的作用和后來(lái)文恩圖解中表示存在的符號(hào)‘+很相似?！盵3]93

從上面可以看出，這種方法和換位法、反證法不同，只是一種借以顯示原推論有效的方法，它無(wú)須把原三段論化歸為第一格，因而它在證明三段論式時(shí)更像是一種直觀的說(shuō)明，而不是一種演繹的證明。除此之外，亞里士多德在全稱否定命題的換位證明中使用的也是這種方法，這正是我覺(jué)得顯示法不可缺少的原因，雖然由顯示法證明的式都可以用換位法或歸謬法證明，但是換位法中需要用到的三條換位規(guī)則之一的全稱否定命題的換位規(guī)則卻是由顯示法來(lái)證明的。

在論述全稱否定命題的換位規(guī)則時(shí)，亞里士多德說(shuō)：“如果沒(méi)有B是A，也不可能有任何A是B，因?yàn)槿绻行〢（比如C）是B，那么沒(méi)有B是A就不會(huì)是真的，因?yàn)镃是A。這里要就借用了詞項(xiàng)C來(lái)說(shuō)明A和B這兩個(gè)詞項(xiàng)的關(guān)系。”[2]97

亞里士多德將三段論分為三格14式，還提出了完善格與不完善格的區(qū)別，為了證明不完善格的有效性，使用了把不完善格化歸為完善格的證明方法，正是在這一過(guò)程中亞里士多德建立起了一個(gè)的三段論公理系統(tǒng)。

（三）三段論公理系統(tǒng)

由此可見(jiàn)，只要利用歸謬法和換位法，從第二格和第三格就都可化歸到第一格。而且不僅如此，亞里士多德甚至認(rèn)為，第一格的AII式和EIO式也可以分別化歸為AAA式和EAE式。因而最后的結(jié)果是，后12個(gè)有效式都能化歸成AAA式和EAE式，亞里士多德就把他系統(tǒng)中的公理減少到了最低限度。亞里士多德最初討論化歸，主要是想說(shuō)明三段論的其它格以自明的第一格為依據(jù)，從而說(shuō)明三段論推理的正確性，人們依據(jù)這些三段論建立的證明是可靠的。但同時(shí)這樣就考察了三段論的正確形式之間的關(guān)系，確認(rèn)了這些正確形式是具有整體性的一個(gè)系統(tǒng)。這樣來(lái)說(shuō)，兩個(gè)最基本的三段論式，在這個(gè)系統(tǒng)中就擔(dān)任著公理的角色，由這兩個(gè)公理出發(fā)，就可以演繹出這個(gè)系統(tǒng)中給出的其他定理。雖然這個(gè)系統(tǒng)不是很嚴(yán)格，但大家普遍認(rèn)為這個(gè)系統(tǒng)已經(jīng)具有公理化意味。也有一些現(xiàn)代學(xué)者把亞里士多德三段論系統(tǒng)刻畫(huà)為自然推理系統(tǒng)，把第一格的兩個(gè)全稱式、換位法、歸謬法等都當(dāng)作他的系統(tǒng)的推論規(guī)則。但是，顯然換位法等與第一格的兩個(gè)全稱式在亞氏三段論系統(tǒng)里并不具有相同的地位。[4]26所以亞里士多德三段論系統(tǒng)并不能解釋為自然演繹系統(tǒng)，而是具有典型公理系統(tǒng)特征。

亞里士多德之所以被世人尊為邏輯之父、邏輯的創(chuàng)始人和奠基者，就是因?yàn)樗⒘送暾?、成體系的三段論學(xué)說(shuō)。其中更主要的是他對(duì)三段論系統(tǒng)性的、公理化的考察，亞里士多德的三段論證明化歸形成了一個(gè)古典的演繹系統(tǒng)，而且這個(gè)系統(tǒng)明顯地呈現(xiàn)出一種公理化的特征。那么亞里士多德就是首先進(jìn)行這種嘗試的學(xué)者，并且他的這一系統(tǒng)成為后世學(xué)者相關(guān)方面研究的典型范例。在這個(gè)意義上，亞里士多德不僅使邏輯科學(xué)完全脫離了論辯術(shù)研究的影響，而且在邏輯的研究中出現(xiàn)了新的方面。亞里士多德的三段論體系，是他的邏輯臻于成熟的體現(xiàn)。

三、亞氏古典公理系統(tǒng)的意義

（一）哲學(xué)意義

一方面，根據(jù)亞里士多德提出的完善三段論的自明性，也即在他這個(gè)古典公理系統(tǒng)中公理的存在，我們可以得出，有一個(gè)最開(kāi)始的東西，是推動(dòng)其他事物發(fā)展的，沒(méi)有其他事物能夠推動(dòng)它。這引發(fā)了哲學(xué)家們對(duì)一些問(wèn)題的思考，比如上帝是否存在，中世紀(jì)安瑟爾謨和托馬斯就用不同的方法證明上帝的存在。以及近代經(jīng)驗(yàn)論與唯理論關(guān)于認(rèn)識(shí)的來(lái)源之爭(zhēng)也與此有關(guān)，此后康德提出先天綜合判斷，而弗雷格否定這一觀點(diǎn)，進(jìn)而開(kāi)始建立邏輯主義綱領(lǐng)。由此可見(jiàn)，亞里士多德這一理論對(duì)于后世研究的影響有多深遠(yuǎn)。另一方面，亞里士多德用類似數(shù)學(xué)的方法構(gòu)建公理系統(tǒng)，其優(yōu)點(diǎn)就是論證上的嚴(yán)謹(jǐn)，這也促進(jìn)了后來(lái)的哲學(xué)家們自覺(jué)地嚴(yán)密論證自己的哲學(xué)思想。

（二）邏輯學(xué)意義

亞里士多德的邏輯學(xué)說(shuō)幾乎涉及了傳統(tǒng)邏輯的所有方面，是當(dāng)之無(wú)愧的形式邏輯的創(chuàng)始人，并且奠定了此后邏輯學(xué)發(fā)展的方向和基調(diào)。亞里士多德認(rèn)為存在完善的三段論，在這里前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是自明的，但亞里士多德并沒(méi)有說(shuō)明他是從什么角度來(lái)談這種自明性，也沒(méi)有說(shuō)明這種自明性所顯現(xiàn)的到底是一種什么關(guān)系，因此他對(duì)三段論完善和不完善的這種區(qū)分是一種樸素的觀點(diǎn)。所以可以說(shuō)，這里體現(xiàn)了亞里士多德的樸素的公理思想，他實(shí)際上建立了第一個(gè)樸素的或古典的公理系統(tǒng)，即第一格的四個(gè)式是這個(gè)系統(tǒng)的公理，第二格和第三格的式從這些公理推出，是這個(gè)系統(tǒng)的定理?！八麡?gòu)建的三段論系統(tǒng)雖然只有三個(gè)格，但在這個(gè)系統(tǒng)中已經(jīng)給出了確定而又清楚的公理，并且給出了一定數(shù)量的定理，其他定理可由公理和已給出的定理推出，所以三段論體系作為古典公理系統(tǒng)實(shí)際上就構(gòu)建成功了?！盵5]146他使用字母、符號(hào)構(gòu)造了一個(gè)初級(jí)的演繹的公理化體系，雖然并沒(méi)有現(xiàn)代公理系統(tǒng)那么嚴(yán)格，但也是對(duì)公理化的第一次實(shí)踐，也使邏輯學(xué)接近典范的數(shù)學(xué)，對(duì)后世的學(xué)者產(chǎn)生了極大的影響，是數(shù)理邏輯思想的萌芽，后來(lái)萊布尼茨的思維演算、布爾代數(shù)以及弗雷格和羅素的命題演算系統(tǒng)里都可以看到亞里士多德三段論的影子。

綜上，亞里士多德建立了完整的、成體系的三段論學(xué)說(shuō)，并且是基于其二元論哲學(xué)世界觀和幾何學(xué)演繹思維基礎(chǔ)的。亞里士多德概括了三段論的有效形式，更主要的是他探討了三段論的有效形式之間的關(guān)系，并確認(rèn)了這些有效形式是具有整體性的一個(gè)系統(tǒng)。他所做的這一系列工作既使得邏輯科學(xué)自此與論辯術(shù)完全分離，又為邏輯的研究開(kāi)辟了全新的方向，即把推理形式當(dāng)作和思維無(wú)關(guān)的純形式來(lái)研究。

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作者簡(jiǎn)介：

郭姣姣，女，山西臨汾人，碩士研究生，從事邏輯哲學(xué)、歸納邏輯等方面的研究。