小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的研究與實(shí)踐

陳燕虹 黃文韜

【摘要】本文以提高小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實(shí)踐能力為目的，研究小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐操作策略，提出創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)應(yīng)以拓展性問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)、以學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)為核心指標(biāo)，在明晰教師應(yīng)發(fā)揮怎樣的作用、怎樣發(fā)揮作用的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)踐案例，探討通過(guò)制造數(shù)學(xué)困境推進(jìn)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的思路和方法。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)困境

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）07-0016-05

創(chuàng)新是一個(gè)國(guó)家、一個(gè)民族發(fā)展進(jìn)步的動(dòng)力源泉。黨的二十大報(bào)告在“新時(shí)代新征程中國(guó)共產(chǎn)黨的使命任務(wù)”中明確提出了我國(guó)到2035年的總體發(fā)展目標(biāo)，其中“實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)，進(jìn)入創(chuàng)新型國(guó)家前列”為目標(biāo)之一。我們認(rèn)為，創(chuàng)新型國(guó)家建設(shè)離不開(kāi)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)。數(shù)學(xué)作為重要的基礎(chǔ)學(xué)科，肩負(fù)著創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的重任?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，提出“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)”，課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。而基于實(shí)踐能力培養(yǎng)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)都是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，落實(shí)對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)要求對(duì)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指的是用實(shí)驗(yàn)的手段探索數(shù)學(xué)。早期系統(tǒng)論述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（或稱數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室）的文獻(xiàn)可以追溯到1916年Nature介紹的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室叢書。該叢書提出，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的新模式。教學(xué)實(shí)踐中，大學(xué)階段的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包含了驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、綜合性實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)三個(gè)由低到高的層次；而基礎(chǔ)教育義務(wù)教育階段實(shí)施的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多數(shù)屬于驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的探索相對(duì)集中在基礎(chǔ)教育的高中階段。

國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究，可以追溯到20世紀(jì)80年代末和90年代初。緊隨大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究和教學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在中學(xué)也開(kāi)展起來(lái)，越來(lái)越多的中學(xué)數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)研究工作者開(kāi)始重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，到了近兩年，相關(guān)研究文獻(xiàn)開(kāi)始呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。而中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究和教學(xué)，在模式上為操作性實(shí)驗(yàn)、思維性實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，在層次上則歸屬驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)或綜合性實(shí)驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要集中在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)操作，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)依然以驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)為主，以教師的引導(dǎo)為主：由教師設(shè)定實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及方法步驟，學(xué)生按照設(shè)定的內(nèi)容和步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，即在已知知識(shí)點(diǎn)的支持下，讓小學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證一些知識(shí)。因此，小學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)未能充分做到以學(xué)生為主體，未能調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，未能啟發(fā)學(xué)生探索知識(shí)、發(fā)展核心素養(yǎng)。根據(jù)我們的文獻(xiàn)研究，小學(xué)數(shù)學(xué)界目前未見(jiàn)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)研究。

因此，我們提出在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)。這樣的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)，必須以學(xué)生為主體，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，從現(xiàn)實(shí)世界或數(shù)學(xué)世界中發(fā)現(xiàn)或提煉問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法和工具進(jìn)行研究，探索問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)律或者問(wèn)題解決的方法。在這樣的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)中，教師居于輔助地位，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)實(shí)驗(yàn)。這種創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)可以豐富學(xué)生的概念心像，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想方法，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知，發(fā)展相關(guān)的綜合能力。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期探索，我們提煉出創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的如下實(shí)踐操作策略。

一、以拓展性問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)

中國(guó)古代教育家孔子說(shuō)：“疑是思之始，學(xué)之端?！惫畔ＥD著名哲學(xué)家蘇格拉底說(shuō)：“問(wèn)題是接生婆，它能幫助新思想誕生。”由此可見(jiàn)“問(wèn)題提出”對(duì)于學(xué)習(xí)的重要意義。這樣的問(wèn)題，可能源自所面對(duì)的新情景、新內(nèi)容，也有可能是對(duì)已經(jīng)解決的問(wèn)題有了新想法。學(xué)習(xí)的全過(guò)程都可能伴隨著問(wèn)題的提出，關(guān)鍵是誰(shuí)提出問(wèn)題、提出怎樣的問(wèn)題。

如果一個(gè)問(wèn)題是學(xué)生自己提出來(lái)的，那就一定是他困惑或者感興趣的，那他就一定會(huì)有探索這個(gè)問(wèn)題的動(dòng)力。從教學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生提出的問(wèn)題也是開(kāi)展“以學(xué)生為主體”的教學(xué)的完美入口。為此我們提出如下教學(xué)策略。

（一）鼓勵(lì)學(xué)生提出非教材預(yù)設(shè)的問(wèn)題

“你能找到什么數(shù)學(xué)信息？”“根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？”這是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常常提出的兩個(gè)問(wèn)題。

部分教師希望學(xué)生能盡快找到數(shù)學(xué)信息，并且盡快提出教材上要解決的問(wèn)題；部分教師會(huì)追問(wèn)“你還能提出什么別的數(shù)學(xué)問(wèn)題？”，然后在學(xué)生提出的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選取教材上的問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)；還有部分教師會(huì)回應(yīng)一下學(xué)生提出的非教材預(yù)設(shè)問(wèn)題，但會(huì)被課堂教學(xué)時(shí)間不足這個(gè)問(wèn)題所困擾。以教學(xué)北師大版二年級(jí)上冊(cè)第一單元第一課時(shí)“誰(shuí)的得分高”為例，不同類型的教師基于同樣的引問(wèn)，落實(shí)教與學(xué)的過(guò)程有可能出現(xiàn)如表1所示的三種情況。

A類教師的學(xué)生基本上沒(méi)有問(wèn)題意識(shí)，也不具備提出非教材預(yù)設(shè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；B類教師的學(xué)生有一定的提出各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，但因?yàn)榻處煵⒉换貞?yīng)學(xué)生的問(wèn)題，長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)慢慢明白教師的期待并開(kāi)始迎合教師的期待——提出和教材一致的問(wèn)題，隨之提出問(wèn)題的能力會(huì)逐漸下降，最終變成和A類教師的學(xué)生一樣的學(xué)生；C類教師的學(xué)生有提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，對(duì)C類教師的教學(xué)挑戰(zhàn)很大，初期階段，如果測(cè)評(píng)其學(xué)生的知識(shí)掌握程度，結(jié)果常常不盡如人意，表現(xiàn)為不如A類教師和B類教師的學(xué)生知識(shí)掌握程度高。面對(duì)挑戰(zhàn)，有些C類教師會(huì)逐漸變成B類教師或A類教師，他們的學(xué)生也會(huì)逐漸變?yōu)锳類教師那般的學(xué)生。而如果學(xué)生提出的問(wèn)題總是教材中的問(wèn)題，那么，教師設(shè)置“問(wèn)題提出”環(huán)節(jié)的意義便單純是為了推進(jìn)教學(xué)，而不是基于學(xué)生真實(shí)的困惑實(shí)施教學(xué)了：不能基于學(xué)生真實(shí)的困惑實(shí)施教學(xué)，學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)動(dòng)力的情況會(huì)隨之出現(xiàn)，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)便很難發(fā)生，創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)便無(wú)從談起。

因此，我們建議：教師要扛住初期的壓力，不懼挑戰(zhàn)，鼓勵(lì)學(xué)生提出各種與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生感受到教師對(duì)“問(wèn)題提出”的重視，向?qū)W生傳遞出一種鼓勵(lì)積極思考的信號(hào)，培植學(xué)生的學(xué)習(xí)信念。

（二）將拓展性問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閯?chuàng)新性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目

只要教師積極回應(yīng)學(xué)生提出來(lái)的問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)逐漸養(yǎng)成提問(wèn)的習(xí)慣，學(xué)生的好問(wèn)題也會(huì)噴涌而出。仔細(xì)甄別學(xué)生提出的問(wèn)題，大體可分為三類。第一類為無(wú)效問(wèn)題。無(wú)效問(wèn)題指與學(xué)習(xí)內(nèi)容無(wú)關(guān)的問(wèn)題，不論其問(wèn)域是大還是小，探索該問(wèn)題的歷程對(duì)增長(zhǎng)知識(shí)、培養(yǎng)能力都沒(méi)有多大的作用。如：“可以用藍(lán)色的筆來(lái)畫分析圖嗎？”“為什么單位要用括號(hào)括起來(lái)？”“機(jī)靈狗（新世紀(jì)版教材內(nèi)人物）能換件衣服嗎？”“為什么觀察的時(shí)候，眼睛會(huì)癢？”“我可以用茶壺裝花生嗎？”第二類為理解性問(wèn)題。理解性問(wèn)題一般與學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密相關(guān)，其問(wèn)域小，指向明確，答案唯一，開(kāi)放度不高。如：“乘法和加法有什么關(guān)系？”“可以畫圖表示出誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍嗎？”“為什么正方形是特殊的長(zhǎng)方形？”“所有正方形的面積都和三角形面積有關(guān)系嗎？”第三類為拓展性問(wèn)題。拓展性問(wèn)題不僅與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)，而且問(wèn)域大、開(kāi)放度高、答案不唯一或答案不局限在數(shù)學(xué)學(xué)科。如：“什么是九九歌？它是和節(jié)氣有關(guān)，還是和乘法有關(guān)？”“把觀察到的圖形合并起來(lái)，能不能合成被觀察的物體？”“三角形的外面有角嗎？如果有，外面的角加起來(lái)會(huì)是多少？”“是否可以制作出方形泡泡？”“車輪可以有別的形狀嗎？”其中，“三角形外角和”屬于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而“車輪可以有別的形狀嗎？”“是否可以制作出方形泡泡？”等問(wèn)題不屬于任何一個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容。對(duì)于這些不屬于本學(xué)段甚至不屬于任何學(xué)段學(xué)習(xí)內(nèi)容的問(wèn)題，教師該如何做出回應(yīng)呢？是冷落學(xué)生、不置可否？還是告訴學(xué)生這個(gè)問(wèn)題不是現(xiàn)在學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后不予理會(huì)？還是有別的什么選項(xiàng)？

由于拓展性問(wèn)題的問(wèn)域較大、開(kāi)放度較高，將其融入課堂教學(xué)加以解決往往是不現(xiàn)實(shí)的。有些C類教師正是因?yàn)閷⒁恍┎豢赡墚?dāng)堂解決的拓展性問(wèn)題放在了同一節(jié)課中加以解決，這才導(dǎo)致了課堂教學(xué)不夠聚焦、學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不夠理想，并因?yàn)槭艿浇虒W(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的壓力最終只能因噎廢食變成B類教師或A類教師。

課堂教學(xué)中，學(xué)生提出的問(wèn)題不可能完全符合教材的知識(shí)體系。因此，教師需要對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行精確的研判——確定學(xué)生的問(wèn)題究竟屬于哪一個(gè)類型的問(wèn)題，然后根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)指向建立問(wèn)題庫(kù)，將理解性問(wèn)題融入課堂教學(xué)，將拓展性問(wèn)題作為多學(xué)時(shí)長(zhǎng)程學(xué)習(xí)的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，以主題式學(xué)習(xí)的方式另外組織學(xué)生展開(kāi)實(shí)驗(yàn)探究，對(duì)學(xué)生的“問(wèn)題提出”做出正面的回應(yīng)。以學(xué)生提出的問(wèn)題“車輪可以有別的形狀嗎？”“是否可以制作出方形泡泡？”為例，教師便可以另外設(shè)計(jì)出一些如表2所示的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，對(duì)課程實(shí)施進(jìn)行多學(xué)時(shí)長(zhǎng)程設(shè)計(jì)。

二、以學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)為核心指標(biāo)

創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的基本流程包括實(shí)驗(yàn)主題（項(xiàng)目）的選擇和確定、實(shí)驗(yàn)器材準(zhǔn)備、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)猜想、實(shí)驗(yàn)過(guò)程、實(shí)驗(yàn)初發(fā)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)調(diào)整、實(shí)驗(yàn)再發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)結(jié)論的提煉等。與以往的小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相比較，創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)不再是由教師設(shè)定好一切后，學(xué)生再按照教師設(shè)定的步驟進(jìn)行操作驗(yàn)證，而是從頭到尾都真正交給了學(xué)生，由教師主導(dǎo)實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)變?yōu)榻處熤茖?shí)驗(yàn)，確立學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，使學(xué)生成為真正的學(xué)習(xí)者、探索者、研究者。

（一）學(xué)生是創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的主體

創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)需要圍繞實(shí)驗(yàn)主題（項(xiàng)目），自主考慮要探索該問(wèn)題時(shí)需要準(zhǔn)備哪些材料即實(shí)驗(yàn)器材。實(shí)驗(yàn)器材由研究者（學(xué)生）或研究小組自行決定，以下我們把他們統(tǒng)稱為研究者。

研究者主動(dòng)思考、獨(dú)立學(xué)習(xí)，從“到底要準(zhǔn)備什么實(shí)驗(yàn)器材才能幫助我進(jìn)行探究”開(kāi)始。例如，要探索“圓形井蓋的優(yōu)勢(shì)”，學(xué)生A決定使用的實(shí)驗(yàn)器材是不同大小的紙筒、白卡紙、不同大小的圓形紙片和自己設(shè)計(jì)的記錄單，學(xué)生B決定使用的實(shí)驗(yàn)器材是不同尺寸的硬幣（模擬圓形井蓋）、不同尺寸的平面圖形、直尺、白紙。不同的實(shí)驗(yàn)器材，將匹配不一樣的實(shí)驗(yàn)步驟。個(gè)體之間豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)將帶來(lái)不同角度的學(xué)習(xí)交流。

研究者自己擬定研究步驟，即自己設(shè)定研究時(shí)先做什么、再做什么、最后做什么，也就是自主進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。如學(xué)生A設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)步驟有三個(gè)：第一步，用紙筒在白卡紙上拓印出圓形并剪出圓形紙片；第二步，將圓形紙片蓋在紙筒上，模擬井蓋；第三步，測(cè)量出“井蓋”的面積和周長(zhǎng)。學(xué)生B的實(shí)驗(yàn)步驟也有三個(gè)：第一步，用白紙圍硬幣一周，確定管道的大?。坏诙?，根據(jù)圓形管道的直徑，制作出大小合適的正方形井蓋、長(zhǎng)方形井蓋、梯形井蓋；第三步，比較不同形狀的井蓋，從用料、穩(wěn)固性上進(jìn)行對(duì)比。步驟不同，感悟和思考也會(huì)不同：學(xué)生A會(huì)關(guān)注并思考圓形的特征，學(xué)生B會(huì)聚焦圖形特征與圓柱管道的關(guān)系。他們之間的交流，能達(dá)成互相啟發(fā)的效果。

研究者根據(jù)自己擬定的步驟，結(jié)合原有的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)探究結(jié)果進(jìn)行預(yù)判，即進(jìn)行實(shí)驗(yàn)猜測(cè)。如學(xué)生A猜測(cè)“圓形井蓋的優(yōu)勢(shì)是圓形的面積，因?yàn)椤恢型L(zhǎng)”；學(xué)生B猜測(cè)“井蓋的面積和放置井蓋的管道的面積有關(guān)系，都是圓形的，契合度好，優(yōu)勢(shì)是正好可以卡在管道上”。然后，研究者運(yùn)用文字、圖示等方式，客觀記錄實(shí)驗(yàn)的步驟以及過(guò)程中的關(guān)鍵信息，產(chǎn)生新的認(rèn)知。對(duì)小學(xué)階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，新認(rèn)知可以是數(shù)學(xué)知識(shí)上的認(rèn)知，也可以是數(shù)學(xué)方法、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生起初的發(fā)現(xiàn)一般都是粗線條的，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在初次探索實(shí)踐的基礎(chǔ)上，在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，圍繞問(wèn)題解決再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索。通過(guò)與原有的想法進(jìn)行比較，學(xué)生一定會(huì)有所發(fā)現(xiàn)：新想法可能更有利于問(wèn)題解決，也可能更不利于問(wèn)題解決。也就是說(shuō)，創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)是一個(gè)或迂回或起伏的較長(zhǎng)的過(guò)程，直至學(xué)生有了數(shù)學(xué)化程度較高的新發(fā)現(xiàn)。

（二）制造數(shù)學(xué)困境

根據(jù)“歷史相似性原理”，個(gè)體的發(fā)育史總會(huì)重蹈其種族的發(fā)展史。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，其思維發(fā)展的過(guò)程和數(shù)學(xué)史發(fā)展的過(guò)程也是非常相似的。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)教師只要了解某個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)或概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，就能對(duì)學(xué)生即將經(jīng)歷的思維發(fā)展進(jìn)行預(yù)判，從而有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)時(shí)所遇到的障礙進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，大量的驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)都進(jìn)行了這樣的優(yōu)化設(shè)計(jì)——教師設(shè)置好實(shí)驗(yàn)過(guò)程，最大限度地降低學(xué)生可能遇到的困難，帶著學(xué)生順利經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，獲得數(shù)學(xué)上的“新發(fā)現(xiàn)”。

與盡快解決或者走出數(shù)學(xué)困境相反，我們所研究的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)首次提出了先制造數(shù)學(xué)困境再走出數(shù)學(xué)困境的思路和方法。

1.只給出關(guān)鍵線索

只給出關(guān)鍵線索而不給出具體的實(shí)驗(yàn)步驟是為了發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性思維。如教師為“制作多邊形泡泡”的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)了4個(gè)實(shí)驗(yàn)主題。主題一是制作正方體。教師給出的關(guān)鍵線索是“用小棒或者牙簽制作一個(gè)正方體”。為什么這里只是提供“線索”，而不是實(shí)驗(yàn)“步驟”？如圖1所示，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，她們所能看到的正方體是含有面的實(shí)體，而不是顯示正方體局部特征的透視圖；現(xiàn)在要做的是正方體的框架，即只需了解正方體的局部特征。這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是抽象的，有思維難度的。

根據(jù)教師提供的線索，學(xué)生的主動(dòng)思考包括：“為什么是用小棒或者牙簽搭？”“小棒、牙簽都使用行不行？”“我需要什么樣子的小棒來(lái)搭？”“我需要多少根小棒來(lái)搭？”“用小棒怎么搭？”……學(xué)生沿著線索自主思考，自主選擇和準(zhǔn)備搭建正方體的其他工具。

由于只給出線索，并沒(méi)有告訴學(xué)生需要準(zhǔn)備12根小棒，并且12根小棒的長(zhǎng)度應(yīng)該相等；也沒(méi)有告訴學(xué)生12根小棒需要通過(guò)“點(diǎn)”來(lái)連接；“點(diǎn)”的材料對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是個(gè)未知概念。這就給學(xué)生制造了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)困境：當(dāng)準(zhǔn)備的小棒數(shù)量小于12時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)搭不成正方體；當(dāng)準(zhǔn)備的小棒數(shù)量大于12時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)有剩余，于是可得出“需要且只需要12根”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；如果準(zhǔn)備的小棒長(zhǎng)度不一致，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)搭出來(lái)的“正方體”東倒西歪，由此感悟到小棒需要長(zhǎng)度一樣才能“正”；當(dāng)連接小棒時(shí)，又會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)“點(diǎn)”需要聯(lián)結(jié)3根小棒這個(gè)事實(shí)……學(xué)生在不斷碰壁的困境中展開(kāi)思考和實(shí)踐，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)可以為學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)正方體的特征奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

正方體做好以后，要想做出方形泡泡，需要使用細(xì)繩子拴住這個(gè)正方體，將其浸沒(méi)在泡泡水中，再提起來(lái)。然而，這些仍舊是關(guān)鍵線索，而不是具體步驟：如果給出詳細(xì)的圖文結(jié)構(gòu)，學(xué)生一看就知道自己應(yīng)該用什么工具去做什么，那就是具體的操作步驟了。但是，這樣的步驟雖然能夠讓學(xué)生毫無(wú)阻礙地得到“方形泡泡”，但學(xué)生是在依葫蘆畫瓢，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行合理調(diào)整的主動(dòng)思考就不可能被真正觸發(fā)，問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)就無(wú)法被真正激活。那么，在這里，教師究竟沒(méi)有告訴學(xué)生什么呢？是繩子的粗細(xì)、長(zhǎng)度、栓正方體的方式以及泡泡水的比例。

有些學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自己準(zhǔn)備的繩子不夠長(zhǎng)，無(wú)法將整個(gè)正方體懸吊后完全浸沒(méi)在泡泡水中，于是意識(shí)到自己需要考慮繩子的長(zhǎng)度、繩子加上正方體的長(zhǎng)度以及容器的高度、寬度等，這本質(zhì)上是在具體情境中的“估測(cè)”或“測(cè)量”。“量感”核心素養(yǎng)在這個(gè)真實(shí)的具體情境中開(kāi)始萌芽。

有些學(xué)生在栓正方體的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)自己剛剛做好的正方體“弱不禁風(fēng)”，一下子就歪歪扭扭變了形，還需要想辦法加固正方體的每一條棱。這讓學(xué)生有機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)角度也是正方體的特征（由正方形構(gòu)成，正方形的角是直角）……走出數(shù)學(xué)困境的過(guò)程，永遠(yuǎn)伴隨著新的非預(yù)設(shè)問(wèn)題的出現(xiàn)。

創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)只給出關(guān)鍵線索。關(guān)鍵線索給學(xué)生留下了自主探索的空間，讓學(xué)生在這個(gè)空間里可能會(huì)遭遇點(diǎn)什么、發(fā)生點(diǎn)什么。以只給出關(guān)鍵線索的方式打造出來(lái)的數(shù)學(xué)困境，讓學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)和感悟到了數(shù)學(xué)現(xiàn)象和概念，還讓學(xué)生在一次又一次的失敗和調(diào)整中，錘煉出了“不怕困難、堅(jiān)持不懈”的學(xué)習(xí)品質(zhì)和科學(xué)精神。經(jīng)過(guò)不斷嘗試，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)小塊橡皮擦可以不受泡泡水的影響，是理想的連接點(diǎn)材料，如下頁(yè)圖3所示。

2.只在要點(diǎn)上引導(dǎo)

在數(shù)學(xué)困境中的探索性學(xué)習(xí)是主動(dòng)、有意義、鮮活的學(xué)習(xí)，它始終在動(dòng)態(tài)發(fā)展。由于創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)探究的時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)生從中積累的經(jīng)驗(yàn)、得到的或正確或錯(cuò)誤的認(rèn)知也會(huì)比較多、圍繞問(wèn)題進(jìn)行的調(diào)整也會(huì)有多次，然而，學(xué)生每一次的調(diào)整都是對(duì)其原有認(rèn)知的攪動(dòng)。因此，在學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究的全過(guò)程中，教師及時(shí)、正確的引導(dǎo)顯得極為重要，比如：正方體有多少條棱、棱的特點(diǎn)是什么？有多少個(gè)頂點(diǎn)、頂點(diǎn)與棱的關(guān)系是怎樣的？有多少個(gè)面、這些面是如何構(gòu)成的？正方體上點(diǎn)、線、面的關(guān)系如何？等等。

需要說(shuō)明的是，教師的引導(dǎo)應(yīng)著眼于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，不能隨著實(shí)驗(yàn)有了某種新發(fā)現(xiàn)而戛然而止。由“制作正方體”的過(guò)程幫助學(xué)生發(fā)展“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”和“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”等核心素養(yǎng)，之后教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果正方體可以做出方形泡泡，那么其他的立體圖形呢？教師的引導(dǎo)，可助推學(xué)生進(jìn)入無(wú)止境的探索。圖4和圖5是學(xué)生用三棱錐和五棱柱做出的三角形泡泡、五邊形泡泡。

今天的教育，需要將學(xué)生作為未來(lái)人培養(yǎng)，需要幫助學(xué)生主動(dòng)探尋數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景并善于抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考。面對(duì)各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的理性思維，從多角度思考解決問(wèn)題的方法，并對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，從而有效發(fā)展模型意識(shí)。創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)這一愿景，幫助學(xué)生成為具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的未來(lái)人的有效途徑。

參考文獻(xiàn)

［1］E. L. Ince. A Course in Descriptive Geometry and Photogrammetry for the Mathematical Laboratory［M］. London：G. Bell and Sons，Ltd.，1915.

［2］石輝榮.論數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［J］.大自然探索，1989（4）：125-130.

［3］徐毅.略論數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，1990（3）：10-11.

［4］歐光宇.談?wù)劇皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”［J］.南平師專學(xué)報(bào)，1995（4）：79-80.

［5］石稀林.談以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想挖掘數(shù)學(xué)例題的功能［J］.課程教材教學(xué)研究（中教研究），2002（12）：36-37.

［6］丁兆久.初等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998（3）：105-107.

［7］王東勤.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式的實(shí)踐研究［J］.山西教育（教學(xué)），2022（7）：5-6.

［8］張麗娟.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的課例研究［J］.理科愛(ài)好者，2022（3）：80-82.

［9］王薇.運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（11）：71-73.

［10］胡永寧.中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式探討［J］.新課程，2022（6）：137.

［11］李永鳳.例談初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)［G］∥邢玫萍.基礎(chǔ)教育理論研究成果薈萃上卷（三）.北京：中央民族大學(xué)出版社，2005：847-848.

［12］馮喜果.小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的再認(rèn)識(shí)［J］.甘肅教育，2001（6）：28-29.

［13］陶政國(guó)，李海龍.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的應(yīng)用［J］.讀寫算，2021（29）：66-67.

［14］嚴(yán)欽璋.小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作的過(guò)程［J］.湖南教育，1991（10）：43-44.

［15］蔡宏圣.數(shù)學(xué)史：從象牙塔到小學(xué)課堂［J］.課程·教材·教法，2009（2）：40-44.

注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度資助經(jīng)費(fèi)重點(diǎn)課題（A類）“素養(yǎng)導(dǎo)向下小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)的研究”（2023A131）的階段研究成果。

作者簡(jiǎn)介：陳燕虹（1978— ），湖南長(zhǎng)沙人，本科，高級(jí)教師，廣西特級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)。

（責(zé)編 白聰敏）