《圓柱與圓錐》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題設(shè)計(jì)

文|黃招杰

一、素養(yǎng)專項(xiàng)展評(píng)

1.柱體體積的聯(lián)系（巧用知識(shí)關(guān)）

（1）計(jì)算下面圖形的體積。（單位cm）

（2）這幾個(gè)圖形在體積的計(jì)算方法上有什么相同點(diǎn)？

（3）猜測(cè)：下面哪些圖形的體積也可以運(yùn)用這種方法來(lái)計(jì)算。（）（填序號(hào)）

（4）你選中的圖形和題目中的三個(gè)圖形，從圖形的運(yùn)動(dòng)角度觀察，都可以經(jīng)平面圖形的（ ）（填平移或旋轉(zhuǎn)）得到。

【參考答案】

（1）20×10×15=3000（cm3）

10×10×10=1000（cm3）

3.14×42×12=602.88（cm3）

（2）底面積×高

（3）①④⑥

（4）平移

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)柱體體積的計(jì)算，尋找體積計(jì)算的共性，根據(jù)立體圖形特征的整體把握，遷移共性，達(dá)到圖形特征與度量的整體融合。本題考查空間觀念和幾何直觀。】

2.從生活走向數(shù)學(xué)（問(wèn)題解決關(guān)）

（1）李伯伯既是一位木匠，又是一位書匠。這是他鋸下的一個(gè)木樁，他利用這個(gè)木樁給他的學(xué)生提了一些問(wèn)題，如下圖所示。你知道每個(gè)問(wèn)題求的是什么嗎？請(qǐng)?jiān)冢ǎ﹥?nèi)填上正確的序號(hào)。

①給這個(gè)木樁打一道鐵箍，需要多長(zhǎng)的鐵絲？（ ）

②把這個(gè)木樁放倒，在地上滾一周，所形成的面積是多少？（ ）

③把木樁放在地上，它的占地面積是多少？（ ）

④在木樁外面涂油漆，油漆面的大小是多少？（ ）

⑤計(jì)算這個(gè)木樁所占空間的大??？（ ）

A.底面積 B.底面周長(zhǎng)

C.側(cè)面積 D.表面積

E.側(cè)面積+底面積 F.體積

（2）你可以用什么方法把這個(gè)圓柱體木樁變成另外的物體呢？老師這里提供了幾種方法，請(qǐng)你任選一種，自編一道能用以上數(shù)據(jù)就可以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

A.鋸一鋸 B.挖一挖

C.削一削

我選（ ）：?jiǎn)栴}：我選（ ）：?jiǎn)栴}：

（3）李伯伯計(jì)劃將這個(gè)木樁改造成一個(gè)木桶，如圖所示?，F(xiàn)要知道這個(gè)木桶最多能裝多少的水，需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？我的選擇是（）。（填序號(hào)）

A.外直徑

B.內(nèi)直徑

C.桶口距底面最小高度

D.桶口距底面最大高度

【參考答案】

（1）B、C、A、D、F

（2）略（開(kāi)放式題目，比如①沿著直徑，往下鋸，表面積多了多少？②挖一個(gè)直徑為10cm 的最大的圓柱，剩下的體積是多少？③削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐體積是多少？）

（3）BC

【設(shè)計(jì)意圖：利用生活中的問(wèn)題，豐富學(xué)生的“實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)”。第（2）題的開(kāi)放設(shè)計(jì)讓不同的學(xué)生達(dá)到不同的高度。培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、尋找信息的能力。本題考查應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。】

二、素養(yǎng)綜合展現(xiàn)

3.用數(shù)學(xué)的思維想問(wèn)題（探索奧秘關(guān)）

在這個(gè)單元學(xué)完后，小明和小佳兩人就一個(gè)問(wèn)題展開(kāi)了研究，題目是這樣的：下面四個(gè)圖形的面積都是36。分別以長(zhǎng)和寬為軸旋轉(zhuǎn)一周，各得到兩個(gè)圓柱體。哪個(gè)圓柱的體積最小？哪個(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）先從簡(jiǎn)單開(kāi)始，研究一個(gè)圖形。

繞長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的（），寬是圓柱的（）。

繞寬旋轉(zhuǎn)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的（），寬是圓柱的（）。

（2）計(jì)算體積。

小明是這樣算的：

繞長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)：

V=sh=3.14×22×18=226.06

繞寬旋轉(zhuǎn)：

V=sh=3.14×182×2=2034.72

小佳是這樣算的：

繞長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)：

V=sh=3.14×2×2×18

繞寬旋轉(zhuǎn)：

V=sh=3.14×18×18×2

小明說(shuō)：“你沒(méi)有算出得數(shù)，不能比較體積的大小。”

小佳說(shuō)：“我從算式中就可以看出來(lái)哪個(gè)大、哪個(gè)小，不用計(jì)算出結(jié)果?！?/p>

你同意誰(shuí)的說(shuō)法？能說(shuō)說(shuō)你的理由嗎？

（3）要根據(jù)不同的情況選擇不同的策略來(lái)解決問(wèn)題。

現(xiàn)在我們的研究結(jié)論是：繞寬旋轉(zhuǎn)的圓柱體積（ ）繞長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)的圓柱體積。然后我們還發(fā)現(xiàn)在比體積哪個(gè)大、哪個(gè)小的時(shí)候，就是在比兩個(gè)圓柱的（ ），（ ）越長(zhǎng)，體積越大。

（4）猜測(cè)：①號(hào)圖形的結(jié)論可以應(yīng)用到②號(hào)、③號(hào)嗎？能說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？

（5）結(jié)論：我們會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形都是繞（ ）旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，圓柱體積比較大。在這四個(gè)圓柱里面，哪個(gè)體積是最大的呢？

猜測(cè)：（ ）越長(zhǎng)，體積越大。

（6）驗(yàn)證：小明也這樣進(jìn)行比較：請(qǐng)你在算式中，將決定體積大小的數(shù)圈出來(lái)。

V1=18×18×2×π

V2=12×12×3×π

V3=9×9×4×π

V4=6×6×6×π

（7）結(jié)論：我發(fā)現(xiàn)了：（ ）號(hào)長(zhǎng)方形繞（ ）旋轉(zhuǎn)體積最大。同樣可以類推：（ ）號(hào)長(zhǎng)方形繞（ ）旋轉(zhuǎn)體積最小。注意：結(jié)論的成立，前提是長(zhǎng)方形的面積都得相同。當(dāng)我們要研究一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，通常需要從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、再猜測(cè)、再驗(yàn)證的過(guò)程。

【參考答案】

（1）高，半徑；半徑，高

（2）同意小佳：都有3.14×2×18，18＞12，所以繞寬旋轉(zhuǎn)體積大。

（3）＞，半徑，半徑

（4）可以

（5）寬，半徑

（7）①寬；①長(zhǎng)

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)將復(fù)雜問(wèn)題化成若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、再猜測(cè)、再驗(yàn)證的反復(fù)過(guò)程，注重合情推理和演繹推理的融合，掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，得到正確的結(jié)論。本題考查空間觀念、推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。】