培養(yǎng)學(xué)生建模能力的研究

馬秀麗

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用得到了前所未有的拓展，涉及工程技術(shù)、金融管理、生物醫(yī)學(xué)、自然環(huán)境等諸多領(lǐng)域。建立數(shù)字模型，利用數(shù)學(xué)方法解決生活應(yīng)用和科學(xué)研究等問(wèn)題。通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的提煉，變具象為抽象，變問(wèn)題為模型。從實(shí)際問(wèn)題和定量分析角度出發(fā)，深入問(wèn)題，了解對(duì)象信息，通過(guò)調(diào)查研究，假設(shè)問(wèn)題條件，簡(jiǎn)化解析過(guò)程，分析內(nèi)在規(guī)律，驗(yàn)證演算結(jié)果并找到科學(xué)應(yīng)用的最優(yōu)解。這些都可以通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行求解與驗(yàn)證，得到準(zhǔn)確的解答并用它來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。初中數(shù)學(xué)知識(shí)具備很強(qiáng)的實(shí)用性，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，可以有效提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、應(yīng)用能力。

一、數(shù)學(xué)建模的概念及基本流程

在學(xué)習(xí)或生活中，針對(duì)某類(lèi)事物系統(tǒng)或是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量依存關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言，借助數(shù)學(xué)符號(hào)表述出該系統(tǒng)或知識(shí)點(diǎn)所體現(xiàn)的一種純關(guān)系數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這就是數(shù)學(xué)建模，其流程大致需要以下幾個(gè)步驟：第一步，模型準(zhǔn)備。了解需要解決問(wèn)題的背景與意義，搜集各種相關(guān)信息，把建模對(duì)象的個(gè)體特征弄清楚，以數(shù)學(xué)邏輯對(duì)問(wèn)題進(jìn)行清晰準(zhǔn)確的解析。第二步，模型假設(shè)。參考建模目的和需要解決的問(wèn)題特征，對(duì)問(wèn)題元素進(jìn)行提煉簡(jiǎn)化，并根據(jù)已知元素進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，這一步在建模中至關(guān)重要。問(wèn)題對(duì)象所帶來(lái)的若干因素，不可以照單全收、一概考慮。建模者需要充分發(fā)揮自己的觀察能力、判斷能力，分辨主次先后，盡可能地將處理方法簡(jiǎn)單化，讓其呈現(xiàn)均勻化、線(xiàn)化特征。第三步，建立模型。以假設(shè)對(duì)象自身的因果關(guān)系為假設(shè)分析依據(jù)，以數(shù)學(xué)工具來(lái)尋找建模對(duì)象的內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，分析各量間等式關(guān)系，建立基本邏輯框架。有了假設(shè)的基本架構(gòu)，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具對(duì)問(wèn)題中常量與變量間的關(guān)系進(jìn)行刻畫(huà)，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)。第四步，模型求解。整理已知數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)值運(yùn)算、證明定量、邏輯運(yùn)算、畫(huà)圖形、解方程等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法，以及計(jì)算機(jī)大數(shù)據(jù)等新型技術(shù)，對(duì)模型進(jìn)行推演計(jì)算（包括精算和估算）。第五步，模型分析。運(yùn)用機(jī)理分析法、數(shù)據(jù)分析法或仿真或其他方法，對(duì)所建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評(píng)估分析，從因果兩個(gè)方向逐步細(xì)化，并進(jìn)行穩(wěn)定性和誤差分析。第六步，模型檢驗(yàn)。模型數(shù)據(jù)分析結(jié)果出來(lái)后，要和實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，合理性、準(zhǔn)確性和適用性是衡量建模成功與否的三大要素。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的意義

（一）促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成

作為自然科學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識(shí)和思維的有效應(yīng)用，是核心素養(yǎng)逐步形成的前提。初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用與其他學(xué)科的學(xué)習(xí)及未來(lái)的生活工作有著密不可分的聯(lián)系。井然有序地在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，有機(jī)結(jié)合科學(xué)理論與生活實(shí)踐，感受專(zhuān)業(yè)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力，可促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的有效形成。在一次次建模過(guò)程中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得到進(jìn)一步鞏固，知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系得以強(qiáng)化，學(xué)生分析問(wèn)題的思維習(xí)慣逐步形成，解決問(wèn)題的綜合能力逐漸提升，這與新的課程改革精神是高度一致的。學(xué)生從建模中可以體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的初心，生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系橋梁得以直觀呈現(xiàn)，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，潛移默化地促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。

（二）促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升

新的課程改革精神，對(duì)核心素養(yǎng)作了較為具體的要求，在數(shù)學(xué)方面主要體現(xiàn)在以邏輯思維能力、實(shí)際應(yīng)用能力、創(chuàng)新創(chuàng)作能力、發(fā)散能力以及自主思考能力等為代表的綜合能力。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，相對(duì)比較重視理論知識(shí)的掌握，實(shí)踐應(yīng)用與理論探索結(jié)合不是很緊密，學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)相對(duì)不夠重視。學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，剛好可以針對(duì)性地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)這方面的不足，學(xué)生可以得到一個(gè)展示自我的平臺(tái)和突破自我的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)建模中，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力、專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)解讀能力和創(chuàng)造能力等技能可以得到充分的應(yīng)用與鍛煉。良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，自由的想象空間，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)提供了必要條件，同時(shí)也有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

（三）培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)和能力

數(shù)學(xué)建模，它不是一個(gè)個(gè)體運(yùn)動(dòng)，在各個(gè)環(huán)節(jié)之間需要形成一個(gè)團(tuán)隊(duì)相互協(xié)作。比如，由三名學(xué)生組成一個(gè)建模競(jìng)賽小組，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成既定的參賽項(xiàng)目。在這個(gè)需要團(tuán)隊(duì)協(xié)作的集體項(xiàng)目里，每個(gè)成員都要充分發(fā)揮自己的特長(zhǎng)與優(yōu)勢(shì)，相互彌補(bǔ)對(duì)方的缺點(diǎn)和不足，盡可能地釋放自己的最大能量，爭(zhēng)取達(dá)到“1+1+1＞3”的效果。這樣的建模比賽，每個(gè)學(xué)生都可以得到展示優(yōu)勢(shì)、彌補(bǔ)缺點(diǎn)的機(jī)會(huì)，各隊(duì)員的性格特點(diǎn)、思維習(xí)慣、知識(shí)架構(gòu)都直接影響著團(tuán)體的整體水平，隊(duì)員之間需要合理分工、通力合作、集思廣益、求同存異、相互彌補(bǔ)、相互協(xié)調(diào)形成合力，如此才能讓團(tuán)隊(duì)釋放出最大能量。在建?；顒?dòng)中，隊(duì)員的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)會(huì)在不知不覺(jué)中得到提升，團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力會(huì)逐漸提高。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的應(yīng)用分析

（一）滲透建模思想，培養(yǎng)建模意識(shí)

思想引導(dǎo)行動(dòng)，意識(shí)規(guī)范過(guò)程。建模能力要想得到有效的培養(yǎng)，正確的思想和良好的意識(shí)是最基礎(chǔ)的條件之一。在課堂教學(xué)中，教師可先向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模思想，確保學(xué)生理論知識(shí)有一定的基礎(chǔ)，提供必要的培養(yǎng)條件。滲透建模思想，可促進(jìn)學(xué)生思維習(xí)慣中形成建模意識(shí)。滲透過(guò)程中，教師可將一些生活實(shí)際問(wèn)題有序合理地引入，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模和現(xiàn)實(shí)生活的密切關(guān)系。教師可以將生活現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入課堂教學(xué)，建立數(shù)學(xué)模型并展示其過(guò)程。

例如，某同學(xué)將1000元壓歲錢(qián)存入銀行（一年定期），定期到期后本息一并取出，捐獻(xiàn)500元給貧困山區(qū)兒童，余下全部款項(xiàng)又按定期存入銀行。第二年定期利率是第一年的90%，第二年到期后，結(jié)算本金和利息一共530元，問(wèn)第一年的利率是多少（在不計(jì)利息稅情況下）？

解：假設(shè)第一年利率為x，得出｛1000×（1+x）-500｝（1+0.9）x=530

→[90×x2+145x-3=0

→x1≈0.0204（2.04%）

這類(lèi)題型有一定的抽象性，建模思想可以幫助學(xué)生把抽象問(wèn)題具象化。通過(guò)深入了解既定目標(biāo)信息、深層次進(jìn)行調(diào)查研究、分析內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，一點(diǎn)點(diǎn)加深學(xué)生對(duì)建模的認(rèn)知，以數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)符號(hào)為表述工具，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型表達(dá)，逐步滲透培養(yǎng)建模思想。建模思想的有效滲透，促進(jìn)建模意識(shí)的順利形成，可提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)能力，有利于階段性教學(xué)目標(biāo)的順利完成。

（二）拓展建模思維，提升建模技能

新的課程改革標(biāo)準(zhǔn)中，學(xué)生建模能力是初中生核心素養(yǎng)各項(xiàng)指標(biāo)中不可或缺的重要組成部分之一。在建模思想滲透達(dá)到一定成效之后，建模思維的拓展和建模技能的提升，必須要及時(shí)跟進(jìn)，從深度和廣度兩個(gè)方向進(jìn)行完善。建模思維的多維度拓展，便于數(shù)學(xué)課堂氛圍的營(yíng)造。輕松良好的氛圍之下，學(xué)生會(huì)更加主動(dòng)地去感受數(shù)學(xué)世界的魅力，探尋未知世界的奇妙。在主動(dòng)性和積極性都得以充分調(diào)動(dòng)的情況下，全面開(kāi)拓的建模思維會(huì)有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生掌握學(xué)科知識(shí)要點(diǎn)和重點(diǎn)，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用能力。提升技能，拓展思維，是培養(yǎng)學(xué)生建模能力過(guò)程中極為重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。思維的拓展與創(chuàng)新，知識(shí)獲取能力的提升，是學(xué)生整個(gè)人生中健康成長(zhǎng)和順利發(fā)展所必須具備的前題條件和必要保障。怎么拓展建模思維？以“一次函數(shù)的應(yīng)用”知識(shí)節(jié)點(diǎn)為例，教師提問(wèn)：“移動(dòng)”推出套餐“快捷通”和“全球通”，前者通話(huà)費(fèi)0.4元/分鐘，月租費(fèi)50元；后者無(wú)月租，通話(huà)費(fèi)0.6元/分鐘。如果你是營(yíng)業(yè)員，你會(huì)怎樣根據(jù)顧客的需求推薦合適的套餐呢？教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一次函數(shù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模，總費(fèi)用為ｙ，月通話(huà)總時(shí)長(zhǎng)為x?！叭蛲ā碧撞唾M(fèi)用為：y2=0.4x+50；“快捷通”套餐費(fèi)用為：y1=0.6x。當(dāng)y2

（三）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)建模熱情

在教學(xué)過(guò)程中，創(chuàng)設(shè)對(duì)口問(wèn)題情境，可以有效激發(fā)學(xué)生的建模熱情和興趣。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的科學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)置出與教學(xué)主題密切相關(guān)的問(wèn)題情境，以調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)建模及數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)積極性。以培養(yǎng)學(xué)生建模能力為出發(fā)點(diǎn)，教師為學(xué)生設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題情境，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，激發(fā)其學(xué)習(xí)自信心。

例如，根據(jù)某地區(qū)山地氣象信息表明，山下年均氣溫為20攝氏度，海拔每升高1000米，氣溫下降6攝氏度。問(wèn)某一適合在18攝氏度至20攝氏度生長(zhǎng)的植物，可以在山上哪一段高度種植？分析：從山腳向上每升高1000米溫度降低五攝氏度，那么每升高一米溫度降低千分之五攝氏度，假設(shè)宜種海拔為山腳以上x(chóng)米，根據(jù)題意得出：22-6/1000x≤20≥18與22-6/1000x，解得：2000/3≥x≥1000/3。

上述問(wèn)題情境的設(shè)置貼近生活，形象生動(dòng)易于理解，教師可以利用它引導(dǎo)學(xué)生建立不等式數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性和實(shí)用性。

（四）從易到難遞進(jìn)，逐步樹(shù)立信心

學(xué)習(xí)是一個(gè)遞進(jìn)的過(guò)程，從簡(jiǎn)單到困難，步步遞進(jìn)，更容易克服學(xué)生對(duì)知識(shí)重點(diǎn)、難點(diǎn)的恐懼心理，進(jìn)而樹(shù)立他們學(xué)習(xí)的自信心。建模能力的培養(yǎng)也同此理，如果一開(kāi)始給的應(yīng)用題難度過(guò)大，學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心會(huì)受到打擊。所以，教師要根據(jù)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)水平出發(fā)，從較容易的內(nèi)容開(kāi)始，把問(wèn)題分析到位，講解透徹，層層推進(jìn)，逐步到位。對(duì)一些不易掌握的難題，可設(shè)置一些過(guò)渡性知識(shí)作為橋梁，讓學(xué)生可以順利的分層進(jìn)階，逐步鞏固學(xué)習(xí)自信心。

比如，學(xué)校保潔室放一桶消毒液，純度為100%，容量是100升。保潔阿姨倒出一部分做環(huán)境消毒使用，并往桶里加滿(mǎn)清水。第二天，保潔阿姨又倒出同等量的消毒液做環(huán)境消毒，并繼續(xù)往桶里加滿(mǎn)清水。此時(shí)桶中純消毒液（含量100%）為64升，問(wèn)保潔阿姨每一次倒出的消毒液多少升？1.以桶內(nèi)裝有濃度為90%的消毒液100升為已知條件，求桶中有多少升濃度為100%的消毒液？2.以桶內(nèi)裝有濃度為100%的消毒液100升為已知條件，倒出20升后再加滿(mǎn)清水，求現(xiàn)在的消毒液濃度是多少？3.以桶內(nèi)原裝有濃度為100%消毒液100升為已知條件，求倒出20升后加滿(mǎn)水?dāng)嚲?，再倒?0升混合液后，原桶中濃度為100%的消毒液還有多少？

以上三個(gè)問(wèn)題，有一定難度，在建模應(yīng)用的時(shí)候，我們可以設(shè)計(jì)以下兩個(gè)問(wèn)題：1.假如每次倒出消毒液為[x]升，那么第一次有多少升消毒液被倒出來(lái)，桶里還有消毒液多少升，桶里消毒液濃度為百分之多少？2.第二次從桶中倒出消毒液[x]升，其中包含濃度為100%的消毒液多少升，桶中還余留濃度為100%的消毒液多少升？

在教師有意識(shí)的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)原題進(jìn)行閱讀，對(duì)已知條件進(jìn)行思考分析，所面臨的問(wèn)題就可以順利得到解決。在練習(xí)設(shè)置上，教師也要進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，從簡(jiǎn)單的開(kāi)始，讓學(xué)生根據(jù)自己當(dāng)前能力選擇合適的作業(yè)來(lái)完成。這樣的設(shè)置更能讓學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅，從而樹(shù)立戰(zhàn)勝學(xué)習(xí)困難的堅(jiān)定信心。

（五）強(qiáng)化建模應(yīng)用，體現(xiàn)建模價(jià)值

數(shù)學(xué)知識(shí)誕生于生活，是廣大人民群眾對(duì)生活的歸納、分析與總結(jié)，同時(shí)又服務(wù)于生活工作的各個(gè)方面。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、建模能力的培養(yǎng)，其最終目的是將來(lái)在生活和工作中得以應(yīng)用。教師在對(duì)初中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)時(shí)，可以把生活工作中的素材有序應(yīng)用到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)。當(dāng)學(xué)生具備一定的思想意識(shí)和思維習(xí)慣后，教師要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)建模的實(shí)際應(yīng)用能力，在不斷的應(yīng)用當(dāng)中充分體現(xiàn)建模的價(jià)值所在。通過(guò)生活中的日常問(wèn)題，社會(huì)關(guān)注問(wèn)題等現(xiàn)實(shí)素材，體會(huì)數(shù)學(xué)建模對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的重要性和實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)并應(yīng)用建模的興趣。以財(cái)務(wù)中常見(jiàn)的“增收節(jié)支”主題為例，教師可以把現(xiàn)實(shí)生活中的案例引用進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生直觀地感受到掌握建模技能就可以應(yīng)用于實(shí)踐。

例如，學(xué)校高中部去年招新生1800名，今年招生較去年呈現(xiàn)百分之五的增幅。其中女生去年少招了3個(gè)百分點(diǎn)，招收男生較去年多了7%，問(wèn)去年女生招了多少名？男生招了多少名？解析：今年男女生共招1800×（1+5%），去年男女生共招1800名。設(shè)去年女生為x名，男生為y名，今年女生為（1-3%）x，男生為（1+7%）y，x+y=1800，（1+7%）y+（1-3%）x=1800y（1+5%）。得出結(jié)果：去年男生招了1280人，女生320人。在教學(xué)過(guò)程中，教師既要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)有的知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)、未知問(wèn)題。把解題方式方法和數(shù)學(xué)概念定理進(jìn)行模型化處理，既能鞏固強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的積累與掌握，又能把數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)廣泛的應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。這樣從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用價(jià)值得到充分體現(xiàn)。

由此可見(jiàn)，教師要以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為基本教學(xué)實(shí)施目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，了解學(xué)生的身心特點(diǎn)，革新教學(xué)模式，更新教學(xué)理念，為學(xué)生專(zhuān)業(yè)技能的提升和綜合素養(yǎng)的完善提供必要條件。

作者單位? ?甘肅省天水市張家川縣閆家中學(xué)