解答集合問題常出現(xiàn)的錯誤及其應(yīng)對方法

董曉斌

集合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，有關(guān)集合的問題雖然較為簡單，但極易出錯.對此，筆者對解答集合問題中常出現(xiàn)的錯誤以及應(yīng)對方法進(jìn)行了總結(jié)，希望同學(xué)們能夠引以為戒，走出解題誤區(qū).

一、錯誤理解集合中元素的意義

集合是由元素構(gòu)成的.解答集合問題，需重點(diǎn)研究集合中的元素及其意義.集合中元素的意義往往與元素滿足的條件息息相關(guān)，一般地，x 表示數(shù)軸上的點(diǎn)， （x，y） 表示平面中的點(diǎn)，（x，y，z）表示空間中的點(diǎn).在解題時，若對集合中元素的意義理解不當(dāng)，就會出錯.

例1

錯解：

上述解法之所以錯誤，是因?yàn)闆]有理解集合中元素的意義和屬性.集合 M 中的元素是有序?qū)崝?shù)對 （x， y） ， 它代表的是一次函數(shù) y = 5x + 2 的圖象上所有的點(diǎn)，該集合屬于點(diǎn)的集合；集合 N 中的元素是實(shí)數(shù) y ，它代表的是二次函數(shù) y = 2x 2 + 5 中函數(shù)值 y 的所有取值，該集合屬于數(shù)的集合，由此可知集合 M 和 N 的交集應(yīng)為空集.

正解：

集合中的元素可能表示函數(shù)的定義域，也可能表示函數(shù)的值域，還可能表示的是平面上的點(diǎn).所以，在解答集合問題時，同學(xué)們不要草率動筆，要認(rèn)真審讀題目，準(zhǔn)確理解元素的意義，明確集合的屬性后，再去解題.

二、遺忘了空集

空集，是不含任何元素的集合.它兼具元素和集合的雙重屬性，是一個十分特別的集合.很多同學(xué)在解答集合問題時，受思維定勢的影響，常常遺忘空集的存在，導(dǎo)致得到的答案不完整，出現(xiàn)錯解.

例2

錯解：

上述解答過程之所以出現(xiàn)錯誤，主要是忽略了空集，致使得出的答案不完整.在由已知條件 M ∪ N = N 推導(dǎo)出 M ?N 時，只注意到了 M = N 和 M ? ≠ N 這兩種情況，卻忽略了 M = ?的情況.

正解：

空集既是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集.當(dāng)題目中出現(xiàn) M ?N 、M ∩ N = ?、M ∪ N = M 或 N 等情況時，同學(xué)們要注意空集的特殊性，應(yīng)首先考慮空集，從而確保答案的全面性和準(zhǔn)確性.

三、忽略了集合中元素的互異性

在集合中，每一個元素都是各不相同的，這就是集合中元素的互異性.然而，在解答有關(guān)集合問題時，許多同學(xué)常常忽略了集合中元素的互異性，在求出參數(shù)的值后，沒有及時進(jìn)行檢驗(yàn)，導(dǎo)致出現(xiàn)增解.

例3

錯解：

上述解法錯誤的主要原因，是忽略了集合中元素的互異性.事實(shí)上，當(dāng) x = y = 1時，集合 A ={0，1，1} ，B = {1，1，0} ，集合 A、B 中有兩個元素都為1，這顯然與集合中元素的互異性相矛盾，所以 x = y ≠ 1.

正解：

互異性是集合中元素的一個重要性質(zhì).在求解含參集合問題時，同學(xué)們要特別注意對所求參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有相同的元素，則需根據(jù)集合中元素的互異性，舍去某個解.

在解答集合問題時，同學(xué)們既要靈活運(yùn)用集合中的定義、運(yùn)算法則等，又要謹(jǐn)慎，警惕一些易錯點(diǎn)，避開陷阱，以提升解題的準(zhǔn)確率.