選用合適的方法，提升求函數(shù)值域的效率

張明強

函數(shù)的值域是指函數(shù)值的取值范圍，其受函數(shù)的解析式、自變量的影響.求函數(shù)值域問題的常見命題形式是根據(jù)已知的函數(shù)解析式和定義域，求函數(shù)的值域.由于各個問題中函數(shù)解析式的形式和特點均有所不同，所以求函數(shù)值域的方法也不相同.求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、配方法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、判別式法等.本文重點探討一下如下幾種求函數(shù)值域的常用措施.

一、利用直接法

直接法主要適用于求解較為簡單的函數(shù)值域問題.在解題時，只需仔細觀察函數(shù)式或?qū)瘮?shù)式進行適當?shù)淖冃?，就可以直接運用函數(shù)的性質(zhì)，通過簡單的計算、推理，求得函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù) y =x - 的值域.

解：∵1-x ≥0，∴ x ≤1，

∵≥0，∴-? ≤0，

∴ x - ≤1，即y ∈（-∞， 1]，

∴函數(shù) y =x - 的值域為（-∞， 1].

該函數(shù)解析式中含有根式，需先根據(jù)根式的意義，求得函數(shù)的定義域；然后根據(jù)不等式的可加性，求得函數(shù)式的取值范圍，進而采用直接法求得函數(shù)的值域.在求函數(shù)的值域時，需確保函數(shù)式中的每個代數(shù)式有意義，如完全平方數(shù)、算術(shù)平方根、絕對值都是非負數(shù)，據(jù)此建立不等式，求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)其定義域求函數(shù)的值域.

二、配方

若函數(shù)的解析式為二次函數(shù)式或形如 F（x）=af2（x）+bf（x）+c 的函數(shù)式，則可采用配方法來求函數(shù)的值域.運用配方法求函數(shù)的值域，需先根據(jù)完全平方式對所求函數(shù)式進行配方，將其變形為形如 f（x）=a（x + m） 2 + n 或 F（x）= a[ f （x）+ m] 2 + n 的式子；然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得函數(shù)在定義域內(nèi)的值域.

例2

解：

本題較為簡單，只需根據(jù)完全平方式，將函數(shù)式配方，便可根據(jù)二次函數(shù)的解析式和圖象快速確定函數(shù)的對稱軸和單調(diào)區(qū)間，進而求得函數(shù)的最大值、最小值.值得注意的是，有時端點處的函數(shù)值為函數(shù)的最值，所以在求得函數(shù)的最值后，需將其與端點處的函數(shù)值進行比較.

例3

解：

該函數(shù)式是一次函數(shù)式與反比例函數(shù)式的和，無法直接求得函數(shù)的值域，于是將 x、1 x 看作 x、1 x 的平方，運用配方法，將函數(shù)式配方，便可根據(jù)完全平方式的取值范圍確定函數(shù)的值域.在本題中，由于不確定 x 的取值，所以需分 x > 0、x < 0 兩種情況進行討論.

三、利用函數(shù)的單調(diào)性

在求函數(shù)的值域時，經(jīng)常需用到函數(shù)的單調(diào)性，這就需要首先根據(jù)函數(shù)的定義或運用導(dǎo)數(shù)法來判斷出函數(shù)的單調(diào)性；然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，進而確定函數(shù)的值域.一般地，若在某個區(qū)間 [a，b] 上，函數(shù) f （x） 為增函數(shù)，則函數(shù)在 x = a 處取最小值，在 x = b 處取最大值，則函數(shù)的值域為 [ f （a） ， f （b）] ；若在某個區(qū)間 [a，b] 上，函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)在 x = b 處取最小值，在 x = a 處取最大值，則函數(shù)的值域為 [ f （b），f （a）] .

例4

解：

解答本題，要先根據(jù)根式有意義求得函數(shù)的定義域，然后判斷出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，才能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出所求函數(shù)的值域.

例5

解：

該函數(shù)式為分式，且含有兩個根式，需先對其進行適當?shù)淖冃?；然后根?jù) y = x + 1、y = x - 1 的單調(diào)性判斷出函數(shù) y = x + 1 - x - 1 在 [1 +∞） 上的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域.一般地，對于簡單的基本函數(shù)而言，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；對于復(fù)合函數(shù)，可根據(jù)同增異減的原則來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

例6

解：

在解答本題時，需先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)任取 x1，x2 ∈ （0，+∞）， 且x1 < x2 ；再將 f （x1）- f （x2） ，通過化簡判斷出 f （x1）、f （x2） 的大小，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性；最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域.有些函數(shù)式較為簡單，可根據(jù)常用基本函數(shù)的單調(diào)性直接判斷出函數(shù)的單調(diào)性，有些函數(shù)較為復(fù)雜，則需利用函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來判斷其函數(shù)的單調(diào)性.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，對于較為簡單的函數(shù)值域問題，可運用直接法進行求解；而對于較為復(fù)雜的函數(shù)值域問題，就需將函數(shù)式進行適當?shù)淖冃?、配湊，以判斷出函?shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值域.在求函數(shù)的值域時，可結(jié)合函數(shù)的圖象來分析問題，這樣有利于快速確定函數(shù)的變化趨勢，求得問題的答案.