基于單元整體教學(xué)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施

欒長(zhǎng)偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在教學(xué)建議中明確提出，改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)。

當(dāng)前，各版本教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)遵循螺旋上升原則編排，具有系統(tǒng)性和完整性的特點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)之間互相關(guān)聯(lián)。教師若僅關(guān)注課時(shí)目標(biāo)，將教學(xué)內(nèi)容分塊呈現(xiàn)給學(xué)生，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)不成體系。所謂單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，指的是教師從發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平、心理特點(diǎn)等，將所要傳授的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析，按照一定標(biāo)準(zhǔn)歸納整合為一個(gè)單元，確定單元主題，從而進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的一種方法。數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的特點(diǎn)是其知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，不能隨意組合。唐彩斌、史寧中著的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》中提到，數(shù)學(xué)單元教學(xué)內(nèi)容可以根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯和學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯來(lái)組織。在按照數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯組織的教學(xué)單元中，單元主題的確定方式通常有三種：一是以重要的數(shù)學(xué)概念或核心的數(shù)學(xué)知識(shí)為主線組織，如“函數(shù)的概念”“數(shù)的成長(zhǎng)”主題單元；二是以數(shù)學(xué)思想方法為主線組織，如“數(shù)形結(jié)合”“數(shù)學(xué)建?！敝黝}單元；三是以核心素養(yǎng)為主線組織，如“數(shù)感的培養(yǎng)”“運(yùn)算能力”主題單元。在按學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯組織的教學(xué)單元中，通常以學(xué)習(xí)任務(wù)或者問(wèn)題為主線來(lái)組織。

一、以數(shù)學(xué)概念形成為單元：從個(gè)性到共性的歸納過(guò)程

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的起點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)的核心概念常見(jiàn)有：數(shù)的概念（有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)），方程的概念（一元一次方程、一元二次方程、分式方程），函數(shù)概念（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）等。

學(xué)生在探索數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中，具有相對(duì)固定的探究步驟：第一步，建立多個(gè)不同對(duì)象，將不同對(duì)象進(jìn)行分類。如有理數(shù)的分類是將小學(xué)生熟悉的各種數(shù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，并將可以互相轉(zhuǎn)化的小數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)；將不能化為分?jǐn)?shù)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)單獨(dú)歸為一類，即無(wú)理數(shù)，從而將有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。第二步，尋找所建立對(duì)象的共同特征，用文字或者符號(hào)進(jìn)行描述。如單項(xiàng)式的概念形成過(guò)程分為三種情況：數(shù)字和數(shù)字相乘，即單獨(dú)的一個(gè)數(shù)；數(shù)字和字母相乘，單獨(dú)的一個(gè)字母可以認(rèn)為是數(shù)字1與字母相乘；字母和字母相乘，系數(shù)為1。根據(jù)以上三種情況，我們可將單項(xiàng)式的概念描述為數(shù)字或者字母的乘積。第三步，對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行辨析與驗(yàn)證。如在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程”時(shí)，以概念形成為單元就具有合理性。

【探究】請(qǐng)你選擇合適的方法解決下列實(shí)際問(wèn)題（只列式，不計(jì)算）

（1）用一根長(zhǎng)24 cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？

（2）一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1700 h，預(yù)計(jì)每月再使用150 h，經(jīng)過(guò)多少個(gè)月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450 h？

（3）某校女生占全體學(xué)生人數(shù)的52%，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校共有多少學(xué)生？

（4）甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？

（5）一個(gè)面積為16平方米的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬多6米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各為多少米？

（6）A、B兩地之間的路程為12千米，甲車速度是乙車速度的3倍，兩車同時(shí)從A地出發(fā)，甲車比乙車早0.5小時(shí)到達(dá)B地，求甲、乙兩車的速度各為多少？

【問(wèn)題1】在6個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程中，哪幾個(gè)你使用的是算數(shù)法？哪幾個(gè)使用的是方程？他們是否可以互相轉(zhuǎn)化呢？

【問(wèn)題2】經(jīng)歷以上列方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，你能歸納用方程解決問(wèn)題的一般步驟嗎？

【實(shí)際操作】觀察6個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，你能按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)它們進(jìn)行分類嗎？請(qǐng)按照你的想法給這幾類方程命名。

方程概念的形成過(guò)程貫穿于整個(gè)初中方程內(nèi)容的學(xué)習(xí)。一元一次方程概念的形成過(guò)程是學(xué)生第一次經(jīng)歷方程概念的探究過(guò)程，教學(xué)中的6個(gè)問(wèn)題強(qiáng)調(diào)了生活情境的設(shè)計(jì)與問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}1的提出是因?yàn)閷W(xué)生在列式的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)算數(shù)法和方程法兩大類算法，這時(shí)教師不要急于要求學(xué)生必須選擇哪種方式進(jìn)行列式，而是應(yīng)在整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)下，讓學(xué)生逐步體會(huì)方程對(duì)于解決問(wèn)題的優(yōu)越性；問(wèn)題2的提出是為了落實(shí)單元整體教學(xué)目標(biāo)，將“從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題”列方程建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，這一教學(xué)目標(biāo)滲透到本單元每一課時(shí)之中，并將這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)延伸到學(xué)生未來(lái)利用分式方程、一元二次方程解決問(wèn)題的實(shí)踐中。實(shí)際操作的設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的次數(shù)、整式與分式等不同維度進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生從不同對(duì)象中尋找共性特征，這是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力、創(chuàng)新意識(shí)的主要渠道。同時(shí)，學(xué)生類比此種研究概念的方法去學(xué)習(xí)方程與函數(shù)的其他概念，可以達(dá)成探究方法的橫向關(guān)聯(lián)性目標(biāo)。

二、以法則探究形成為單元：從特殊到一般的遞進(jìn)過(guò)程

初中數(shù)學(xué)法則類內(nèi)容在單元整體教學(xué)中占有一定比重。研究一類數(shù)就要研究它的概念和運(yùn)算法則，從有理數(shù)的運(yùn)算法則（加、減、乘、除、乘方）到整式的運(yùn)算法則（冪的運(yùn)算）的探究，均遵循了從特殊到一般，再到特殊的知識(shí)生成過(guò)程。在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“完全平方式”時(shí)，以法則探究為單元就具備合理性。

【探究】請(qǐng)計(jì)算下列多項(xiàng)式的積：

（1）（x+2）（x-2）= __________；

（2）（p+1）2=__________；

（3）（3x+y）（3x-y）=__________；

（4）（2x+1）2= __________；

（5）（3m-n）2= __________。

【問(wèn)題1】你能將等號(hào)左邊的多項(xiàng)式按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成兩類嗎？

【問(wèn)題2】請(qǐng)觀察多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

【問(wèn)題3】你能再舉幾個(gè)例子驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【實(shí)際操作】請(qǐng)你類比平方差公式的驗(yàn)證過(guò)程，從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度對(duì)你歸納的公式進(jìn)行驗(yàn)證，并用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行描述。

問(wèn)題1的設(shè)置旨在培養(yǎng)學(xué)生的分類能力，建立大單元背景下的知識(shí)前后關(guān)聯(lián)，學(xué)生通過(guò)等號(hào)左邊多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其分為（a+b）（a-b）和（a+b）2兩類。根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生確定一類是已經(jīng)熟悉的，一類是不熟悉的、即將研究的新內(nèi)容，即完全平方式。

法則歸納的核心是從特殊到一般，所謂特殊就是“舉例子”，例子要有足夠數(shù)量的同時(shí)，更要凸顯其覆蓋性。教材中有些舉例不夠充分，教師則要讓學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過(guò)程，經(jīng)歷觀察、運(yùn)算、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師要展示公式的計(jì)算過(guò)程，在學(xué)生的思維中形成尋找公式共性特征的基點(diǎn)，總結(jié)出完全平方式，從而從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度進(jìn)行驗(yàn)證。其中，幾何驗(yàn)證是學(xué)生的一個(gè)盲區(qū)，類比平方差公式的幾何驗(yàn)證思路，教師可先出示一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形（如圖1），在此正方形上分別截取邊長(zhǎng)為a、b的正方形，證明剩下陰影部分為2ab即可。

三、以命題探究形成為單元：從合情推理到演繹推理的發(fā)展過(guò)程

命題探究是圖形與幾何學(xué)習(xí)的重要組成部分。每一個(gè)命題的學(xué)習(xí)都不是孤立的，我們都應(yīng)該將它置于圖形與幾何這個(gè)大單元的學(xué)習(xí)之中，從而尋找到幾何學(xué)習(xí)的基本思路，即“定義—性質(zhì)”和“判定—應(yīng)用”。命題的探究應(yīng)貫穿于整個(gè)幾何學(xué)習(xí)之中，使學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)真實(shí)問(wèn)題情境，觀察、操作、度量、證明這一完整的命題探究過(guò)程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}推理過(guò)程提供思維基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與演繹推理，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章“平行四邊形”為例，說(shuō)明以命題探究為單元的合理性。

【問(wèn)題1】觀察學(xué)校電動(dòng)門的開與關(guān)視頻，你能找到視頻中的常見(jiàn)幾何圖形嗎？

【問(wèn)題2】關(guān)于平行四邊形，你都知道哪些關(guān)于它的結(jié)論？

【問(wèn)題3】請(qǐng)你將手中的四邊形卡片沿著一條對(duì)角線剪開，觀察剪開后得到的兩個(gè)三角形并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？寫出你的猜想。

【實(shí)際操作】類比三角形性質(zhì)的探究過(guò)程，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)你的探究方案，并用文字、圖形和符號(hào)等表示你得到的結(jié)論。

問(wèn)題1展示了學(xué)生所熟悉的學(xué)校伸縮門的開關(guān)視頻，使學(xué)生建立了真實(shí)貼切的問(wèn)題情境，讓學(xué)生感悟到平行四邊形就在他們身邊。在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題2，即通過(guò)設(shè)計(jì)開放性問(wèn)題，使學(xué)生自主習(xí)得平行四邊形的定義、面積等。其中，有些結(jié)論是學(xué)生通過(guò)觀察得到的，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)探究與證明，如平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等，這時(shí)教師就需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷命題的探究過(guò)程。問(wèn)題3中的四邊形卡片，包括任意四邊形和大小不等的平行四邊形兩類，在實(shí)際操作過(guò)程中，可以讓學(xué)生感悟只有平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角才是相等的，這樣就間接解決了部分教師對(duì)于平行四邊形的性質(zhì)是否需要經(jīng)歷度量過(guò)程的糾結(jié)。實(shí)際操作是從實(shí)驗(yàn)幾何向驗(yàn)證幾何過(guò)渡的過(guò)程。類比三角形的性質(zhì)探究過(guò)程，教師可讓學(xué)生經(jīng)歷猜一猜、用刻度尺量一量、用幾何畫板驗(yàn)一驗(yàn)，得到命題“平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等”。教師要引導(dǎo)學(xué)生書寫文字命題的已知、求證，自己畫圖并完成證明過(guò)程，這種探究過(guò)程是發(fā)展學(xué)生合情推理，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的主要手段之一。對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們已具備了命題證明的基本能力，因此教師可以完整寫出命題的已知、求證與證明，引導(dǎo)學(xué)生：要證明一組線段和一組角相等，需要把兩條線段和兩個(gè)角分別放到兩個(gè)三角形中，構(gòu)造全等去得出結(jié)論。這是一個(gè)發(fā)展學(xué)生演繹推理的過(guò)程，更是證明命題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值的過(guò)程。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地建構(gòu)以單元整體教學(xué)為主線的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)提高課堂效率、兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生思維的橫向關(guān)聯(lián)性和縱向貫通性有很多好處。在日常教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)出發(fā)，深度挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)適合學(xué)生思維提升的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升基本能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在基本思想方法的支撐下，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。盡管目前很多學(xué)者和一線教師已經(jīng)在研究單元整體教學(xué)策略，但是具體如何協(xié)調(diào)其與教材編排的關(guān)系，如何將單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)落實(shí)到課堂，如何使學(xué)生真正從單元整體教學(xué)中受益，是值得研究的問(wèn)題，更是漫長(zhǎng)的研究過(guò)程，還需要我們繼續(xù)深入探索。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）