學(xué)會(huì)“三會(huì)”，提升素養(yǎng)

王海軍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）明確提出，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.在2022年的全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題中，出現(xiàn)了不少考查上述“三會(huì)”的試題，充分體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的上述理念.下面舉例說明.

例2.（2022·甘肅·蘭州）如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC

＝3cm，BC＝4cm，M為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，BN⊥CM，垂足為N．設(shè)A，M兩點(diǎn)

間的距離為xcm（0≤x≤5），B，N兩點(diǎn)間的距離為ycm（當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合

時(shí)，B，N兩點(diǎn)間的距離為0）．

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)因變量y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)

行了探究．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A，M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：

x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0

請(qǐng)你通過計(jì)算，補(bǔ)全表格：a＝ ? ? ；

（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象（圖6）；

（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢(shì)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；

（4）解決問題：當(dāng)BN＝2AM時(shí)，AM的長(zhǎng)度大約是?cm．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

分析：（1）當(dāng)x=1.8時(shí)，通過觀察或測(cè)量可猜想此時(shí)CM⊥AB，為此，求出AB邊上的高CM'，進(jìn)而求出AM'，判斷出點(diǎn)M與M'重合，即可得出答案；（2）先描點(diǎn)，再連線，即可畫出圖象；（3）觀察圖象的增減性，直接得出結(jié)論；（4）利用表格和圖象估算出AM的長(zhǎng)度．

解：（1）如圖7，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，則AC＝5.過點(diǎn)C作

CM'⊥AB于M，∴S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CM'，∴CM'＝ .在Rt△ACM'中，根據(jù)勾股定理得AM'＝1.8，當(dāng)x＝1.8時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M'重合，∴CM⊥AB，∴點(diǎn)M，N重合，∴a＝BN＝BM＝3.2；（2）如圖8所示；（3）由圖象知，y隨x的增大而減?。唬?）借助表格，觀察圖象，可知當(dāng)BN＝2AM時(shí)，AM的長(zhǎng)度大約是1.67cm．

點(diǎn)評(píng)：本題是用學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來探究幾何圖形中兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，這里用數(shù)學(xué)的眼光觀察（測(cè)量）出當(dāng)x=1.8時(shí)CM⊥AB，函數(shù)圖像的增減性，當(dāng)BN＝2AM時(shí)AM的大約長(zhǎng)度；用數(shù)學(xué)的思維確定用重合法求BN（或BM），繪制函數(shù)圖像，估算AM的長(zhǎng)度；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)求a的過程，描述函數(shù)的增減性等，都體現(xiàn)了中考對(duì)“三會(huì)”核心素養(yǎng)考查的基本要求，我們要從中去感悟、體會(huì)，領(lǐng)會(huì)中考對(duì)“三會(huì)”核心素養(yǎng)考查的角度與尺度，進(jìn)而進(jìn)行高效備考.

例3.（2022·貴州·畢節(jié)）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）

類別

價(jià)格 A款鑰匙扣 B款鑰匙扣

進(jìn)貨價(jià)/（元/件） 30 25

銷售價(jià)/（元/件） 45 37

（1）網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；

（2）第一次購(gòu)進(jìn)的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少？

（3）冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？

分析：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系“第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件”，構(gòu)造一元一次方程組，即可獲解；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m件A款鑰匙扣，則購(gòu)進(jìn)（80﹣m）件B款鑰匙扣，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“總價(jià)不超過2200元”，構(gòu)造關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得m的取值范圍.設(shè)再次購(gòu)進(jìn)的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，根據(jù)總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；（3）設(shè)B款鑰匙扣的售價(jià)定為a元，則每件的銷售利潤(rùn)為（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，根據(jù)平均每天銷售B款鑰匙扣獲得的總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量，構(gòu)造關(guān)于a的一元二次方程，求解即得結(jié)論．

解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，則購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣（30-x）件，依題意得30x+25（30-x）=850，解得x=20，30-x=10．即購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件，B款鑰匙扣10件．

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m件A款鑰匙扣，則購(gòu)進(jìn)（80﹣m）件B款鑰匙扣，依題意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．設(shè)再次購(gòu)進(jìn)的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，則w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝40時(shí)，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此時(shí)80﹣m＝80﹣40＝40．

因此，當(dāng)購(gòu)進(jìn)40件A款鑰匙扣，40件B款鑰匙扣時(shí)，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是1080元．

（3）設(shè)B款鑰匙扣的售價(jià)定為a元，則每件的銷售利潤(rùn)為（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依題意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，解得：a1＝30，a2＝34．

因此，將銷售價(jià)定為每件30元或34元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元．

點(diǎn)評(píng)：本題是日常生活中常見的實(shí)際問題，首先要用數(shù)學(xué)的眼光去審讀，將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次要用數(shù)學(xué)的思維去思考，構(gòu)造怎樣的數(shù)學(xué)模型來解決問題，這里涉及到方程、不等式和函數(shù)這三種初中數(shù)學(xué)中的重要模型；再次要用數(shù)學(xué)得語言去規(guī)范表達(dá)，設(shè)、列、解、檢、答一應(yīng)俱全，特別是第（3）小題中的兩解均符合題意，不可偏廢.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校）