研究中考真題 明晰考查方向

文／陸麗萍

圓，作為幾何圖形的基本圖形之一，是中考數(shù)學(xué)的重要考查對象。本文精選了2022 年與圓相關(guān)的中考真題，從考查方向、呈現(xiàn)形式、設(shè)問出發(fā)，對命題趨勢做些思考，希望對同學(xué)們的備考有所幫助。

一、圓周角定理及其推論

圓周角定理及推論以“弧”為中介，把圓中的角聯(lián)系起來，可用來求角的度數(shù)以及證角相等，單獨考查時會出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與其他知識結(jié)合時多出現(xiàn)在綜合解答題中，是中考必考內(nèi)容。

例1（2022·江蘇蘇州）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC、AD。若∠BAC=28°，則∠D=______°。

圖1

【解析】如圖2，連接BD，根據(jù)直徑所對圓周角是90°，可得∠ADB=90°。由圓周角定理得∠BDC=∠BAC，進而可得∠ADC=90°-∠BDC=62°。故答案為62。

圖2

【點評】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理及其推論是解題的關(guān)鍵。

二、切線的判定與性質(zhì)

切線的判定與性質(zhì)是中考熱點，考查題型設(shè)置廣泛，但處理方法并不復(fù)雜。

例2（2022·江蘇揚州）如圖3，AB為圓O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB=CP。試判斷直線BC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由。

圖3

圖4

【解析】連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，求出∠OBC=∠AOC=90°，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論。

【點評】判定一條直線是圓的切線時，若直線與圓的公共點已知，證明方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓公共點未知，證明方法是“作垂線，證半徑”，證圓心到直線的距離等于圓的半徑（即證d=r）。

例3（2022·江蘇鹽城）如圖5，AB、AC是圓O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，若∠BAD=35°，則∠C=______°

圖5

圖6

【解析】連接AO并延長，交圓O于點E，連接BE。根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根據(jù)AD為⊙O的切線，可得∠BAE+∠BAD=90°，可得∠E=∠BAD=35°。最后根據(jù)圓周角定理即可求得∠C=∠E=35°。故答案為35。

【點評】如果我們要運用切線的性質(zhì)來解決問題，常見作輔助線的方法是連接圓心和切點，再利用垂直構(gòu)造直角三角形。

三、弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積的計算

弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積的計算重在明晰公式中字母的各自指代，如此才能靈活運用公式進行計算。

例4（2022·江蘇鹽城）如圖7，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點B落在邊CD上的點B＇處，線段AB掃過的面積為______。

圖7

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＇=AB=2，由銳角三角函數(shù)可求出∠DAB＇=60°，從而得出∠BAB＇=30°。由扇形面積公式，得線段AB掃過的面積=故答案為

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、扇形面積公式、銳角三角函數(shù)等知識，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)建圖形并運用合適的公式是解決此題的關(guān)鍵。

解決圓的問題，我們要熟悉圖形的性質(zhì)與判定，能從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形。這種化繁為簡的處理策略是解決問題的一種有效途徑。