基于到理想和非理想前沿線偏差的交叉效率評價

譚瑩瑩，鄭婷婷，郭 冬

（安徽建筑大學 數(shù)理學院，安徽 合肥 230601）

當前對效率進行評價的主要方法包括投入產(chǎn)出法、模糊綜合評價法、隨機前沿法和數(shù)據(jù)包絡分析法（Data Envelopment Analysis，DEA）。由于DEA 方法無須具體的生產(chǎn)函數(shù)形式、無須對數(shù)據(jù)進行量綱處理且無須預先主觀設置權重，因此近年來取得了蓬勃發(fā)展并廣泛應用于各類效率評價領域。

第一個DEA 模型，即CCR 模型，于1978 年由Charnes 等［1］首先提出。CCR 模型中效率為1 的決策單元（Decision Making Unit，DMU）處于有效前沿面上，被評價為有效的，效率小于1 的DMU 被認為是無效的。在CCR 模型下，每個DMU 都從自身效率最大化出發(fā)選取權重，獲取的效率值可視為自評效率，結果一般導致多個DMU 被評價為有效，不能進一步有效區(qū)分。1986 年，Sexton 等［2］將自評效率和他評效率相結合，提出了交叉效率評價方法，有效提高了對各被評DMU 的辨析能力。

但由于自評效率中CCR 模型的最優(yōu)權重通常不唯一，使得計算出的交叉效率具有隨意性，很多學者建立了不同的第二目標模型解決這個問題。Doyle 等［3］提出了仁慈型和激進型交叉效率，通過最大化和最小化對同行的評價確定相應的權重和交叉效率值，進而可以對所有DMU 排序。Liang等［4］提出的博弈型交叉效率，在滿足自我評價最大化的前提，盡可能最小化敵方的效率值同時最大化友方的效率值，以確定其交叉效率的權重。Wang 等［5］提出了中性交叉效率進行交叉效率評價，通過盡可能對自己有利，而不關心同行的想法確定相應的權重和交叉效率值，并給出相應的排序結果。李學文等［6］通過限制有效和非有效的DMU，改進傳統(tǒng)的博弈交叉效率，利用施加全局限制的交叉效率模型確定權重和效率值，進一步獲取排序。Shi 等［7］通過IDMU 和ADMU 定義了理想前沿與非理想前沿，利用其與理想前沿和非理想前沿的偏差確定權重，以獲取交叉效率值和排序結果。Kao 等［8］將交叉評價的思想引入整體結構，對串聯(lián)和并聯(lián)結構的效率進行衡量，構建的模型將整體結構的交叉效率值分解為串聯(lián)結構劃分值的乘積和并聯(lián)結構的加權平均，并在實例中進行交叉效率評價分析。Shi 等［9］在考慮有限理性行為下，將基于區(qū)間參考點的前景理論作為第二目標，以確定權重和交叉效率值，進而對14 家國際客運航空公司進行交叉效率分析。Zhu 等［10］提出了當被評價DMU 處于最優(yōu)時，將公平理論引入交叉效率的模型以確定權重，并且提出了兩種非線性模型的解決方法為所提模型求解。Zou 等［11］利用標準化的歐式距離定義判別冪和度量個體偏好與群體理想偏好的偏差度，由此提出比較交叉效率多個最優(yōu)解的方法，并構建通用加權交叉效率模型以評價和排序。

通過理想決策單元（Ideal DMU，IDMU）和非理想決策單元（Anti-ideal DMU，ADMU）引入理想前沿線和非理想前沿線，進而最小化各DMU 與理想前沿線的最大距離，最大化各DMU 與非理想前沿線的最小距離以及最小化各DMU 與理想前沿線的最大距離的同時最大化它們與非理想前沿線的最小距離，以此設立第二目標確定投入產(chǎn)出權重和交叉效率值。利用建立的三類模型對14 家國際客運航空公司進行分析，并與傳統(tǒng)交叉效率進行比較。

1 傳統(tǒng)交叉效率評價方法

1.1 CCR 模型

設有n個被評價DMU，每個DMU 消耗m種不同投入，生產(chǎn)s種不同產(chǎn)出。記xij為第j個DMU的第i種投入，yrj為第j個DMU 的第r種產(chǎn)出。

1.2 傳統(tǒng)交叉效率評價模型

可獲得DMUk對DMUj的一個交叉效率，反映了DMUk對DMUj（j=1，2，…，n）的同行評價，即他評效率。DMUj的自評效率和（n-1）個交叉效率相結合可得DMUj的平均交叉效率，具體如表1所示。

表1 交叉效率表Tab.1 Cross-efficiency matrix

1.3 激進型交叉效率、仁慈型交叉效率和中性交叉效率

由于模型（1）通常有多個最優(yōu)解，使得由（2）計算出的交叉效率具有隨意性。為此，Doyle andGreen［3］提出了廣為人知的激進型和仁慈型交叉效率模型：

其中，θkk*為模型（1）確定的DMUk自評的最優(yōu)值。

模型（3）稱為激進型交叉效率模型，DMUk在保持CCR 效率不變的情況下，最小化同行交叉效率；模型（4）稱為仁慈型交叉效率模型，DMUk在保持CCR 效率不變的情形下，最大化同行交叉效率。

2010 年，Wang 等［5］認為DMU 有機會確定投入產(chǎn)出權重時，只會盡可能選擇對自身有利的，不會過度在意對其他DMU 是仁慈還是激進。他們提出了一個最大化各產(chǎn)出效率的中性交叉效率模型：

2 基于理想前沿與非理想前沿的交叉效率

2.1 理性前沿與非理想前沿

和

2.2 基于到理想前沿和非理想前沿的距離偏差的交叉效率評價

2.2.1 基于到理想前沿偏差的交叉效率模型

設DMUj與理想前沿的偏差為dIj：

其中，θIDMU為模型（6）的最優(yōu)解。

模型（8）中第一個限制條件是保持DMUk的CCR 最優(yōu)效率，第二個限制條件是保持所有決策單元效率小于等于1，第三個限制條件是其他DMU與理想前沿線的距離小于最大偏差。模型（8）通過最小化其他DMU 與理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權重。

2.2.2 基于到非理想前沿偏差的交叉效率模型

? The European Union，“Consolidated Versions of The Treaty on European Union and The Treaty on The Functioning of The European Union”，Official Journal of the European Union，Volume 53，C 83，p．91．

設DMUj與非理想前沿的偏差為dAj：

其中，θADMU為模型（6）的最優(yōu)解。

模型（9）中第三個限制條件是其他DMU 與非理想前沿線的距離大于最小偏差。模型（9）通過最大化其他DMU 與非理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權重。

2.2.3 基于同時到理想前沿偏差和和非理想前沿偏差的交叉效率（以下簡稱基于二者）

當同時以理想前沿線和非理想前沿線作為評價標準時，保持被評DMUk滿足CCR 最優(yōu)效率，要求其他DMU 到理想前沿線的偏差越小越好，同時到非理想前沿線的偏差越大越好。由此建立如下模型：

模型（10）中第三個限制條件是其他DMU 與理想前沿線的距離小于最大偏差，第四個限制條件是其他DMU與非理想前沿線的距離大于最小偏差。模型（10）通過最小化其他DMU 與理想前沿線之間距離的同時，最大化其他DMU 與非理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權重。

3 實例

表2 14 家國際客運航空公司的投入、產(chǎn)出和CCR 效率值Tab.2 Input，output and CCR efficiency of 14 international passenger airlines

表3、表4 和 表5 分 別 為 基 于IDMU、基 于ADMU 和基于二者三類交叉效率模型確定的權重。

表3 基于IDMU 模型確定的權重Tab.3 Weights based on IDMU model

表4 基于ADMU 模型確定的權重Tab.4 Weights based on ADMU model

表5 基于二者模型確定的權重Tab.5 Weights based on IDMU and ADMU models

由三個表可以看出，一部分DMU 的權重在三類模型中是相同的，如DMU1，但是另一部分DMU的權重在三類模型中是不同的：對于DMU5，在基于IDMU 和基于ADMU 兩個模型中的權重存在差異；對于DMU11，在基于ADMU 和基于二者兩個模型中的權重存在差異；對于DMU14，在三類模型中權重各不相同。

表6 為本文所提三類交叉效率評價方法和經(jīng)典的交叉效率評價方法對14 家國際客運航空公司評價的效率值。其中，經(jīng)典交叉效率為激進型交叉效率、仁慈型交叉效率［3］和由Wang 等［5］提出的中性交叉效率。

表6 本文交叉效率值和激進型、仁慈型、中性交叉效率值Tab.6 Cross-efficiency value of this paper and aggressive，benevolent and neutral cross-efficiency values

表6 中第二列至第四列為本文交叉效率值由模型（8）、（9）和（10）所得，第五列和第六列是由模型（3）、（4）和（5）所得。由表6 看出本文交叉效率評價方法中，基于二者模型的效率值處于基于理想前沿與基于非理想前沿兩個效率值之間，在經(jīng)典交叉效率評價方法中，中性交叉效率處于激進型和仁慈型效率值之間，且所有模型中最小效率均為DMU2。

圖1顯示的是表6中第二列至第七列的效率值。由圖1 可觀察到，三類模型的效率值在激進型和仁慈型的效率之間，且五個模型的效率比較接近，差異不大，而在DMU7至DMU13中，其他四個模型的效率值與激進型效率值之間差距相對較大。

圖1 本文交叉效率值和激進型、仁慈型、中性交叉效率值Fig.1 Cross-efficiency value of this paper and aggressive,benevolent, neutral cross-efficiency values

基于理想前沿和基于二者兩個模型與基于非理想前沿和中性交叉效率兩個模型在DMU3至DMU6的效率存在較為明顯的差距，其余的DMU之間的交叉效率值非常接近，僅存在微小不同。

表7 為本文交叉效率和經(jīng)典交叉效率的排名，其中，第二列至第四列為本文交叉效率排名，第五列至第七列為經(jīng)典交叉效率排名。由表7 發(fā)現(xiàn)，分別以理想前沿和非理想前沿為評價標準時，僅DMU9、DMU10和DMU14的排名差距較大，其他DMU 排名差距不大。而觀察基于二者與基于理想前沿的模型可知，各DMU 的排名較為接近，與基于非理想前沿模型對比時大部分DMU 的排名均不同，且相差較大。

表7 本文交叉排序和激進型、仁慈型、中性交叉排序Tab.7 Orders of cross-efficiency in this paper and aggressive，benevolent and neutral cross-efficiencies

圖2 為表7 第二至七列所獲。由圖2 可見，三類模型與激進型和仁慈型的交叉效率排名比較接近，但DMU8和DMU14與基于非理想前沿的排名存在明顯差異。三類模型與中性交叉效率排序相比，DMU2的排名相同，其余決策單元與基于理想前沿和基于二者的排名存在差異，但差異較小，與基于非理想前沿相比時，大部分DMU 與其存在差異，在DMU5和 DMU11上差異明顯。

圖2 本文交叉效率模型排序和激進型、仁慈型、中性交叉效率排序Fig.2 Orders of cross-efficiency in this paper and aggressive, benevolent, neutral cross-efficiency

4 結論

交叉效率評價方法是比較和排序決策單元的一種有效手段，本文以理想前沿線與非理想前沿線為評價標準，通過最小化DMU 與理想前沿線的最大偏差，或最大化DMU 與非理想前沿線的最小偏差，或結合二者建立相應模型確定一組最優(yōu)投入產(chǎn)出權重，可對所有DMU 進行評價和排序。本文方法提高了傳統(tǒng)DEA 模型的辨析能力。

從算例結果可見，與經(jīng)典交叉模型相較，本文所提三類模型得出的效率值都在激進型和仁慈型效率值之間，縮小了交叉效率評價區(qū)間的長度，有效提高了效率評價的精度；基于理想前沿線與基于二者模型得出的效率值與經(jīng)典交叉效率值比較接近，基于非理想前沿線模型得出的效率值與經(jīng)典交叉效率值存在明顯差距。因此，本文方法可以反映DMU 之間的績效和特點，是一種有效、實用的交叉效率評價方法，能提供有價值的決策參考。