“運(yùn)算一致性”的價(jià)值理解與實(shí)踐路徑

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與運(yùn)算”主題中提出，要讓學(xué)生“感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性”。就“運(yùn)算一致性”而言，需要教師從宏觀、中觀、微觀三種視角來(lái)理解，從算理、算法、算律三個(gè)維度來(lái)表達(dá)，通過意義、模型、策略三條路徑來(lái)實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算一致性；計(jì)數(shù)單位；意義關(guān)聯(lián)；數(shù)形結(jié)合；模型建構(gòu)

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）14-0007-05

【作者簡(jiǎn)介】王嵐，清華大學(xué)附屬中學(xué)廣華學(xué)校（北京，100124）副校長(zhǎng)、小學(xué)部校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象。

2022年4月，教育部印發(fā)義務(wù)教育課程方案和語(yǔ)文等16個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）。面對(duì)新的課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)，需要一線教師在學(xué)習(xí)中思辨、在比較中研讀?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域關(guān)于“一致性”的表述引發(fā)了筆者的深入思考與深度實(shí)踐。

一、從宏觀、中觀、微觀三種視角理解一致性

1.宏觀視野下的一致性

宇宙之中，萬(wàn)事萬(wàn)物皆處于運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化之中。《荀子·儒效》有言云：“千舉萬(wàn)變，其道一也?！鼻ё?nèi)f化的是表象，其本質(zhì)規(guī)律是一致的。正所謂“萬(wàn)變不離其宗”。這里的“道”和“宗”都蘊(yùn)含了事物發(fā)展變化規(guī)律在本質(zhì)上的一致性。

人的成長(zhǎng)與發(fā)展同樣遵循生長(zhǎng)規(guī)律的一致性，每個(gè)年齡段的兒童都具有這一階段兒童共同的身心發(fā)展特點(diǎn)。皮亞杰提出兒童認(rèn)知能力發(fā)展存在著階段性，分為感知運(yùn)動(dòng)階段（0～2歲）、前運(yùn)算階段（2～7歲）、具體運(yùn)算階段（7～11歲）和形式運(yùn)算階段（11歲以后）。每一個(gè)階段的兒童，在認(rèn)知能力發(fā)展方面都具有階段發(fā)展的共通性與發(fā)展方向的一致性。

從核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來(lái)看，學(xué)生在不同階段的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展也具有一致性。新課標(biāo)從三個(gè)方面表述數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。同時(shí)，將核心素養(yǎng)在小學(xué)、初中、高中三個(gè)階段的具體表現(xiàn)從內(nèi)涵上進(jìn)行貫通與銜接，如高中學(xué)段核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一的數(shù)學(xué)抽象，在初中學(xué)段就具體表現(xiàn)為抽象能力，在小學(xué)階段整體體現(xiàn)為數(shù)感、量感和符號(hào)意識(shí)。新課標(biāo)的表述方式從內(nèi)涵上將小學(xué)、初中、高中的核心素養(yǎng)表現(xiàn)貫通起來(lái)，使得整個(gè)基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)達(dá)成統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)整體性、一致性和階段性。［1］

2.中觀視域中的一致性

在課程內(nèi)容的組織上，新課標(biāo)提出要重視內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合。從課程內(nèi)容的角度理解一致性，可以從以下五個(gè)層面進(jìn)行思考。

其一，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的總體編排具有一致性。各個(gè)學(xué)段之間的內(nèi)容彼此關(guān)聯(lián)，層層深入，螺旋上升，形成了一個(gè)系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。例如，小學(xué)階段的“數(shù)與運(yùn)算”和初中階段的“數(shù)與式”在內(nèi)容方面就具有一致性，數(shù)的運(yùn)算從加法、減法、乘法、除法單一的運(yùn)算開始，逐步發(fā)展到混合運(yùn)算。隨著數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷拓展，逐漸從整數(shù)運(yùn)算延伸到小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算，進(jìn)而發(fā)展到有理數(shù)的運(yùn)算。

其二，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的領(lǐng)域安排具有一致性。例如，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》原有的六個(gè)主題整合為兩個(gè)主題，將具有高相關(guān)性的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”這兩個(gè)主題整合為“數(shù)與運(yùn)算”這一個(gè)主題，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)與學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)的具體表現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)與運(yùn)算具有一致性。這樣的整合編排，有利于凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知系統(tǒng)。

其三，數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算從本質(zhì)而言具有非常強(qiáng)的意義相關(guān)性，數(shù)的意義和數(shù)的運(yùn)算具有一致性。數(shù)的概念的建構(gòu)基石和數(shù)的運(yùn)算的底層邏輯都是計(jì)數(shù)單位。從數(shù)的概念的運(yùn)用和數(shù)的運(yùn)算的解讀來(lái)看，數(shù)的概念是數(shù)的運(yùn)算的前提，數(shù)的運(yùn)算是對(duì)數(shù)的概念的應(yīng)用。對(duì)于算理的理解和算法的解讀，最終都要追溯、回歸到數(shù)的意義。

其四，數(shù)的運(yùn)算與運(yùn)算之間具有非常密切的聯(lián)系，小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的加法、減法、乘法、除法，從其根源來(lái)說(shuō)都是加法的發(fā)展與演化。減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法也是乘法的逆運(yùn)算，所有的運(yùn)算都可以還原為加法。因此，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，加法、減法、乘法、除法這四種運(yùn)算具有一致性。

其五，同一種運(yùn)算在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的具體計(jì)算中，從形式上來(lái)看，很多都不盡相同，從算法的表述來(lái)看，有些還相去甚遠(yuǎn)。但究其本源，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)計(jì)算，其內(nèi)在的算理是一脈相承的，其內(nèi)隱的算律是可遷移運(yùn)用的，因而從運(yùn)算的內(nèi)涵和意義來(lái)說(shuō)具有一致性。

3.微觀視角里的一致性

從更為具體的角度來(lái)看，同樣一個(gè)算式，在多樣化的運(yùn)算過程中，其外在表現(xiàn)形式可以是完全不同的，但觀其根本，其內(nèi)在的核心仍然是完全一致的。這里的“一致”，可以是算理的一致，可以是算律的一致，可以是概念的一致，也可以是意義的一致。

例如，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法就有不同的外在表達(dá)，如計(jì)算4/5÷2，可以是4/5÷2=4÷2/5=2/5，也可以是4/5÷2=4/5×1/2=2/5，還可以是4/5÷2=4/5÷10/5=4/10=2/5。從除法的意義來(lái)看，4/5÷2可以看成把4/5平均分成2份，也就是把4個(gè)1/5平均分成2份，將1/5看作計(jì)數(shù)單位，對(duì)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行平均分，即4÷2/5；從分?jǐn)?shù)的意義來(lái)看，4/5÷2可以看成把4/5看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份就是4/5的1/2，可以用4/5×1/2；從計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的遷移來(lái)看，4/5÷2可以先轉(zhuǎn)化為相同的計(jì)數(shù)單位再進(jìn)行計(jì)算，4/5÷2=4/5÷10/5=4/10=2/5。三種計(jì)算方法的生長(zhǎng)點(diǎn)都在于對(duì)“平均分”這個(gè)大概念的理解，其本質(zhì)具有一致性。再次聚焦后續(xù)的計(jì)算過程，4÷2/5、4/5×1/2、4/5÷10/5的具體運(yùn)算也都體現(xiàn)了對(duì)計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)算，體現(xiàn)了運(yùn)算一致性的內(nèi)涵。

二、從算理、算法、算律三個(gè)維度表達(dá)一致性

1.算理：讓算法有魂

在小學(xué)階段，整數(shù)運(yùn)算是小數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。整數(shù)運(yùn)算的算理可以推廣、遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中。從運(yùn)算一致性的角度重新審視現(xiàn)有的教材和當(dāng)下的教學(xué)，我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，整數(shù)運(yùn)算有整數(shù)運(yùn)算的計(jì)算法則，小數(shù)運(yùn)算有小數(shù)運(yùn)算的計(jì)算法則，分?jǐn)?shù)運(yùn)算的計(jì)算法則與小數(shù)運(yùn)算的計(jì)算法則大不相同。算法各不相同，算理是否相通呢？

以加減法運(yùn)算為例，整數(shù)加減法和小數(shù)加減法在運(yùn)算過程中都需要做到數(shù)位對(duì)齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。而在進(jìn)行分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算時(shí)，受整數(shù)加減法和小數(shù)加減法計(jì)算法則的負(fù)遷移，學(xué)生容易推想為分母和分母相加減作為分母，分子和分子相加減作為分子。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因就是教師教學(xué)時(shí)重算法而輕算理，重結(jié)果而輕過程，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)算理的理解不清晰。整數(shù)加減法和小數(shù)加減法為什么需要數(shù)位對(duì)齊后相加減呢？我們調(diào)研發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)比例的學(xué)生并不清楚深層次的原因，相同數(shù)位上的數(shù)相加減背后的算理是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。而分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位和整數(shù)、小數(shù)按數(shù)位確定計(jì)數(shù)單位有很大的不同，分?jǐn)?shù)的分母決定了分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。因此，分?jǐn)?shù)單位相同的分?jǐn)?shù)才能直接相加減。當(dāng)我們追溯知識(shí)的本源時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法從形態(tài)上看存在差異，從算法上看有所不同，但算理完全一致。計(jì)數(shù)單位相同時(shí)，可以直接相加減。計(jì)數(shù)單位不同時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)再進(jìn)行加減。同分母分?jǐn)?shù)可以直接相加減，分母不變，分子相加減。異分母分?jǐn)?shù)需要先通分轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行加減，其背后的原理其實(shí)與整數(shù)和小數(shù)加減法完全一致。通過這樣的聯(lián)系、對(duì)比與分析，學(xué)生就會(huì)清晰地感受到，分?jǐn)?shù)加減法是整數(shù)和小數(shù)加減法的拓展，加減法運(yùn)算的本質(zhì)就是相同計(jì)數(shù)單位的不斷累加或遞減。

2.算法：讓算理有形

新課標(biāo)指出，計(jì)算教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”［2］。從這一角度來(lái)看，理解算理和掌握算法同等重要。如果說(shuō)算理是內(nèi)部的處理器，算法就是外部的顯示儀。算理，讓算法有魂；算法，讓算理有形。

以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的整數(shù)乘法為例，面對(duì)43×21這樣一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生通過自我嘗試、同桌交流、小組研討，進(jìn)而在全班分享環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出很多具有創(chuàng)造性的解決方案（如圖1）。有的在兩位數(shù)乘一位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上嘗試進(jìn)行豎式計(jì)算，有的基于兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)及乘法的意義進(jìn)行脫式計(jì)算，有的基于長(zhǎng)方形的面積計(jì)算創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)化為分區(qū)計(jì)算。

有經(jīng)驗(yàn)的教師還可以引入更多的解決方案，如鋪地錦的方格解法、畫斜線的數(shù)點(diǎn)解法（如圖2）。分析各種方法，解決方式不同，外在形式不同，內(nèi)在算理卻具有一致性。每一種算法形式化的外殼下所包裹的都是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)累加的內(nèi)核。“萬(wàn)法歸宗”的算理，讓每一種算法都擁有數(shù)學(xué)的精神內(nèi)核；“條條大路通羅馬”的算法，讓算理?yè)碛袛?shù)學(xué)的形式表達(dá)。

3.算律：讓算理有根

小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的運(yùn)算律主要有加法交換律、結(jié)合律以及乘法交換律、結(jié)合律、分配律。運(yùn)算律是運(yùn)算自身發(fā)展的必然需要，是基本運(yùn)算在算法執(zhí)行中產(chǎn)生的規(guī)約。

如果說(shuō)算法是外顯，算理是內(nèi)核，那么算律就是運(yùn)算的根服務(wù)器。從上例所呈現(xiàn)的43×21的各種算法來(lái)看，都需要建立在基本運(yùn)算律的基礎(chǔ)之上。無(wú)論哪種具體的算法，都是基于計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)累加的算理而出現(xiàn)的。而計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的累加，具體可以表達(dá)為43×21=（40+3）×（20+1）=（40+3）×20+（40+3）×1=40×20+3×20+40×1+3×1=903，這一長(zhǎng)串運(yùn)算過程，不僅基于數(shù)的組成的相關(guān)知識(shí)，也基于乘法分配律的基本運(yùn)用。乘法分配律不僅適用于整數(shù)，也適用于小數(shù)。小數(shù)乘法的運(yùn)算過程和整數(shù)乘法的運(yùn)算過程，從算律到算理，從算理到算法，總體具有一致性。如4.3×2.1=（4+0.3）×（2+0.1）=（4+0.3）×2+（4+0.3）×0.1=4×2+0.3×2+4×0.1+0.3×0.1=9.03，從運(yùn)算過程來(lái)看，和整數(shù)乘法相比，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的相似度極高，都是運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的計(jì)算。

三、從意義、模型、策略三條路徑實(shí)踐一致性

1.意義關(guān)聯(lián)：運(yùn)算一致性的內(nèi)涵基礎(chǔ)

談到數(shù)的運(yùn)算，就不能不談數(shù)的概念。數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算是具有一致性的，這也是數(shù)的運(yùn)算一致性的前提和基礎(chǔ)。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一脈相承的，都是基于計(jì)數(shù)單位構(gòu)建的。而數(shù)的運(yùn)算的核心就是計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的累加或遞減。數(shù)的概念及數(shù)的運(yùn)算都是以計(jì)數(shù)單位為統(tǒng)領(lǐng)的。因此，從意義關(guān)聯(lián)的角度建構(gòu)數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算的一致性，是運(yùn)算一致性的內(nèi)涵基礎(chǔ)。

在教學(xué)中，需要教師著重關(guān)注建立數(shù)與運(yùn)算之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和感受計(jì)數(shù)單位在數(shù)的概念建立和數(shù)的運(yùn)算過程中的統(tǒng)領(lǐng)作用，體會(huì)數(shù)的表達(dá)方式和數(shù)的運(yùn)算方法之間的一致性。數(shù)的概念重點(diǎn)聚焦的是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的多少；數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)研究的是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的增減。以計(jì)數(shù)單位為大概念，數(shù)與運(yùn)算就形成了強(qiáng)聯(lián)結(jié)。基于計(jì)數(shù)單位這一大概念，需要教師從小學(xué)階段數(shù)與運(yùn)算的整體視野全面設(shè)計(jì)、系統(tǒng)安排、層層推進(jìn)。

鞏子坤、史寧中、張丹建構(gòu)了數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性框架（如下頁(yè)圖3），將核心概念、基本規(guī)律、基本運(yùn)算、基本實(shí)施的關(guān)系進(jìn)行了系統(tǒng)呈現(xiàn)，對(duì)一線教師從意義上理解和建構(gòu)數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化引領(lǐng)。

2.數(shù)形結(jié)合：運(yùn)算一致性的物理支架

基于小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性，在數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助形的表達(dá)將算理可視化。運(yùn)算的本質(zhì)其實(shí)就是計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)需要關(guān)注計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。聚焦計(jì)數(shù)單位是什么、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是多少，借助直觀形象的圖示，可以做到有形可依、有理可說(shuō)、有法可循。

例如，可以利用小棒圖、圓片圖、點(diǎn)子圖、方塊圖、示意圖、流程圖等表達(dá)計(jì)數(shù)單位的累加或細(xì)分，表達(dá)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或遞減?；谶\(yùn)算進(jìn)行操作與繪制，畫出思考，畫清思路；基于圖形進(jìn)行解釋與推演，說(shuō)清算理，講清算法。數(shù)與形彼此關(guān)聯(lián)，以數(shù)解形，以形釋數(shù)，充分發(fā)揮符號(hào)表征與圖形表征的不同優(yōu)勢(shì)，從“畫數(shù)學(xué)”到“話數(shù)學(xué)”再到“數(shù)學(xué)化”，為體會(huì)和感悟運(yùn)算一致性提供物理支架。

3.模型建構(gòu)：運(yùn)算一致性的核心關(guān)鍵

在數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)中，不僅需要以數(shù)的概念為基礎(chǔ)，同時(shí)也需要以運(yùn)算的意義為基石。尤為需要從小學(xué)低年級(jí)起就重視學(xué)生對(duì)于加法、減法、乘法、除法模型的建構(gòu)，并且在四個(gè)模型間建立關(guān)聯(lián)。以加法模型為底座，生長(zhǎng)和延展出減法、乘法、除法模型，引導(dǎo)學(xué)生感受加法、減法、乘法、除法這四種運(yùn)算之間的聯(lián)系，體會(huì)加法運(yùn)算是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)，感受其他運(yùn)算與加法運(yùn)算之間的關(guān)系，感悟其他運(yùn)算都可以還原為加法。

另一方面，隨著學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)范圍的擴(kuò)展，在建構(gòu)整數(shù)加法、減法、乘法、除法運(yùn)算模型的基礎(chǔ)上，還需要引導(dǎo)學(xué)生衍生建構(gòu)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算模型，并通過算理的同根同源、算法的萬(wàn)法歸宗，將其與整數(shù)加法、減法、乘法、除法運(yùn)算模型一起納入加法、減法、乘法、除法運(yùn)算模型的總體框架之中。

在這樣的學(xué)習(xí)和研究歷程中，從模型建構(gòu)到模型拓展，進(jìn)而到模型歸一，為后續(xù)數(shù)系擴(kuò)張后的運(yùn)算學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

從數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性到數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，從理解到認(rèn)同，從認(rèn)同到實(shí)踐，在解構(gòu)中重新建構(gòu)，在建構(gòu)中持續(xù)升級(jí)，我們攜手走在研究與實(shí)踐的道路上。

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責(zé)任編輯：王春亞