• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型的穩(wěn)定性分析

    2023-05-17 05:18:58王娜
    關(guān)鍵詞:化簡平衡點(diǎn)時(shí)滯

    王娜

    ( 山西工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院, 太原 030006 )

    0 引言

    很多傳染病(如霍亂、傷寒、流感、肺結(jié)核、艾滋病、鼠疫等)會嚴(yán)重危害人類的健康,因此做好預(yù)防工作具有重要意義.目前,已有許多國內(nèi)外學(xué)者利用分?jǐn)?shù)階微積分建立了傳染病模型,并對模型的穩(wěn)定性和分岔等動力學(xué)特性進(jìn)行了研究.例如:Mousa Mohamed等[1]建立了一個(gè)關(guān)于兒童疾病(麻疹、腮腺炎、水痘等)的分?jǐn)?shù)階“易感-感染-恢復(fù)”SIR模型,并定性考察了該模型的動力特性.Karaji等[2]建立了一個(gè)分?jǐn)?shù)階乙型肝炎流行模型,并利用分?jǐn)?shù)階Barbalat引理研究了該模型的全局動力學(xué).Miao等[3]在分?jǐn)?shù)階SIRS傳染病模型中引入了兩種不同的耦合控制器,并利用不動點(diǎn)定理研究了Julia集的復(fù)雜性和不規(guī)則性.Wang等[4]提出了一類帶有飽和方程的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型,并在任意時(shí)滯下分析了模型的穩(wěn)定性與分支情況.在上述研究的基礎(chǔ)上,為了進(jìn)一步探討引入時(shí)滯對分?jǐn)?shù)階傳染病模型的動力學(xué)特性的影響,本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并研究了其動力學(xué)性質(zhì).

    1 預(yù)備知識

    定義1[5]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為:

    引理1[6]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換為:

    引理2[7]已知時(shí)滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

    引理3[8](Routh-Hurwitz判據(jù))已知一元多項(xiàng)式方程λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an= 0,其所有的根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是:

    2 具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型的建立

    文獻(xiàn)[9]的作者建立了如下一類具有隔離項(xiàng)的常微分SIQS的傳染病數(shù)學(xué)模型:

    (1)

    其中:S(t)、I(t)、Q(t)分別為t時(shí)刻人群中的易感染者、感染者、隔離者人數(shù);N(t)為t時(shí)刻人群總?cè)藬?shù),N(t)=S(t)+I(t)+Q(t);A為感染者人群對易感人群的感染率;β為易感人群與感染者的有效接觸率;d、η1、η2分別為人群的自然死亡率、染病人群的死亡率、隔離人群的死亡率;δ為染病人群的隔離率;r為染病人群的恢復(fù)率;ε為隔離人群的恢復(fù)率.

    本文建立如下一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型:

    (2)

    (3)

    將系統(tǒng)(3)進(jìn)行Laplace變換可得:

    (4)

    式(4)中L[S(t)]、L[I(t)]、L[Q(t)]分別為S(t)、I(t)、Q(t)的Laplace變換.對式(4)進(jìn)行化簡可得:

    (5)

    其中:Δ(s)為系統(tǒng)(2)的特征矩陣,det(Δ(s))= 0為系統(tǒng)(2)的特征方程.另外,式(5)中的Δ(s)、v1(s)、v2(s)、v3(s)分別可表示為:

    v3(s)=sα3Q(0).

    3 解的穩(wěn)定性及其Hopf分岔行為

    3.1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)及其基本再生數(shù)的計(jì)算

    (6)

    3.2 主要結(jié)論及其證明

    3.2.1系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性

    定理1對于所有τ≥0,當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處為局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)E0處為不穩(wěn)定.

    (7)

    下面分τ= 0和τ>0兩種情況討論系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性.

    (i)當(dāng)τ= 0時(shí),設(shè)λi=sαi,i= 1,2,3,則式(7)可化簡為:

    (8)

    (ii)當(dāng)τ>0時(shí),式(7)可化簡為:

    (9)

    設(shè)λi=sαi,i= 1,3,則式(9)的2個(gè)特征值分別為λ1=-d<0,λ3=-(ε+d+η2)<0.由于式(9)的左邊第2個(gè)因子包含時(shí)滯τ,故應(yīng)考慮如下方程的根:

    (10)

    令s= iω(ω>0),并將其代入式(10)中可得:

    (11)

    分離式(11)中的實(shí)部和虛部可得:

    (12)

    將式(12)中的2個(gè)方程分別進(jìn)行平方、求和并化簡后可得:

    (13)

    當(dāng)R0<1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)沒有正實(shí)根.由此可知,式(9)的特征值實(shí)部均為負(fù).于是再由引理2可知,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0>1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)有正實(shí)根,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的特征值不滿足Re[s]<0,故由引理2可知系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是不穩(wěn)定的.

    3.2.2系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的穩(wěn)定性

    系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*)處的特征方程為:

    (14)

    整理式(14)可得:

    f1(s)+f2(s)e-sτ= 0.

    (15)

    其中:f1(s)=sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7,f2(s)=- (b1sα1+α3+b2sα3+b3sα1+b4),a1= (ε+d+η2),a2=r+δ+d+η1,a3=βI*+d,a4= (ε+d+η2)(r+δ+d+η1),a5= (βI*+d)(ε+d+η2),a6= (βI*+d)(r+δ+d+η1),a7= (βI*+d)(ε+d+η2)(r+δ+d+η1),b1=βS*,b2=βrI*+βdS*,b3=βS*(ε+d+η2),b4=(βrI*+βdS*)(ε+d+η2).

    由注1可知,當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)(E*=(S*,I*,Q*))中的S*>0,I*>0;因此,ai(i= 1,2,3,4,5,6,7)和bj(j= 1,2,3,4)均為正數(shù).

    定理2假設(shè)系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1].當(dāng)時(shí)滯τ= 0,R0>1,a1+a2+a3-b1>0, (a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

    證明當(dāng)時(shí)滯τ= 0時(shí),化簡式(15)可得f1(s)+f2(s)= 0,即:

    sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7-

    b1sα1+α3-b2sα3-b3sα1-b4= 0.

    (16)

    由于α1=α2=α3=α∈(0,1],因此方程(16)可簡化為:

    s3α+(a1+a2+a3-b1)s2α+(a4+a5+a6-b2-b3)sα+a7-b4= 0.

    (17)

    令sα=λ,于是方程(17)可簡化為:λ3+p1λ2+p2λ+p3= 0,其中p1=a1+a2+a3-b1,p2=a4+a5+a6-b2-b3,p3=a7-b4.根據(jù)定理2中的已知條件可得:

    H1=p1=a1+a2+a3-b1>0,

    H2=p1p2-p3=(a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0.

    再由引理3中的Routh-Hurwitz判據(jù)知,系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部.因此由引理2知,當(dāng)時(shí)滯τ= 0且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

    3.2.3系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的Hopf分岔行為

    1)當(dāng)τ<τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;

    2)當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.

    證明當(dāng)時(shí)滯τ>0,且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),式(15)可化簡為:

    s3α+(a1+a2+a3)s2α+(a4+a5+a6)sα+a7-[b1s2α+(b2+b3)sα+b4]e-sτ= 0.

    (18)

    T1+iT2-[cos(ωτ)-isin(ωτ)](T3+iT4)= 0,

    (19)

    其中:

    (20)

    (21)

    (22)

    (23)

    分離方程(19)的實(shí)部和虛部可得:

    (24)

    再由式(20)可得:

    (25)

    于是由cos2(τω)+ sin2(τω)= 1可得關(guān)于ω的方程:

    (26)

    4 結(jié)論

    本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)理論研究了當(dāng)時(shí)滯τ≥0時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定情況,同時(shí)給出了其局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.以時(shí)滯為參數(shù),利用Hopf分岔理論對系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處所發(fā)生的Hopf分岔行為進(jìn)行計(jì)算并分析表明:當(dāng)τ<τ0(臨界閾值)時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.本文結(jié)果可為研究具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階傳染病系統(tǒng)的動力學(xué)特性提供參考.

    猜你喜歡
    化簡平衡點(diǎn)時(shí)滯
    靈活區(qū)分 正確化簡
    帶有時(shí)滯項(xiàng)的復(fù)Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子
    探尋中國蘋果產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)銷平衡點(diǎn)
    煙臺果樹(2019年1期)2019-01-28 09:34:58
    電視庭審報(bào)道,如何找到媒體監(jiān)督與司法公正的平衡點(diǎn)
    傳媒評論(2018年7期)2018-09-18 03:45:52
    的化簡及其變式
    判斷分式,且慢化簡
    “一分為二”巧化簡
    在給專車服務(wù)正名之前最好找到Uber和出租車的平衡點(diǎn)
    一階非線性時(shí)滯微分方程正周期解的存在性
    一類時(shí)滯Duffing微分方程同宿解的存在性
    国产精品久久久久久人妻精品电影| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 日本在线视频免费播放| 国产高清三级在线| 成人欧美大片| 日韩欧美在线乱码| 国产探花极品一区二区| 国语自产精品视频在线第100页| 色哟哟哟哟哟哟| 久久国产乱子免费精品| 国产精品一区二区三区四区久久| www.999成人在线观看| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 亚洲乱码一区二区免费版| av福利片在线观看| 国产黄片美女视频| 永久网站在线| 村上凉子中文字幕在线| www.色视频.com| 色综合站精品国产| 国产高清有码在线观看视频| 久久久久国内视频| 成人av在线播放网站| 中出人妻视频一区二区| 乱码一卡2卡4卡精品| 中文字幕高清在线视频| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 97碰自拍视频| 亚洲精品日韩av片在线观看| 欧美黄色片欧美黄色片| 嫩草影院新地址| 国产淫片久久久久久久久 | 亚洲av免费高清在线观看| 亚洲人与动物交配视频| 午夜激情欧美在线| 国产成人啪精品午夜网站| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 一本精品99久久精品77| 看黄色毛片网站| 成人国产综合亚洲| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 久久欧美精品欧美久久欧美| 午夜a级毛片| 免费av毛片视频| 欧美性感艳星| 国模一区二区三区四区视频| 老司机午夜十八禁免费视频| 日韩欧美国产在线观看| 怎么达到女性高潮| 伊人久久精品亚洲午夜| 我的老师免费观看完整版| 亚洲欧美日韩无卡精品| 亚洲激情在线av| 亚洲最大成人av| 亚洲五月天丁香| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产一级毛片七仙女欲春2| 91av网一区二区| 十八禁网站免费在线| 精品免费久久久久久久清纯| 午夜免费激情av| 精品午夜福利视频在线观看一区| 天堂影院成人在线观看| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 又紧又爽又黄一区二区| 国产三级中文精品| 99久久精品热视频| 成人特级av手机在线观看| 欧美一区二区国产精品久久精品| 欧美zozozo另类| 国产美女午夜福利| 午夜福利成人在线免费观看| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 欧美+日韩+精品| 小说图片视频综合网站| 日韩人妻高清精品专区| 免费电影在线观看免费观看| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 男女视频在线观看网站免费| x7x7x7水蜜桃| 久久久久久久亚洲中文字幕 | or卡值多少钱| 97热精品久久久久久| 国产成人aa在线观看| 亚洲男人的天堂狠狠| 看黄色毛片网站| 国产老妇女一区| 一级a爱片免费观看的视频| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 一个人免费在线观看电影| 精品熟女少妇八av免费久了| 人妻久久中文字幕网| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 欧美日韩综合久久久久久 | 国产乱人伦免费视频| 久久久久亚洲av毛片大全| 国产精品久久久久久精品电影| 亚洲最大成人av| 给我免费播放毛片高清在线观看| 很黄的视频免费| 亚洲av成人精品一区久久| 久久香蕉精品热| 一区福利在线观看| 哪里可以看免费的av片| 十八禁人妻一区二区| 免费看日本二区| 午夜视频国产福利| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 午夜福利在线在线| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产黄色小视频在线观看| 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲不卡免费看| 国产伦在线观看视频一区| 91久久精品电影网| 久久99热这里只有精品18| 最近视频中文字幕2019在线8| 美女xxoo啪啪120秒动态图 | 色综合婷婷激情| 老女人水多毛片| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 人人妻人人澡欧美一区二区| 午夜福利免费观看在线| 亚洲五月婷婷丁香| av黄色大香蕉| 黄色配什么色好看| av中文乱码字幕在线| 亚州av有码| 97热精品久久久久久| 别揉我奶头 嗯啊视频| 欧美不卡视频在线免费观看| 亚洲自拍偷在线| 久久久久久大精品| 成人av在线播放网站| 免费观看精品视频网站| 欧美区成人在线视频| 国产精品久久久久久精品电影| 亚洲黑人精品在线| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 亚洲avbb在线观看| 欧美激情久久久久久爽电影| av中文乱码字幕在线| 哪里可以看免费的av片| 久久久色成人| 久久精品国产亚洲av天美| 欧美日韩国产亚洲二区| 99国产极品粉嫩在线观看| 亚洲熟妇熟女久久| 青草久久国产| 亚洲av电影不卡..在线观看| 欧美激情久久久久久爽电影| 亚洲美女黄片视频| 国产精品日韩av在线免费观看| 日韩欧美精品免费久久 | 亚洲精品成人久久久久久| 欧美性感艳星| 亚洲人成伊人成综合网2020| 午夜视频国产福利| 亚洲中文字幕日韩| 最新中文字幕久久久久| 欧美性感艳星| 麻豆av噜噜一区二区三区| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 久久香蕉精品热| 国产欧美日韩一区二区三| 欧美黑人巨大hd| 日本黄色片子视频| 成人永久免费在线观看视频| av在线观看视频网站免费| 国产一区二区激情短视频| 国产真实乱freesex| 国产精品伦人一区二区| 国产成+人综合+亚洲专区| 在线观看av片永久免费下载| 五月玫瑰六月丁香| 99在线视频只有这里精品首页| 别揉我奶头 嗯啊视频| 亚洲av五月六月丁香网| 亚洲国产精品999在线| 欧美日韩乱码在线| 久久99热6这里只有精品| 18+在线观看网站| 动漫黄色视频在线观看| 国产91精品成人一区二区三区| 亚洲精华国产精华精| 国产精品久久久久久久久免 | 亚洲午夜理论影院| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 99在线人妻在线中文字幕| 国产淫片久久久久久久久 | 在线观看av片永久免费下载| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 久久久国产成人免费| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 国产精品亚洲一级av第二区| 香蕉av资源在线| 性插视频无遮挡在线免费观看| 欧美成人免费av一区二区三区| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲精品亚洲一区二区| 欧美精品国产亚洲| 久久午夜亚洲精品久久| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国产极品精品免费视频能看的| 高清日韩中文字幕在线| 毛片一级片免费看久久久久 | 好男人在线观看高清免费视频| 精品久久久久久久久久免费视频| 国产一级毛片七仙女欲春2| 亚洲av免费在线观看| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 桃红色精品国产亚洲av| 老女人水多毛片| 国产极品精品免费视频能看的| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产亚洲av嫩草精品影院| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 日韩中文字幕欧美一区二区| 免费av毛片视频| 欧美乱妇无乱码| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久久久久九九精品二区国产| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 日韩有码中文字幕| 丁香六月欧美| 国产一区二区三区视频了| 九色成人免费人妻av| 男人和女人高潮做爰伦理| 啦啦啦韩国在线观看视频| 中文字幕av成人在线电影| 制服丝袜大香蕉在线| 亚洲久久久久久中文字幕| 麻豆成人av在线观看| 国产精品一及| 桃红色精品国产亚洲av| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 亚洲真实伦在线观看| 淫秽高清视频在线观看| 桃色一区二区三区在线观看| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 少妇被粗大猛烈的视频| 男插女下体视频免费在线播放| 国产在线男女| 久久国产乱子免费精品| 亚洲国产精品成人综合色| 国产精品久久电影中文字幕| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产黄a三级三级三级人| 久久久久性生活片| 国产精品乱码一区二三区的特点| 日本 av在线| 最近最新免费中文字幕在线| 老师上课跳d突然被开到最大视频 久久午夜综合久久蜜桃 | 少妇被粗大猛烈的视频| 嫩草影院入口| 九色国产91popny在线| 一区二区三区高清视频在线| 乱人视频在线观看| 欧美成人免费av一区二区三区| 成人特级黄色片久久久久久久| 床上黄色一级片| 久久99热6这里只有精品| 激情在线观看视频在线高清| 国产精品一及| 国产成人aa在线观看| 国产午夜精品论理片| 一a级毛片在线观看| 欧美成人一区二区免费高清观看| 男女那种视频在线观看| av在线观看视频网站免费| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 男女视频在线观看网站免费| 中文字幕久久专区| 国产精品影院久久| 日本免费a在线| 久久伊人香网站| 身体一侧抽搐| 男女之事视频高清在线观看| 国产 一区 欧美 日韩| av在线观看视频网站免费| 亚洲精品影视一区二区三区av| 亚洲在线自拍视频| 久久热精品热| 我要看日韩黄色一级片| 免费看日本二区| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 亚洲精品粉嫩美女一区| 欧美黄色淫秽网站| 亚洲av二区三区四区| 十八禁网站免费在线| 午夜激情福利司机影院| 亚洲av五月六月丁香网| 长腿黑丝高跟| 如何舔出高潮| 动漫黄色视频在线观看| a级毛片免费高清观看在线播放| 成人鲁丝片一二三区免费| 在线观看免费视频日本深夜| 少妇的逼好多水| 成年女人毛片免费观看观看9| 免费av观看视频| 波野结衣二区三区在线| 变态另类丝袜制服| 又爽又黄无遮挡网站| 麻豆成人av在线观看| 麻豆国产97在线/欧美| 中出人妻视频一区二区| 国产午夜福利久久久久久| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲av电影不卡..在线观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 丁香六月欧美| 成人三级黄色视频| 99在线视频只有这里精品首页| 日韩精品中文字幕看吧| 色综合站精品国产| 免费黄网站久久成人精品 | 国产人妻一区二区三区在| 欧美不卡视频在线免费观看| 国产黄a三级三级三级人| 成人亚洲精品av一区二区| 国内精品美女久久久久久| a级毛片a级免费在线| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 日本免费a在线| 老女人水多毛片| 亚洲精品亚洲一区二区| 狠狠狠狠99中文字幕| 天堂网av新在线| 亚洲国产精品sss在线观看| 成人无遮挡网站| 免费一级毛片在线播放高清视频| 午夜福利在线在线| 最后的刺客免费高清国语| 欧美绝顶高潮抽搐喷水| 色哟哟·www| 日本在线视频免费播放| 精品人妻1区二区| 男人的好看免费观看在线视频| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 搡女人真爽免费视频火全软件 | 99视频精品全部免费 在线| 九九热线精品视视频播放| 久久草成人影院| 国产精品久久久久久久电影| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 99久久成人亚洲精品观看| 国产真实伦视频高清在线观看 | 色av中文字幕| 在线观看av片永久免费下载| 午夜福利在线观看吧| 亚洲无线观看免费| 亚洲,欧美精品.| aaaaa片日本免费| 欧美日韩综合久久久久久 | 一进一出好大好爽视频| 很黄的视频免费| 久久精品91蜜桃| 一级毛片久久久久久久久女| 午夜久久久久精精品| 久久国产乱子伦精品免费另类| 久久午夜亚洲精品久久| 国产黄片美女视频| 丰满乱子伦码专区| av在线老鸭窝| 精品久久久久久久久亚洲 | 亚洲美女搞黄在线观看 | 亚洲天堂国产精品一区在线| 国产爱豆传媒在线观看| 色精品久久人妻99蜜桃| 国产精品不卡视频一区二区 | 亚洲国产色片| 日韩精品中文字幕看吧| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产成人影院久久av| 国产伦一二天堂av在线观看| 亚洲精品色激情综合| 国产成人啪精品午夜网站| 亚洲乱码一区二区免费版| 在线观看午夜福利视频| 搞女人的毛片| 久久久久久国产a免费观看| 国产精品一区二区免费欧美| 欧美在线黄色| 亚洲欧美激情综合另类| 免费在线观看影片大全网站| 亚洲av第一区精品v没综合| 真实男女啪啪啪动态图| 色在线成人网| 精品人妻熟女av久视频| av天堂中文字幕网| av在线天堂中文字幕| 精品久久久久久久久久免费视频| 一级a爱片免费观看的视频| 久久久国产成人免费| 国产精品1区2区在线观看.| 国产黄色小视频在线观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 丰满的人妻完整版| 一级av片app| 成人av一区二区三区在线看| 午夜福利在线观看吧| 国产精品99久久久久久久久| www.999成人在线观看| 99热这里只有精品一区| 午夜免费成人在线视频| 亚洲av免费高清在线观看| 伦理电影大哥的女人| 国产精品日韩av在线免费观看| 日韩欧美在线二视频| 91av网一区二区| 一级黄片播放器| 亚洲电影在线观看av| 精品久久久久久久末码| 人妻制服诱惑在线中文字幕| a级毛片免费高清观看在线播放| 午夜精品一区二区三区免费看| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 欧美黄色淫秽网站| 欧美一区二区精品小视频在线| 亚洲五月婷婷丁香| 波野结衣二区三区在线| 深爱激情五月婷婷| 十八禁国产超污无遮挡网站| 国产一区二区在线观看日韩| 99久久精品国产亚洲精品| 999久久久精品免费观看国产| 成人午夜高清在线视频| 欧美高清成人免费视频www| 国产精品,欧美在线| 国产成人啪精品午夜网站| 精品久久久久久久久亚洲 | 高清在线国产一区| 国产真实伦视频高清在线观看 | 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 日日夜夜操网爽| 午夜日韩欧美国产| 五月玫瑰六月丁香| 亚洲av电影不卡..在线观看| ponron亚洲| 午夜福利视频1000在线观看| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 深爱激情五月婷婷| 麻豆一二三区av精品| 免费高清视频大片| 男女那种视频在线观看| 色综合亚洲欧美另类图片| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国产成人av教育| 国产一级毛片七仙女欲春2| 午夜老司机福利剧场| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 免费大片18禁| 一本综合久久免费| 中文字幕熟女人妻在线| 久久久久久久久中文| 制服丝袜大香蕉在线| 人人妻人人看人人澡| 国产一区二区激情短视频| 国产精品电影一区二区三区| 天堂动漫精品| 国产探花在线观看一区二区| 亚洲av免费在线观看| 亚洲人成网站高清观看| 国产精品免费一区二区三区在线| 极品教师在线视频| 午夜免费成人在线视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 午夜福利高清视频| 亚洲人与动物交配视频| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 一级黄片播放器| 精品人妻1区二区| 日本黄色片子视频| 人人妻人人澡欧美一区二区| 99热6这里只有精品| 大型黄色视频在线免费观看| 国产成人aa在线观看| 老熟妇仑乱视频hdxx| av女优亚洲男人天堂| 成人av一区二区三区在线看| 成人av在线播放网站| 91久久精品电影网| 亚洲人成电影免费在线| 欧美一区二区精品小视频在线| 精品欧美国产一区二区三| 国产一级毛片七仙女欲春2| 真人一进一出gif抽搐免费| 国产免费一级a男人的天堂| 午夜精品在线福利| 我的老师免费观看完整版| 国产欧美日韩一区二区精品| 1000部很黄的大片| 亚洲人成电影免费在线| 又粗又爽又猛毛片免费看| av女优亚洲男人天堂| 亚洲成人久久性| 国产淫片久久久久久久久 | 亚洲av美国av| 久久人妻av系列| 欧美黄色片欧美黄色片| 亚洲天堂国产精品一区在线| 丰满的人妻完整版| 午夜久久久久精精品| 亚洲av免费在线观看| 免费观看精品视频网站| 有码 亚洲区| 午夜日韩欧美国产| 一级毛片久久久久久久久女| 内射极品少妇av片p| 亚洲av第一区精品v没综合| 欧美激情久久久久久爽电影| 亚洲国产精品成人综合色| 国产精品1区2区在线观看.| 俺也久久电影网| 国产极品精品免费视频能看的| 国产真实乱freesex| 日本免费一区二区三区高清不卡| 国产成人aa在线观看| 在线观看66精品国产| 日韩欧美免费精品| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 中文字幕熟女人妻在线| 久久国产精品人妻蜜桃| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 99热这里只有精品一区| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 国产av一区在线观看免费| 黄片小视频在线播放| 亚洲在线自拍视频| 国产av不卡久久| 久久久久久久久中文| 国产精品精品国产色婷婷| 老司机深夜福利视频在线观看| a级毛片a级免费在线| 欧美日韩国产亚洲二区| 国产伦人伦偷精品视频| 又黄又爽又免费观看的视频| 国产精品久久视频播放| 不卡一级毛片| 一级黄片播放器| 亚洲成人中文字幕在线播放| 亚洲三级黄色毛片| 99在线人妻在线中文字幕| 国产精品不卡视频一区二区 | 天天一区二区日本电影三级| 日本 欧美在线| 国内精品美女久久久久久| 一级黄片播放器| 欧美在线黄色| 一本精品99久久精品77| 国产一区二区在线av高清观看| 99久久99久久久精品蜜桃| 搡老妇女老女人老熟妇| 婷婷精品国产亚洲av| 免费观看的影片在线观看| 久久精品人妻少妇| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 99久久精品热视频| 日韩大尺度精品在线看网址| 一个人免费在线观看的高清视频| 少妇熟女aⅴ在线视频| 久久久久国内视频| 国产爱豆传媒在线观看| 久久99热6这里只有精品| 少妇被粗大猛烈的视频| 最近最新中文字幕大全电影3| 国产成人福利小说| 国产探花极品一区二区| 老鸭窝网址在线观看| 欧美三级亚洲精品| bbb黄色大片| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 久久久久久久久久黄片| 午夜免费男女啪啪视频观看 | 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 校园春色视频在线观看| 日韩欧美三级三区| 午夜视频国产福利| 日本a在线网址| 久久香蕉精品热| 在线免费观看不下载黄p国产 | 免费高清视频大片| 久久久久久久久久成人| 97热精品久久久久久| 日韩免费av在线播放| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 亚洲综合色惰| 看片在线看免费视频| 两个人视频免费观看高清| 九九在线视频观看精品| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲精品成人久久久久久| 国产高清三级在线| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 亚洲av五月六月丁香网| 男人和女人高潮做爰伦理| 日本五十路高清| 亚洲男人的天堂狠狠| 久久人人爽人人爽人人片va | 男女做爰动态图高潮gif福利片| 国产探花在线观看一区二区| 男女之事视频高清在线观看| 久久香蕉精品热| 久久久国产成人免费| 日韩成人在线观看一区二区三区| 又爽又黄a免费视频| 国产精品三级大全|