• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型的穩(wěn)定性分析

    2023-05-17 05:18:58王娜
    關(guān)鍵詞:化簡平衡點(diǎn)時(shí)滯

    王娜

    ( 山西工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院, 太原 030006 )

    0 引言

    很多傳染病(如霍亂、傷寒、流感、肺結(jié)核、艾滋病、鼠疫等)會嚴(yán)重危害人類的健康,因此做好預(yù)防工作具有重要意義.目前,已有許多國內(nèi)外學(xué)者利用分?jǐn)?shù)階微積分建立了傳染病模型,并對模型的穩(wěn)定性和分岔等動力學(xué)特性進(jìn)行了研究.例如:Mousa Mohamed等[1]建立了一個(gè)關(guān)于兒童疾病(麻疹、腮腺炎、水痘等)的分?jǐn)?shù)階“易感-感染-恢復(fù)”SIR模型,并定性考察了該模型的動力特性.Karaji等[2]建立了一個(gè)分?jǐn)?shù)階乙型肝炎流行模型,并利用分?jǐn)?shù)階Barbalat引理研究了該模型的全局動力學(xué).Miao等[3]在分?jǐn)?shù)階SIRS傳染病模型中引入了兩種不同的耦合控制器,并利用不動點(diǎn)定理研究了Julia集的復(fù)雜性和不規(guī)則性.Wang等[4]提出了一類帶有飽和方程的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型,并在任意時(shí)滯下分析了模型的穩(wěn)定性與分支情況.在上述研究的基礎(chǔ)上,為了進(jìn)一步探討引入時(shí)滯對分?jǐn)?shù)階傳染病模型的動力學(xué)特性的影響,本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并研究了其動力學(xué)性質(zhì).

    1 預(yù)備知識

    定義1[5]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為:

    引理1[6]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換為:

    引理2[7]已知時(shí)滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

    引理3[8](Routh-Hurwitz判據(jù))已知一元多項(xiàng)式方程λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an= 0,其所有的根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是:

    2 具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型的建立

    文獻(xiàn)[9]的作者建立了如下一類具有隔離項(xiàng)的常微分SIQS的傳染病數(shù)學(xué)模型:

    (1)

    其中:S(t)、I(t)、Q(t)分別為t時(shí)刻人群中的易感染者、感染者、隔離者人數(shù);N(t)為t時(shí)刻人群總?cè)藬?shù),N(t)=S(t)+I(t)+Q(t);A為感染者人群對易感人群的感染率;β為易感人群與感染者的有效接觸率;d、η1、η2分別為人群的自然死亡率、染病人群的死亡率、隔離人群的死亡率;δ為染病人群的隔離率;r為染病人群的恢復(fù)率;ε為隔離人群的恢復(fù)率.

    本文建立如下一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型:

    (2)

    (3)

    將系統(tǒng)(3)進(jìn)行Laplace變換可得:

    (4)

    式(4)中L[S(t)]、L[I(t)]、L[Q(t)]分別為S(t)、I(t)、Q(t)的Laplace變換.對式(4)進(jìn)行化簡可得:

    (5)

    其中:Δ(s)為系統(tǒng)(2)的特征矩陣,det(Δ(s))= 0為系統(tǒng)(2)的特征方程.另外,式(5)中的Δ(s)、v1(s)、v2(s)、v3(s)分別可表示為:

    v3(s)=sα3Q(0).

    3 解的穩(wěn)定性及其Hopf分岔行為

    3.1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)及其基本再生數(shù)的計(jì)算

    (6)

    3.2 主要結(jié)論及其證明

    3.2.1系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性

    定理1對于所有τ≥0,當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處為局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)E0處為不穩(wěn)定.

    (7)

    下面分τ= 0和τ>0兩種情況討論系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性.

    (i)當(dāng)τ= 0時(shí),設(shè)λi=sαi,i= 1,2,3,則式(7)可化簡為:

    (8)

    (ii)當(dāng)τ>0時(shí),式(7)可化簡為:

    (9)

    設(shè)λi=sαi,i= 1,3,則式(9)的2個(gè)特征值分別為λ1=-d<0,λ3=-(ε+d+η2)<0.由于式(9)的左邊第2個(gè)因子包含時(shí)滯τ,故應(yīng)考慮如下方程的根:

    (10)

    令s= iω(ω>0),并將其代入式(10)中可得:

    (11)

    分離式(11)中的實(shí)部和虛部可得:

    (12)

    將式(12)中的2個(gè)方程分別進(jìn)行平方、求和并化簡后可得:

    (13)

    當(dāng)R0<1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)沒有正實(shí)根.由此可知,式(9)的特征值實(shí)部均為負(fù).于是再由引理2可知,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0>1時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程(13)有正實(shí)根,系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的特征值不滿足Re[s]<0,故由引理2可知系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處是不穩(wěn)定的.

    3.2.2系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的穩(wěn)定性

    系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*)處的特征方程為:

    (14)

    整理式(14)可得:

    f1(s)+f2(s)e-sτ= 0.

    (15)

    其中:f1(s)=sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7,f2(s)=- (b1sα1+α3+b2sα3+b3sα1+b4),a1= (ε+d+η2),a2=r+δ+d+η1,a3=βI*+d,a4= (ε+d+η2)(r+δ+d+η1),a5= (βI*+d)(ε+d+η2),a6= (βI*+d)(r+δ+d+η1),a7= (βI*+d)(ε+d+η2)(r+δ+d+η1),b1=βS*,b2=βrI*+βdS*,b3=βS*(ε+d+η2),b4=(βrI*+βdS*)(ε+d+η2).

    由注1可知,當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)(E*=(S*,I*,Q*))中的S*>0,I*>0;因此,ai(i= 1,2,3,4,5,6,7)和bj(j= 1,2,3,4)均為正數(shù).

    定理2假設(shè)系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1].當(dāng)時(shí)滯τ= 0,R0>1,a1+a2+a3-b1>0, (a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

    證明當(dāng)時(shí)滯τ= 0時(shí),化簡式(15)可得f1(s)+f2(s)= 0,即:

    sα1+α2+α3+a1sα1+α2+a2sα1+α3+a3sα2+α3+a4sα1+a5sα2+a6sα3+a7-

    b1sα1+α3-b2sα3-b3sα1-b4= 0.

    (16)

    由于α1=α2=α3=α∈(0,1],因此方程(16)可簡化為:

    s3α+(a1+a2+a3-b1)s2α+(a4+a5+a6-b2-b3)sα+a7-b4= 0.

    (17)

    令sα=λ,于是方程(17)可簡化為:λ3+p1λ2+p2λ+p3= 0,其中p1=a1+a2+a3-b1,p2=a4+a5+a6-b2-b3,p3=a7-b4.根據(jù)定理2中的已知條件可得:

    H1=p1=a1+a2+a3-b1>0,

    H2=p1p2-p3=(a1+a2+a3-b1)(a4+a5+a6-b2-b3)-(a7-b4)>0.

    再由引理3中的Routh-Hurwitz判據(jù)知,系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部.因此由引理2知,當(dāng)時(shí)滯τ= 0且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

    3.2.3系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的Hopf分岔行為

    1)當(dāng)τ<τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;

    2)當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.

    證明當(dāng)時(shí)滯τ>0,且系統(tǒng)(2)的分?jǐn)?shù)階α1=α2=α3=α∈(0,1]時(shí),式(15)可化簡為:

    s3α+(a1+a2+a3)s2α+(a4+a5+a6)sα+a7-[b1s2α+(b2+b3)sα+b4]e-sτ= 0.

    (18)

    T1+iT2-[cos(ωτ)-isin(ωτ)](T3+iT4)= 0,

    (19)

    其中:

    (20)

    (21)

    (22)

    (23)

    分離方程(19)的實(shí)部和虛部可得:

    (24)

    再由式(20)可得:

    (25)

    于是由cos2(τω)+ sin2(τω)= 1可得關(guān)于ω的方程:

    (26)

    4 結(jié)論

    本文建立了一類具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階SIQ傳染病模型,并利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)理論研究了當(dāng)時(shí)滯τ≥0時(shí),系統(tǒng)(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定情況,同時(shí)給出了其局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.以時(shí)滯為參數(shù),利用Hopf分岔理論對系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處所發(fā)生的Hopf分岔行為進(jìn)行計(jì)算并分析表明:當(dāng)τ<τ0(臨界閾值)時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處是不穩(wěn)定的.本文結(jié)果可為研究具有隔離項(xiàng)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階傳染病系統(tǒng)的動力學(xué)特性提供參考.

    猜你喜歡
    化簡平衡點(diǎn)時(shí)滯
    靈活區(qū)分 正確化簡
    帶有時(shí)滯項(xiàng)的復(fù)Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子
    探尋中國蘋果產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)銷平衡點(diǎn)
    煙臺果樹(2019年1期)2019-01-28 09:34:58
    電視庭審報(bào)道,如何找到媒體監(jiān)督與司法公正的平衡點(diǎn)
    傳媒評論(2018年7期)2018-09-18 03:45:52
    的化簡及其變式
    判斷分式,且慢化簡
    “一分為二”巧化簡
    在給專車服務(wù)正名之前最好找到Uber和出租車的平衡點(diǎn)
    一階非線性時(shí)滯微分方程正周期解的存在性
    一類時(shí)滯Duffing微分方程同宿解的存在性
    少妇 在线观看| 国产爽快片一区二区三区| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 亚洲最大成人手机在线| 国产在线男女| 国产精品久久久久久精品电影| 一级爰片在线观看| 欧美另类一区| 欧美最新免费一区二区三区| 国产熟女欧美一区二区| 国产精品国产三级专区第一集| 欧美高清性xxxxhd video| 日本黄色片子视频| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 成人综合一区亚洲| 可以在线观看毛片的网站| 特级一级黄色大片| 精品视频人人做人人爽| 国产毛片在线视频| 国产视频内射| 久久ye,这里只有精品| 一区二区三区四区激情视频| 国产亚洲精品久久久com| 国内精品宾馆在线| 一区二区三区乱码不卡18| 精品久久久久久久末码| 人妻系列 视频| 亚洲天堂国产精品一区在线| 日韩在线高清观看一区二区三区| 国产老妇女一区| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 亚洲av成人精品一二三区| 国产一区亚洲一区在线观看| 久久影院123| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲成人一二三区av| 国产一区有黄有色的免费视频| 赤兔流量卡办理| 伊人久久精品亚洲午夜| 熟女电影av网| 亚洲激情五月婷婷啪啪| a级毛色黄片| 伊人久久国产一区二区| av在线老鸭窝| 国产在线男女| 亚洲av二区三区四区| 国内精品美女久久久久久| 人妻夜夜爽99麻豆av| 99热国产这里只有精品6| 一级a做视频免费观看| 91精品伊人久久大香线蕉| 亚洲国产欧美在线一区| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 亚洲av欧美aⅴ国产| 精华霜和精华液先用哪个| 国产精品人妻久久久影院| 18禁在线播放成人免费| 亚洲精品国产av成人精品| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 在线观看美女被高潮喷水网站| 精品久久久久久久末码| 久久久久国产精品人妻一区二区| 特大巨黑吊av在线直播| av在线app专区| 老司机影院毛片| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 久久韩国三级中文字幕| 国产91av在线免费观看| 九九在线视频观看精品| 国产成人福利小说| 欧美丝袜亚洲另类| 亚洲精品自拍成人| 亚洲av.av天堂| 久久午夜福利片| 一区二区三区乱码不卡18| 哪个播放器可以免费观看大片| 下体分泌物呈黄色| 青春草亚洲视频在线观看| 边亲边吃奶的免费视频| 国产极品天堂在线| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲国产精品成人久久小说| av国产久精品久网站免费入址| 欧美zozozo另类| 日本av手机在线免费观看| 一级毛片我不卡| 久久人人爽人人片av| 成年av动漫网址| 久久这里有精品视频免费| 伦精品一区二区三区| 久久久久国产网址| 伊人久久精品亚洲午夜| av免费在线看不卡| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | 亚洲精品乱久久久久久| 久久国内精品自在自线图片| 亚洲精品一区蜜桃| 国产真实伦视频高清在线观看| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 国产淫片久久久久久久久| 成年女人在线观看亚洲视频 | 亚洲精品456在线播放app| 高清视频免费观看一区二区| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 春色校园在线视频观看| 18+在线观看网站| 亚洲真实伦在线观看| 青青草视频在线视频观看| 久久久久精品久久久久真实原创| 国产精品人妻久久久影院| 在线精品无人区一区二区三 | 色吧在线观看| 99久久精品热视频| 少妇丰满av| 亚州av有码| 久久久久久久久久久免费av| 一级毛片 在线播放| 国产精品熟女久久久久浪| 亚洲丝袜综合中文字幕| 免费观看a级毛片全部| 久久6这里有精品| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| av在线观看视频网站免费| 欧美日韩在线观看h| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 啦啦啦在线观看免费高清www| 乱系列少妇在线播放| 亚洲精品一二三| 日韩中字成人| 日韩欧美精品免费久久| 国产成人午夜福利电影在线观看| 草草在线视频免费看| 国产在视频线精品| 男女无遮挡免费网站观看| 亚洲国产精品999| 男女无遮挡免费网站观看| 涩涩av久久男人的天堂| 一级黄片播放器| 老师上课跳d突然被开到最大视频| 色视频在线一区二区三区| 一级二级三级毛片免费看| 欧美日韩国产mv在线观看视频 | 日韩三级伦理在线观看| 99九九线精品视频在线观看视频| av女优亚洲男人天堂| 高清毛片免费看| 亚洲最大成人中文| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 亚洲av免费在线观看| 亚洲国产精品成人久久小说| 成人免费观看视频高清| 2018国产大陆天天弄谢| 亚洲成色77777| 成人国产麻豆网| 国产精品久久久久久av不卡| 精品久久久噜噜| 只有这里有精品99| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| av黄色大香蕉| 免费高清在线观看视频在线观看| 性色avwww在线观看| 99久久精品一区二区三区| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 欧美成人a在线观看| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产黄色免费在线视频| 性色avwww在线观看| 波多野结衣巨乳人妻| 国产一区二区在线观看日韩| 国产精品嫩草影院av在线观看| 日本与韩国留学比较| 久久久久久久午夜电影| 晚上一个人看的免费电影| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 成人特级av手机在线观看| 中文字幕免费在线视频6| 国产午夜福利久久久久久| 舔av片在线| 欧美高清性xxxxhd video| 我的老师免费观看完整版| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产在线一区二区三区精| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 欧美成人a在线观看| 国产精品久久久久久精品古装| 成人亚洲欧美一区二区av| 直男gayav资源| 熟女人妻精品中文字幕| a级毛色黄片| 可以在线观看毛片的网站| 寂寞人妻少妇视频99o| 日韩三级伦理在线观看| 精品久久久精品久久久| 看黄色毛片网站| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 日本欧美国产在线视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 国产av不卡久久| 天堂俺去俺来也www色官网| 一个人看的www免费观看视频| 一本色道久久久久久精品综合| 久久99热6这里只有精品| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 国产高清国产精品国产三级 | 网址你懂的国产日韩在线| 亚洲国产av新网站| 国产中年淑女户外野战色| 久久久久国产网址| 青春草亚洲视频在线观看| 精品人妻一区二区三区麻豆| 街头女战士在线观看网站| 性色avwww在线观看| 欧美日本视频| 国产男人的电影天堂91| 九九爱精品视频在线观看| 黄色怎么调成土黄色| 日本三级黄在线观看| 两个人的视频大全免费| 欧美zozozo另类| 久热这里只有精品99| av国产免费在线观看| 男人爽女人下面视频在线观看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 男女下面进入的视频免费午夜| 毛片女人毛片| 成年版毛片免费区| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 国产熟女欧美一区二区| 观看美女的网站| 亚洲天堂国产精品一区在线| 少妇被粗大猛烈的视频| 最近2019中文字幕mv第一页| 久久久久国产网址| 少妇熟女欧美另类| 欧美激情在线99| 蜜臀久久99精品久久宅男| www.色视频.com| 欧美激情在线99| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 内射极品少妇av片p| 一区二区三区精品91| 亚洲av一区综合| 国产精品久久久久久精品古装| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 草草在线视频免费看| 麻豆乱淫一区二区| 国产女主播在线喷水免费视频网站| av国产精品久久久久影院| 成人欧美大片| 777米奇影视久久| 18禁动态无遮挡网站| 中文天堂在线官网| 男插女下体视频免费在线播放| 高清视频免费观看一区二区| 亚洲最大成人av| 一级爰片在线观看| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲人成网站在线播| 男人舔奶头视频| 亚洲欧美清纯卡通| 亚洲精品成人久久久久久| 亚洲精品日韩av片在线观看| 亚洲av福利一区| 最后的刺客免费高清国语| 丝瓜视频免费看黄片| 精品视频人人做人人爽| 国产精品久久久久久久久免| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 99热这里只有是精品在线观看| 亚洲最大成人中文| 嫩草影院精品99| 春色校园在线视频观看| 高清毛片免费看| 全区人妻精品视频| 日韩av免费高清视频| 99热6这里只有精品| 久久久久久久久久成人| 亚洲国产av新网站| 一本久久精品| 国产一区二区三区av在线| 国产精品99久久99久久久不卡 | 丝袜脚勾引网站| 在线精品无人区一区二区三 | 国产日韩欧美在线精品| 国产在线男女| 成人毛片a级毛片在线播放| 色吧在线观看| 国内精品宾馆在线| 99久久精品一区二区三区| 亚洲国产精品专区欧美| 日韩av在线免费看完整版不卡| 亚洲精品色激情综合| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 亚洲欧美一区二区三区国产| 午夜激情福利司机影院| 成人欧美大片| 欧美精品一区二区大全| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 麻豆成人午夜福利视频| 国产午夜精品一二区理论片| 国产一区二区三区av在线| 国产精品久久久久久av不卡| 老女人水多毛片| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 一级毛片我不卡| 国产成人精品福利久久| 69av精品久久久久久| 亚洲欧美成人精品一区二区| 日韩强制内射视频| 久久久精品免费免费高清| 97超视频在线观看视频| 最近最新中文字幕大全电影3| 观看美女的网站| 免费黄色在线免费观看| 亚洲av欧美aⅴ国产| 日本欧美国产在线视频| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 精品一区二区三区视频在线| 肉色欧美久久久久久久蜜桃 | 两个人的视频大全免费| 男人和女人高潮做爰伦理| 九九在线视频观看精品| 日本一二三区视频观看| 永久网站在线| 热99国产精品久久久久久7| 免费av不卡在线播放| 91在线精品国自产拍蜜月| av专区在线播放| 亚洲av福利一区| 真实男女啪啪啪动态图| 国产一区亚洲一区在线观看| tube8黄色片| 亚洲av.av天堂| 亚洲av在线观看美女高潮| 久久精品国产自在天天线| 女人被狂操c到高潮| 国产午夜精品一二区理论片| 高清午夜精品一区二区三区| 男的添女的下面高潮视频| 日本av手机在线免费观看| 欧美成人午夜免费资源| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 九色成人免费人妻av| 午夜激情福利司机影院| 日本熟妇午夜| 日韩三级伦理在线观看| 国产精品国产三级国产专区5o| 伦理电影大哥的女人| 永久网站在线| 91久久精品电影网| 国产精品精品国产色婷婷| 婷婷色av中文字幕| 美女脱内裤让男人舔精品视频| a级毛片免费高清观看在线播放| 免费黄网站久久成人精品| 国产日韩欧美在线精品| 哪个播放器可以免费观看大片| 日本黄色片子视频| 亚洲成人中文字幕在线播放| 免费黄网站久久成人精品| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 亚洲不卡免费看| 一区二区av电影网| 久久久a久久爽久久v久久| 日本wwww免费看| 别揉我奶头 嗯啊视频| 国产伦精品一区二区三区视频9| 成人亚洲精品av一区二区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 亚洲精品456在线播放app| 久久国产乱子免费精品| 欧美极品一区二区三区四区| 久久久成人免费电影| 99久久人妻综合| 精品久久久久久电影网| 中文在线观看免费www的网站| 一级毛片 在线播放| 免费黄频网站在线观看国产| 国产一区亚洲一区在线观看| 秋霞伦理黄片| 91久久精品国产一区二区三区| 看黄色毛片网站| 我要看日韩黄色一级片| 3wmmmm亚洲av在线观看| 亚洲国产精品国产精品| av免费在线看不卡| 成人一区二区视频在线观看| 成人特级av手机在线观看| 97超碰精品成人国产| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 中文资源天堂在线| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲欧美清纯卡通| 高清毛片免费看| 蜜臀久久99精品久久宅男| 国精品久久久久久国模美| 成人美女网站在线观看视频| 婷婷色麻豆天堂久久| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | 国产免费福利视频在线观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 国产成人午夜福利电影在线观看| 色吧在线观看| 一级毛片aaaaaa免费看小| 麻豆国产97在线/欧美| 另类亚洲欧美激情| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 精品久久久久久久久亚洲| 中文字幕免费在线视频6| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 99久久人妻综合| 丰满人妻一区二区三区视频av| 日本一本二区三区精品| av一本久久久久| 97超视频在线观看视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 九色成人免费人妻av| 亚洲人成网站在线观看播放| 青青草视频在线视频观看| 免费大片黄手机在线观看| 国产免费视频播放在线视频| 免费观看在线日韩| 欧美xxxx性猛交bbbb| 日本与韩国留学比较| 极品教师在线视频| 少妇人妻 视频| 丝袜喷水一区| 九色成人免费人妻av| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 午夜免费鲁丝| 夫妻性生交免费视频一级片| 亚洲av免费高清在线观看| 中文字幕av成人在线电影| 久久久久性生活片| 日本色播在线视频| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 成人二区视频| 亚洲av在线观看美女高潮| 亚洲真实伦在线观看| 一区二区三区乱码不卡18| 精品国产露脸久久av麻豆| av在线播放精品| 国产精品人妻久久久久久| 大香蕉久久网| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 丝袜美腿在线中文| 久热这里只有精品99| 男人舔奶头视频| 欧美成人一区二区免费高清观看| 身体一侧抽搐| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | 蜜臀久久99精品久久宅男| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | av福利片在线| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 在线观看三级黄色| 国产伦理片在线播放av一区| 亚洲成人手机| 高清黄色对白视频在线免费看| 9热在线视频观看99| 亚洲人成电影观看| 亚洲图色成人| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 国产不卡av网站在线观看| 亚洲精品av麻豆狂野| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 国产日韩欧美视频二区| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 国产日韩欧美在线精品| 欧美久久黑人一区二区| 亚洲成人av在线免费| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 精品视频人人做人人爽| 精品午夜福利在线看| 成年人午夜在线观看视频| 免费观看av网站的网址| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 国产精品一区二区在线观看99| 国产免费一区二区三区四区乱码| 国产成人精品在线电影| 久久热在线av| 国产毛片在线视频| 久久久久久久精品精品| 捣出白浆h1v1| 丁香六月欧美| 久久久国产精品麻豆| 好男人视频免费观看在线| av有码第一页| 综合色丁香网| 免费在线观看完整版高清| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 9热在线视频观看99| 男女之事视频高清在线观看 | 中文字幕高清在线视频| 51午夜福利影视在线观看| 韩国av在线不卡| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 久久综合国产亚洲精品| 欧美激情高清一区二区三区 | 又大又黄又爽视频免费| 一区福利在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 满18在线观看网站| 如何舔出高潮| 大片电影免费在线观看免费| 在线天堂中文资源库| 欧美国产精品va在线观看不卡| 中文欧美无线码| 国产乱人偷精品视频| 国产激情久久老熟女| 精品少妇黑人巨大在线播放| 2021少妇久久久久久久久久久| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 亚洲图色成人| 男女国产视频网站| 国产一区亚洲一区在线观看| 在线精品无人区一区二区三| 国产精品熟女久久久久浪| 制服诱惑二区| 国产免费又黄又爽又色| xxxhd国产人妻xxx| 国产免费福利视频在线观看| 飞空精品影院首页| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 午夜影院在线不卡| 观看美女的网站| 久久精品久久久久久久性| 亚洲国产精品国产精品| 日本一区二区免费在线视频| 水蜜桃什么品种好| 久久久久久久久久久久大奶| 高清欧美精品videossex| 亚洲精品,欧美精品| 精品亚洲成国产av| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 999久久久国产精品视频| 久久久国产一区二区| 国产精品二区激情视频| 热99国产精品久久久久久7| 波多野结衣一区麻豆| 日韩视频在线欧美| 日日爽夜夜爽网站| 午夜福利网站1000一区二区三区| 欧美成人精品欧美一级黄| 高清av免费在线| 在线天堂中文资源库| 久久久久精品性色| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 久久天堂一区二区三区四区| 一本久久精品| 波多野结衣一区麻豆| 日韩电影二区| 精品少妇内射三级| 十八禁人妻一区二区| 男女下面插进去视频免费观看| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 亚洲国产欧美网| 日韩av不卡免费在线播放| 如何舔出高潮| 欧美国产精品一级二级三级| 成人亚洲欧美一区二区av| 久久久精品区二区三区| 777米奇影视久久| 精品酒店卫生间| 最近的中文字幕免费完整| av片东京热男人的天堂| 99re6热这里在线精品视频| 在线 av 中文字幕| 午夜老司机福利片| 18禁国产床啪视频网站| 久久精品国产综合久久久| 青草久久国产| 男女无遮挡免费网站观看| 男男h啪啪无遮挡| av在线观看视频网站免费| 国产日韩欧美在线精品| 一二三四中文在线观看免费高清| 一级片免费观看大全| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 天天操日日干夜夜撸| 免费黄网站久久成人精品| 在线观看国产h片| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 日本欧美视频一区| 丰满乱子伦码专区| 熟女av电影| 亚洲精品久久午夜乱码| 亚洲中文av在线| 亚洲 欧美一区二区三区| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 久久韩国三级中文字幕| 亚洲成人av在线免费| 老司机在亚洲福利影院| 欧美日韩成人在线一区二区| 久久99一区二区三区| 国产日韩欧美视频二区| 国产精品人妻久久久影院| 亚洲中文av在线| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 亚洲精品乱久久久久久| 美女高潮到喷水免费观看| 久久人人爽人人片av| 亚洲国产欧美在线一区| 国产精品一区二区在线观看99| 超碰97精品在线观看| 国产精品欧美亚洲77777| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_|