一類時間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的孤立波解

陸求賜, 王學(xué)彬, 張宋傳, 徐瑞標(biāo)

( 1.武夷學(xué)院 人文與教師教育學(xué)院, 福建 武夷山 354300;2.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院, 福建 武夷山 354300 )

0 引言

由于分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon偏微分方程在流體力學(xué)、電學(xué)、信號處理、系統(tǒng)辨識以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2],因此尋求分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的解具有重要意義.本文考慮如下一類時間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的孤立波解:

(1)

其中x∈Rn,n∈Z+,t>0, 0<α≤1,d,e∈R為參數(shù).

式(1)是一類重要的分?jǐn)?shù)階偏微分方程(薛定諤方程的一種相對論形式),最初是由瑞典理論物理學(xué)家O.Klein和德國物理學(xué)家W.Gordon分別獨(dú)立推導(dǎo)得出的[3].在式(1)中當(dāng)α=1時,式(1)為整數(shù)階Klein-Gordon方程[4].目前,已經(jīng)有很多學(xué)者借助不同的求解方法對方程(1)或與其相關(guān)的整數(shù)階及時間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程進(jìn)行了研究,并得到了豐富的精確行波解.這些研究采用的主要方法有橢圓方程輔助方法[4-5]、修正簡單方程法[6]、首次積分法[7]、G′/G展開法[8]、同倫攝動方法[9]、Jacobi譜配置方法[10]、平面動力系統(tǒng)分支理論方法[11]等.但目前大部分學(xué)者研究的多為時間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程[7-11],而對于時間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程研究得較少:郭琳等利用修正的黎曼-劉維爾導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)以及一般橢圓方程(作為輔助方程)給出了方程(1)的部分精確解[5];M.Kaplan等利用一種修正的簡單方程法求得了方程(1)的諸多行波解[6].本文針對文獻(xiàn)[5]缺少圖形支撐和文獻(xiàn)[6]存在解法較為繁瑣的問題,利用保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和1/G展開法[12-13]對方程(1)進(jìn)行求解,得到了較為豐富的孤立波解和扭曲波解.

1 1/G展開法求解分?jǐn)?shù)階方程的應(yīng)用

1.1 預(yù)備知識

求解分?jǐn)?shù)階方程的方法通常是將其化為整數(shù)階方程后再求解.由于傳統(tǒng)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義[5]和Caputo[9]分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義均帶有積分形式,而保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義不帶有積分形式(應(yīng)用更為方便),因此本文采用保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)將方程(1)變換為整數(shù)階微分方程后再進(jìn)行求解.保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[11]為:

(2)

其中f:(0,∞)→R,t>0.

當(dāng)α= 1時,保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為一階導(dǎo)數(shù).一般情況下,當(dāng)0<α≤1且f(t)為含變量t的單項(xiàng)式分?jǐn)?shù)階函數(shù)時,保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為:

(3)

(4)

利用中值定理可證明式(4)成立,即:

1.2 G′/G展開法及其求解步驟

G′/G展開法[14]是一種借助輔助函數(shù)求解方程孤立波解的方法,其不僅具有求解步驟清晰的優(yōu)點(diǎn),而且得到的解的種類和數(shù)量較多.為了進(jìn)一步提高G′/G展開法的應(yīng)用,近年來一些學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn),如提出了修正的G′/G展開法[15]、擴(kuò)展的G′/G展開法[16]和1/G展開法[12-13]等.由于1/G展開法在求解非線性偏微分方程時具有求解步驟簡潔以及求解效果相對更好的優(yōu)點(diǎn),因此本文采用該方法來求解時間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程(1)的解.

考慮如下具有變量x=(x1,x2,…,xl,t)的非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程:

(5)

(6)

其中m1,m2,…,ml∈R為任意常數(shù),c為波速.根據(jù)式(6)可將式(5)變換為如下常微分方程:

F1(φ,φ′ξ,φ″ξξ,…)= 0,

(7)

其中φ′ξ、φ″ξξ等分別表示對共同變量ξ的求導(dǎo).設(shè)方程(7)的解為1/G(ξ)的有限次冪級數(shù),即:

(8)

其中:系數(shù)ai(i= 0,1,2,…,n)為待定常數(shù),且an≠0,正整數(shù)n由平衡式(7)中含最高階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)和具支配地位的非線性項(xiàng)的次數(shù)來確定;G(ξ)由方程(9)來確定.

G′(ξ)+λG(ξ)+1= 0,

(9)

其中λ是常數(shù)(λ≠0).

將式(8)代入式(7)后利用式(9)將式子左邊化為1/G(ξ)的多項(xiàng)式形式,再通過合并[1/G(ξ)]i的同類項(xiàng)(i= 1,2,…,n)和令1/G(ξ)的各次冪項(xiàng)的系數(shù)為0即可得a0,a1,a2,…,an,c,λ的代數(shù)方程組.解該代數(shù)方程組后,將其結(jié)果代入式(8)中即可得到用1/G(ξ)表示的方程(5)行波解的一般形式.

2 方程(1)的孤立波解

(10)

通過平衡式(10)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)φ″ξξ和最高階非線性項(xiàng)φ2的次數(shù)可知,式(8)中的n= 2.由此可知方程(10)的解等價于方程(1)的解,即:

(11)

于是再由式(9)可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由于a2≠0,λ≠0,因此通過求解由式(14)—(18)聯(lián)立的方程組可得如下幾組解:

(19)

(20)

(21)

(22)

其中:解(19)、(20)需d與c2-m2為同號且都不為0,解(21)、(22)需d與c2-m2為異號且都不為0.

將解(19)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得方程(1)的解為:

(23)

(24)

由于雙曲正切、雙曲余切函數(shù)是奇函數(shù),因此將解(20)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到與式(23)、(24)分別相同的方程(1)的2個解.將解(21)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到方程(1)的如下2個解:

(25)

(26)

類似于上述方法,將解(22)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到方程(1)的如下2個解:

(27)

(28)

注1在解(23)、(24)中,x、t是變量,參數(shù)d、e、c、m為非0的任意常數(shù),d與c2-m2為同號;在解(25)—(28)中,參數(shù)d、e、c、m為非0的任意常數(shù),d與c2-m2為異號;0<α≤1.

3 解的相圖分析

由上述求解方程(1)的過程可知,本文利用1/G展開法得到了8個孤立波解.但由于雙曲正切、雙曲余切函數(shù)是奇函數(shù),因此使得其中的2個解(通過奇偶變換后所得的解)與式(23)、(24)所表示的解相同,所以在結(jié)果中只顯示了6個解.將本文所得的解與文獻(xiàn)[5-11]中的解進(jìn)行對比可知,其結(jié)果是不同的.為了驗(yàn)證本文所得解的有效性,本文給出了解的相圖.由于解(23)、(25)的圖形類似于解(27)的圖形,解(24)、(26)的圖形類似于解(28)的圖形,因此本文在此僅給出解(27)和(28)的圖形(見圖1和圖2).

(a) x∈(-3,3), t∈(0,3) (b) x∈(-10,10), t∈(0,10)圖1 參數(shù)d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時解(27)在不同區(qū)間下的三維圖像

(a) x∈(0,3), t∈(0,3) (b) x∈(0,30), t∈(0,30)圖2 參數(shù)d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時解(28)在不同區(qū)間下的三維圖像

由圖1(孤立波圖)可以看出,圖中的“孤立子”數(shù)量隨變量區(qū)間的增大而減少,其原因是當(dāng)區(qū)間變大時許多小的“孤立子”在高大的“孤立子”的襯托下不易顯現(xiàn)(但當(dāng)區(qū)間縮小和圖形放大時,“孤立子”會明顯顯現(xiàn)).由圖2(扭曲波圖)可以看出,扭曲波并未隨變量區(qū)間的增大而發(fā)生明顯的變化(除圖形“變陡”外),其原因是扭曲波在傳播時具有較好的穩(wěn)定性.

4 結(jié)論

本文利用1/G展開法和保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義對一類時間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程進(jìn)行了求解,并得到了該方程的一些精確行波解(包含孤立波解和扭曲波解).利用Maple軟件對部分解的不同大小區(qū)間的三維圖進(jìn)行分析及數(shù)值模擬表明,所求得的這些解都是有效的.本文研究表明,1/G展開法是一種較為有效的求解非線性偏微分方程的方法,它可以求得方程的孤立波解和扭曲波解等行波解.