探究正整數(shù)解 讀懂方案設(shè)計(jì)

王鋒

我們知道任何一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)組解，但其整數(shù)解卻是有限的，而根據(jù)正整數(shù)解的組數(shù)我們可以解決許多實(shí)際生活中的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題.

例 周末，小明的媽媽讓他到藥店購(gòu)買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用30元錢（兩種物品都買），求小明的購(gòu)買方案有幾種.

解析：設(shè)購(gòu)買口罩[x]包，酒精濕巾[y]包，由題意得[3x+2y=30]，[∴x=10-23y]. 觀察上式可知y必須是3的倍數(shù). [∵x]，[y]均為正整數(shù)，∴y值可取3，6，9，12，∴二元一次方程[3x+2y=30]的整數(shù)解為[x=8，y=3]或[x=6，y=6]或[x=4，y=9]或[x=2，y=12.]故小明共有4種購(gòu)買方案：購(gòu)買8包口罩、3包酒精濕巾；購(gòu)買6包口罩、6包酒精濕巾；購(gòu)買4包口罩、9包酒精濕巾；購(gòu)買2包口罩、12包酒精濕巾.

反思：解決此類問(wèn)題的步驟通常為：列二元一次方程，將其變形為用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，分離出整數(shù)部分，利用枚舉法求出二元一次方程的所有整數(shù)解，從而得出不同的設(shè)計(jì)方案. 若將題中“兩種物品都買”的條件去掉，又可增加2個(gè)方案：只購(gòu)買10包口罩或只購(gòu)買15包酒精濕巾.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

1. （2022·黑龍江）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng). 某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買）共花費(fèi)360元. 其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買方案？（ ）（答案見(jiàn)第29頁(yè)）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2. （2022·黑龍江·綏化）某班為獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，花費(fèi)48元錢購(gòu)買了甲、乙兩種獎(jiǎng)品，每種獎(jiǎng)品至少購(gòu)買1件，其中甲種獎(jiǎng)品每件4元，乙種獎(jiǎng)品每件3元，則有 種購(gòu)買方案. （答案見(jiàn)第29頁(yè)）

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）