建立體積表象 發(fā)展空間觀念

孫齊圣

《長方體和正方體的體積》是人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第三單元的教學(xué)內(nèi)容。本課時是在學(xué)生掌握長方體、正方體特征的基礎(chǔ)上教學(xué)的，目的是讓學(xué)生通過動手操作、自主探索，提煉出長方體、正方體的體積計算公式，并通過應(yīng)用公式，進(jìn)一步深化對體積公式的理解，從而建立體積觀念、發(fā)展空間想象力。

一、在拼擺活動中感悟公式原理

體積計算公式的推導(dǎo)基于對體積概念的理解。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對體積和體積單位已經(jīng)有所認(rèn)知，能夠通過數(shù)體積單位的個數(shù)來求長方體的體積?；诖?，筆者通過猜測、拼擺、比較、歸納等活動，引導(dǎo)學(xué)生感悟長方體體積計算公式的原理。

上課伊始，筆者先提出問題：怎樣知道一個長方體或一個正方體的體積？長方體、正方體的體積與什么有關(guān)？學(xué)生根據(jù)自己的知識、經(jīng)驗猜想：把長方體切成若干大小相同的小正方體，再數(shù)小正方體的個數(shù)，就能知道長方體的體積；先測量長方體的長、寬、高，再算出體積；長方體的體積可能與長方體的長、寬、高有關(guān)；等等。接著，筆者組織學(xué)生在組內(nèi)用12個體積為1cm3的小正方體擺出不同的長方體，并將每次擺好的長方體的相關(guān)數(shù)據(jù)填入教材第29頁的表格中。學(xué)生自主拼擺后，筆者用課件呈現(xiàn)下表。

筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察表格并設(shè)疑：“這些長方體有什么共同點和不同點？”一名學(xué)生回答：“這些長方體的長、寬、高不同，即長方體的形狀不同，但它們所需的小正方體的數(shù)量也就是長方體的體積是相同的。”筆者繼續(xù)設(shè)疑：“根據(jù)拼擺過程想一想，長方體長、寬、高的數(shù)值除了表示長方體的長、寬、高的長度，還表示什么？”另一名學(xué)生回答：“還可以表示擺成長方體的每行小正方體的個數(shù)、擺的行數(shù)和層數(shù)?！?/p>

然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生分享、交流擺成的不同長方體的各項數(shù)據(jù)。第一小組代表回答：“我發(fā)現(xiàn)每行擺的個數(shù)、擺的行數(shù)、擺的層數(shù)分別與擺成的長方體的長、寬、高的數(shù)值相同?！钡诙〗M代表回答：“我發(fā)現(xiàn)擺成的長方體所包含體積單位的數(shù)量就是長方體的體積?！钡谌〗M代表補充道：“擺成的長方體所含體積單位的數(shù)量就是每行擺的個數(shù)（長）、擺的行數(shù)（寬）、擺的層數(shù)（高）的乘積?！惫P者順勢用課件呈現(xiàn)“長方體的體積=長×寬×高”。最后，筆者引導(dǎo)：“如果用字母V表示長方體的體積，用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高，那么長方體的體積計算公式可以怎樣表示？”學(xué)生回答：“可以寫成V=abh?！?/p>

通過拼擺，學(xué)生找出了長方體所含體積單位的數(shù)量與它的長、寬、高之間的關(guān)系，感悟到長方體體積計算公式的原理。

二、在推理過程中理解公式本質(zhì)

正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體，即正方體是特殊的長方體。為了讓學(xué)生弄清長方體和正方體的關(guān)系，筆者立足學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計算、分析、推理、歸納的過程，幫助學(xué)生理解正方體體積的本質(zhì)。

教學(xué)時，筆者先呈現(xiàn)例1的第①小題：“一個長方體長7cm、寬3cm、高4cm。求這個長方體的體積?！睂W(xué)生根據(jù)長方體體積計算公式列式計算：V=abh=7×3×4=84cm3。筆者設(shè)疑：“如果把長方體的長縮短3cm、寬增加1cm，此時的長、寬、高各是多少？長方體變成了什么圖形？”一名學(xué)生回答：“此時長方體的長、寬、高都是4cm，長方體變成了一個正方體?！惫P者追問：“怎樣計算這個正方體的體積呢？”他接著回答：“根據(jù)V=abh可知，正方體體積用‘（7-3）×（3+1）×4計算，即4×4×4=64cm3?！薄拔覀儎偛爬瞄L方體體積的計算公式求出了正方體的體積，誰能說說正方體的體積怎樣計算？”筆者繼續(xù)設(shè)疑。另一名學(xué)生回答：“可以按照長方體體積的計算公式‘V=abh來計算。因為正方體是長、寬、高相等的特殊長方體，所以長方體體積的計算公式也適用于正方體?！惫P者順勢總結(jié)：“正方體的‘長、寬、高，我們統(tǒng)稱為‘棱長，如果用字母V表示正方體的體積，用a表示它的棱長，那么正方體的體積計算公式用字母怎樣表示？”學(xué)生立即答出：“正方體體積V=a×a×a=a3?！?/p>

經(jīng)歷了推理過程，學(xué)生不僅理解了正方體體積的計算方法，而且完善了認(rèn)識結(jié)構(gòu)。

三、在直觀觀察中深化體積公式

在學(xué)生整體建構(gòu)長方體、正方體體積的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，筆者借助直觀圖示，利用從實際操作到簡化操作再到想象操作的過程，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深化對長方體、正方體體積計算公式的理解，更好地建立空間觀念。

教學(xué)時，筆者先呈現(xiàn)下圖，引導(dǎo)學(xué)生通過對比觀察發(fā)現(xiàn)：無論兩個圖形怎么擺放，總有一個面是朝下的。筆者順勢總結(jié)：這個面被稱為底面，長方體或正方體底面的面積叫作底面積。

接著，筆者設(shè)疑：“長方體和正方體的底面積該怎樣計算呢？”一名學(xué)生觀察后回答：“長方體的底面積=長×寬，正方體的底面積=棱長×棱長。”筆者在相應(yīng)的體積公式上做了如下標(biāo)記：

然后，筆者總結(jié)：“長方體體積公式中的‘長×寬就是它的底面積，則其體積公式可寫成‘底面積×高；正方體體積公式中的‘棱長×棱長就是它的底面積，而另一條棱長也可以看作是正方體的高。”“這樣看，長方體和正方體的體積可以怎樣計算？”筆者設(shè)疑。學(xué)生回答出“長方體（或正方體）的體積=底面積×高”后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用字母表示長方體（或正方體）的體積公式，即“V=Sh”。

為了引導(dǎo)學(xué)生突破定式，理解底面積的本質(zhì)，筆者呈現(xiàn)下圖，讓學(xué)生觀察：“圖中涂色面的面積能看作長方體的底面積嗎？為什么？”

一名學(xué)生回答：“能。如果把長方體‘立起來，涂色的面就朝下了，所以涂色的面可以看作長方體的底面積?！惫P者追問：“此時長方體可以看成是底面積、高各是多少的長方體？”他繼續(xù)說：“可以看成底面積是‘10×4=40、高是6的長方體?！惫P者繼續(xù)設(shè)疑：“還可以看成怎樣的長方體？”另一名學(xué)生回答：“還可以看成底面積是‘6×4=24、高是10的長方體，也可以看成底面積是‘10×6=60、高是4的長方體。”筆者總結(jié)：長方體（或正方體）的體積可以用某一個面的面積與垂直于這個面的棱的長度相乘的方法來計算。

學(xué)生經(jīng)歷了觀察、比較、歸納的過程，進(jìn)一步理解了長方體和正方體的體積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為今后學(xué)習(xí)其他柱體的體積計算公式做了鋪墊。

（作者單位：應(yīng)城市四里棚中心學(xué)校）

責(zé)任編輯? 張敏