為有源頭活水來

劉佳 姜楚華

王芳對(duì)運(yùn)動(dòng)有天然的喜好，特別是游泳。工作之余，尤其是遇到一些絞盡腦汁也想不通的問題時(shí)，她常會(huì)撲到游泳池里，讓自己的身心完全放松下來?！罢f起來真的很奇妙，很多百思不得其解的問題，游著游著就豁然開朗了”，王芳露出燦爛的笑，“比如‘聯(lián)·創(chuàng)數(shù)學(xué)教學(xué)觀的提出?！?/p>

要想學(xué)會(huì)游泳，必須下水“撲騰”

1995年7月，王芳從湖北省天門師范學(xué)校體育專業(yè)畢業(yè)，被分配到潛江市園林第三小學(xué)任教。報(bào)到那天，校長(zhǎng)余厚新動(dòng)員她“改行”教數(shù)學(xué)。王芳帶著初生牛犢不怕虎的精神，承擔(dān)起二年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)工作。由于沒有數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)，把知識(shí)講清楚成了王芳的首要目標(biāo)。為了講好教材上的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，她課前反復(fù)研讀教學(xué)參考書，凡是不懂的地方都向經(jīng)驗(yàn)豐富的同事請(qǐng)教，直到自己完全理解透了，才開始給學(xué)生講授。

憑借這股鉆勁和韌勁，王芳所帶班級(jí)的學(xué)生考試成績(jī)一直處于年級(jí)中上等水平。她信心滿滿，不斷思考并實(shí)踐用更簡(jiǎn)潔的語言、更生動(dòng)的例子把例題講清楚，留更多的時(shí)間給學(xué)生消化、鞏固知識(shí)。然而，學(xué)生的成績(jī)并沒有如王芳預(yù)想的那樣“更上一層樓”。相反，她發(fā)現(xiàn)學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)時(shí)正確率很高，但過一段時(shí)間再測(cè)，錯(cuò)誤率卻升高了，特別是變式問題，學(xué)生的錯(cuò)誤率更高。自己明明講深講透了，學(xué)生怎么就不會(huì)靈活運(yùn)用呢？王芳不停地思考，不停地完善講的方式方法，然而，時(shí)間一天天過去，情況仍然沒有太明顯的改變。

2005年，王芳調(diào)入潛江市田家炳實(shí)驗(yàn)小學(xué)，困擾她的問題也隨同工作崗位的變動(dòng)跟隨她來到這所當(dāng)?shù)氐拿！Ｄ翘?，忙完一天的工作后，身心俱疲的王芳來到游泳館。池中，一位年輕的媽媽正在潛心教孩子游泳。“正是觀察這個(gè)孩子學(xué)游泳，讓我發(fā)現(xiàn)了突破教學(xué)瓶頸的新視角?！蓖醴悸燥@激動(dòng)地說，“學(xué)習(xí)者不管把游泳的動(dòng)作要領(lǐng)記得多牢，都是學(xué)不會(huì)游泳的，要想學(xué)會(huì)游泳，必須下水‘撲騰。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)何嘗不是如此？”反思以往的教學(xué)，王芳意識(shí)到自己的關(guān)注點(diǎn)都在結(jié)果性知識(shí)的積累上，而忽略了生成結(jié)果的思維方法和過程，學(xué)生獲得的只是點(diǎn)狀的知識(shí)和感性的解題經(jīng)驗(yàn)，難以洞察數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，自然抓不住問題的本質(zhì)，這就是學(xué)生無法應(yīng)對(duì)變式問題的根本原因。

找到了癥結(jié)，王芳迫不及待地想要做出改變。如何放大學(xué)生學(xué)的過程，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性理解呢？通過查閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的書籍和文獻(xiàn)，王芳發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)理解”是一個(gè)專有名詞，有過程和結(jié)果兩重意義。就過程而言，它是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷深化的復(fù)雜心理過程；就結(jié)果而言，它具有層次性，不同的學(xué)習(xí)過程會(huì)形成不同的理解水平。數(shù)學(xué)理解的學(xué)問很深，王芳像滾雪球一樣不斷學(xué)習(xí)斯根普、皮瑞和基倫、威金斯和麥克泰格等提出的數(shù)學(xué)理解模型，洛克提出的學(xué)習(xí)遷移理論，以及萊什提出的數(shù)學(xué)多元表征理論等。隨著閱讀的深入，她認(rèn)識(shí)到學(xué)生必須通過數(shù)學(xué)表征將新知納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并通過不同表征方式之間的關(guān)聯(lián)使新知與已有知識(shí)建立更強(qiáng)、更充分的聯(lián)結(jié)，才能通透地理解數(shù)學(xué)概念、事實(shí)或思想方法，進(jìn)而遷移運(yùn)用?！奥?lián)”這個(gè)關(guān)鍵字與“理解”高度相關(guān)，深深潛入王芳的教學(xué)認(rèn)知中。

不僅要模式化，還要抽象化

明確了基于理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)制，王芳立即開始嘗試。經(jīng)過思考，她以數(shù)學(xué)表征的縱向深入和橫向聯(lián)結(jié)為抓手，放大學(xué)生學(xué)的過程，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)性數(shù)學(xué)理解。

2006年，王芳獲得了參加湖北省第九屆青年教師教學(xué)比武的機(jī)會(huì)，她選擇《兒童樂園》（乘法的初步認(rèn)識(shí)）作為參賽課。為讓學(xué)生獲得對(duì)乘法意義和算理的關(guān)聯(lián)性理解，她精心設(shè)計(jì)了四個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在校長(zhǎng)楊梅的建議下創(chuàng)設(shè)了貫穿課堂始終的“數(shù)禮物”現(xiàn)實(shí)情境。課堂上，她先引導(dǎo)學(xué)生從4種禮物中任選1種，列加法算式計(jì)算禮物的數(shù)量；接著引導(dǎo)學(xué)生通過算式分類，聚焦“同數(shù)相加”的算式；然后通過增加禮物數(shù)量加大計(jì)算難度，從而引出乘法；最后引導(dǎo)學(xué)生觀察教材情境圖，自主提出乘法問題并加以解決?？匆豢?、算一算、分一分、找一找的系列活動(dòng)將靜態(tài)的教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的探究任務(wù)，不僅使學(xué)生深入理解了乘法和加法的關(guān)系，更使學(xué)生將實(shí)物操作表征、圖示表征、符號(hào)表征、語言表征等關(guān)聯(lián)起來，對(duì)大腦皮層形成強(qiáng)烈的刺激，從而把乘法牢牢地納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。鮮活靈動(dòng)的課堂讓評(píng)委眼前一亮，王芳順利地捧回一等獎(jiǎng)，嘗到了抓住“聯(lián)”教學(xué)的甜頭。

2013年，北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心選拔優(yōu)秀教師為即將出版的第四版小學(xué)數(shù)學(xué)教材錄制配套光盤。潛江市小學(xué)數(shù)學(xué)教研員李正梁老師推薦王芳承擔(dān)執(zhí)教三年級(jí)下冊(cè)《講故事》（用畫圖策略解決乘除法問題）示范課的任務(wù)。這節(jié)課在前幾版教材中沒有出現(xiàn)過，錄制難度可想而知，但已經(jīng)嘗到過甜頭的王芳充滿信心，她認(rèn)真查閱有關(guān)畫圖教學(xué)的資料、對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)調(diào)查，仔細(xì)研讀新版教材與第三版教材呈現(xiàn)方式的異同，在此基礎(chǔ)上確定了這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和方向：畫圖策略的實(shí)質(zhì)是用圖示表征解決問題，圖示表征十分符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，是解決較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效策略，但教學(xué)不能止步于畫圖表征思維成果，而要有意識(shí)地關(guān)聯(lián)不同的表征方式特別是強(qiáng)化語言表征，使學(xué)生建構(gòu)直觀模型，達(dá)到模式化的理解水平，以避免“童化”思維現(xiàn)象的衍生。

想清楚了這些，王芳圍繞“淘氣5分鐘能講850個(gè)字，他3分鐘能講多少個(gè)字？”的主問題，設(shè)計(jì)了兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。一是“產(chǎn)生畫圖需要”：先引導(dǎo)學(xué)生通過梳理信息，發(fā)現(xiàn)不能直觀地看出淘氣所講字?jǐn)?shù)與時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系，從而引發(fā)畫圖的學(xué)習(xí)需求；然后讓學(xué)生自主畫圖，并圍繞典型作品說明畫圖過程，交流先求什么、再求什么。二是“形成畫圖策略”：學(xué)生先根據(jù)交流得出的“先算1分鐘講多少字，再算3分鐘講多少字”列式計(jì)算，并舉例說明用畫圖策略分析較復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的價(jià)值；然后畫圖表征變式問題（笑笑講一個(gè)故事用了4分鐘，平均每分鐘講150個(gè)字，如果要在3分鐘內(nèi)講完這個(gè)故事，每分鐘應(yīng)講多少個(gè)字？）中的數(shù)量關(guān)系，梳理解題思路并列式計(jì)算；最后歸納解決這兩個(gè)問題的共同思路，建構(gòu)解決問題的直觀模型。試教課上得很順利，但李正梁老師覺得“還差點(diǎn)味道”：從內(nèi)容上講，雖然細(xì)化了學(xué)生理解畫圖策略的步驟，讓學(xué)生掌握了線段圖直觀模型，但沒有為學(xué)生提供創(chuàng)造性運(yùn)用模型解決新問題的資源，難以使學(xué)生對(duì)解題策略形成抽象化的認(rèn)知，也就是說，這節(jié)課的設(shè)計(jì)在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力上存在不足。

不僅要模式化，還要抽象化，這樣的要求顯然更高，需要學(xué)生對(duì)畫圖策略本身有更抽象的理解，而不僅僅是學(xué)會(huì)用這節(jié)課的直觀模型解決乘除法混合運(yùn)算問題。聰穎的王芳馬上想到了改進(jìn)方案，即增加“強(qiáng)化畫圖意識(shí)”環(huán)節(jié)，通過兩個(gè)層次的練習(xí)，提升學(xué)生遷移畫圖策略的能力：一是反向練習(xí)，即先根據(jù)同類的圖示說數(shù)學(xué)信息，再根據(jù)信息創(chuàng)編問題情境并解答；二是拓展練習(xí)，即給出更復(fù)雜的問題情境，讓學(xué)生用自己喜歡的方式畫圖，個(gè)性化地運(yùn)用畫圖策略解決新問題。

這節(jié)課獲得了教材編委成員的一致好評(píng)，也讓王芳意識(shí)到只抓住“聯(lián)”教學(xué)具有局限性，因?yàn)榛陉P(guān)聯(lián)性理解的遷移運(yùn)用往往只能解決“這一類”問題，而不能很好地解決與之相關(guān)聯(lián)的“那一類”問題，要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決新問題的能力，教師還要抓住“創(chuàng)”這個(gè)關(guān)鍵字。

讓學(xué)生在抽象化、系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)世界里遨游

隨著像王芳一樣的名師不斷涌現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)的發(fā)展蒸蒸日上。2015年，學(xué)校南校區(qū)初步落成。當(dāng)時(shí)的南校區(qū)是大家眼中的“村小”，如何讓城市的孩子愿意到“鄉(xiāng)村”上學(xué)呢？楊梅校長(zhǎng)選派了一批得力干將到南校區(qū)挑重?fù)?dān)，王芳便是其中一員。為了引領(lǐng)年輕教師發(fā)展、提升教學(xué)質(zhì)量，學(xué)校為王芳成立了名師工作坊，讓她帶領(lǐng)教師做小課題研究，并與對(duì)口學(xué)校開展教研共建。

隨著研究的深入，王芳逐漸感悟到：在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，“聯(lián)”和“創(chuàng)”都兼具手段和目標(biāo)的雙重屬性，要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決新問題的能力，除了為學(xué)生提供新情境承載的能實(shí)現(xiàn)思想方法遷移的變式問題之外，還要提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次，幫助他們把結(jié)構(gòu)化的知識(shí)再概括或概念化為一個(gè)更抽象的水平，達(dá)成著名特級(jí)教師曹培英根據(jù)SOLO分類理論所刻畫的數(shù)學(xué)理解的第五個(gè)層次——拓展抽象水平。

王芳就此展開深入探究，她發(fā)現(xiàn)小學(xué)生思維跳躍，擅長(zhǎng)形象化表征，他們雖然偏向依托表象思考，但往往能借助豐富的想象產(chǎn)生觸及知識(shí)本質(zhì)的直覺。這種思維特點(diǎn)是學(xué)生建構(gòu)拓展抽象水平的數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)，教學(xué)應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思維特點(diǎn)，采取直觀的教學(xué)方式，幫助學(xué)生形成抽象化、系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知。具體地講，教師可以抓住“關(guān)聯(lián)”，特別是跨單元、跨類別、跨內(nèi)容領(lǐng)域的知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，提煉一般性結(jié)論和規(guī)律性策略；也可以抓住“發(fā)散”，圍繞核心素養(yǎng)整體建構(gòu)教學(xué)路徑，用大概念統(tǒng)領(lǐng)本學(xué)段相關(guān)知識(shí)的教學(xué)，乃至貫通整個(gè)小學(xué)階段相關(guān)知識(shí)的教學(xué)。對(duì)于難以通過直觀的方式獲得高水平數(shù)學(xué)理解的知識(shí)，教師可以通過梳理知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)、挖掘知識(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史料等，為學(xué)生提供一種情境表征，以深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

2016年，中央電教館組織“一師一優(yōu)課”賽課活動(dòng)。王芳執(zhí)教的《買文具》（小數(shù)乘法）獲評(píng)了“部級(jí)優(yōu)課”。設(shè)計(jì)之初，王芳就把教學(xué)指向了抽象化、系統(tǒng)化的理解水平。在學(xué)生用連加方法和把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再計(jì)算的方法得出“買4塊橡皮要0.8元”后，她引導(dǎo)學(xué)生借助“面積模型圖”直觀地理解“0.2×4=0.8”的算理：先在笑笑畫的模型圖中找一找0.2和4在哪里，接著分析涂色的8個(gè)條形表示什么（表示8個(gè)0.1），然后說一說8個(gè)0.1是怎樣得來的，最后得出算理“‘0.2×4中有4個(gè)0.2，每個(gè)0.2中有2個(gè)0.1，合起來就有8個(gè)0.1，8個(gè)0.1就是0.8”。學(xué)生結(jié)合小數(shù)的意義初步理解算理后，王芳又以買尺子為問題情境，引導(dǎo)學(xué)生遷移算理來解決“0.4×3”的問題，形成“計(jì)算一位小數(shù)乘整數(shù)，先把這個(gè)一位小數(shù)看成幾個(gè)0.1，再算出一共有幾個(gè)這樣的0.1”的一般化解題策略。王芳還設(shè)計(jì)了一組習(xí)題，讓學(xué)生畫圖表征計(jì)算過程并交流解題思路，很好地溝通了符號(hào)表征、圖示表征和語言表征。這樣教學(xué)算理，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“不論是加法還是乘法、整數(shù)還是小數(shù)，其計(jì)算原理都是相同計(jì)數(shù)單位的累加”，深化了對(duì)加法和乘法運(yùn)算一致性的認(rèn)知。這種認(rèn)知達(dá)到了抽象化、系統(tǒng)化的理解水平，能使學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的視角貫通對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的理解，賦予學(xué)生創(chuàng)新運(yùn)用這種算理學(xué)習(xí)新運(yùn)算的能力。

經(jīng)過一次次歷練，王芳逐漸明晰：“聯(lián)”指向理解，即利用不同表征方式間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)理解的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平乃至拓展抽象水平；“創(chuàng)”指向遷移，即通過創(chuàng)設(shè)新情境、新問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的能力；“聯(lián)”是“創(chuàng)”的基礎(chǔ)，“創(chuàng)”能提升“聯(lián)”的水平，兩者不是簡(jiǎn)單的遞進(jìn)關(guān)系，而是互融互促的關(guān)系。

一節(jié)節(jié)成功的課，不僅讓王芳在專業(yè)領(lǐng)域獲得更多認(rèn)可，更展示了“聯(lián)·創(chuàng)數(shù)學(xué)”教學(xué)觀引領(lǐng)下的課堂教學(xué)的魅力。采訪結(jié)束，記者獲知王芳順利通過選拔，成為省級(jí)名師工作室主持人。王芳感覺到了肩上擔(dān)子的分量，但她對(duì)未來充滿信心?！皢柷堑们迦缭S，為有源頭活水來?！蓖醴驾p輕吟出朱熹的這兩句詩。

責(zé)任編輯? 劉佳