以學(xué)定評(píng) 以評(píng)促學(xué)

白凌曉 張銀德

“乘法分配律”是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)教材《運(yùn)算定律》單元的難點(diǎn)，學(xué)生往往難以脫離具體情境抽象出乘法分配律的模型，難以根據(jù)算式特點(diǎn)靈活運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。如何基于“乘法分配律”的內(nèi)容，設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)工具呢？

一、梳理教材內(nèi)容，把握單元評(píng)價(jià)目標(biāo)

筆者結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，梳理了與“乘法分配律”前后銜接的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容，以把握單元目標(biāo)、分析評(píng)價(jià)重點(diǎn)。

二年級(jí)上冊(cè)《表內(nèi)乘法（一）》單元第58～59頁(yè)部分習(xí)題“4×3＋4；4×4－4；2×3－3；5×5＋5；4×5－4；5×3－5”，引導(dǎo)學(xué)生初步感知乘法分配律。三年級(jí)上冊(cè)《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元《口算乘法》的例2“口算12×3”，引導(dǎo)學(xué)生將“表外乘法”拆分成兩個(gè)表內(nèi)乘法計(jì)算，感知乘法分配律的逆向形式；《筆算三位數(shù)乘一位數(shù)》引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)將三位數(shù)拆分后計(jì)算的便捷性，向?qū)W生滲透乘法分配律。三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形和正方形》單元內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在探究長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)計(jì)算方法的過(guò)程中感知乘法分配律的實(shí)質(zhì)。三年級(jí)下冊(cè)《面積》單元《長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算》，引導(dǎo)學(xué)生在求面積的過(guò)程中感受乘法分配律的幾何意義。四年級(jí)上冊(cè)《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元《筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)》，引導(dǎo)學(xué)生鞏固“拆分”的計(jì)算方法，熟悉乘法分配律的結(jié)構(gòu)；例4和例5利用生活情境中的數(shù)量關(guān)系向?qū)W生滲透乘法分配律。四年級(jí)下冊(cè)《運(yùn)算定律》單元例7，引導(dǎo)學(xué)生從植樹(shù)問(wèn)題中歸納乘法分配律，用字母表達(dá)式表示乘法分配律，并運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算、解決實(shí)際問(wèn)題。五年級(jí)上冊(cè)《小數(shù)乘法》單元《小數(shù)乘整數(shù)》例題“3.5×3”，引導(dǎo)學(xué)生在小數(shù)的計(jì)算中運(yùn)用乘法分配律，發(fā)展數(shù)感；《簡(jiǎn)易方程》單元例5“3x＋4x=（3＋4）x=7x”，引導(dǎo)學(xué)生用乘法分配律化簡(jiǎn)含有字母的式子。六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》單元例7“（[56]＋[14]）×12”，引導(dǎo)學(xué)生感悟乘法分配律在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中都適用。

由以上分析可知，“乘法分配律”正式出現(xiàn)在四年級(jí)下冊(cè)教材中，但相關(guān)知識(shí)點(diǎn)在教材中的分布是螺旋式上升的：二、三年級(jí)教材為學(xué)生提供了理解乘法內(nèi)涵的情境，給出了反映乘法分配律的例子，引導(dǎo)學(xué)生熟悉乘法分配律的結(jié)構(gòu)；四年級(jí)教材引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)乘法分配律的形式，并加以應(yīng)用；五、六年級(jí)教材將乘法分配律推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中。

基于以上分析，筆者歸納、提煉了《運(yùn)算定律》單元評(píng)價(jià)目標(biāo)：能遷移乘法意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并借助多元表征理解乘法的多種模型；能基于乘法的意義建構(gòu)乘法分配律的模型；能將乘法分配律的模型進(jìn)行形式化表達(dá)；能溝通其他知識(shí)，解決新問(wèn)題。

二、尋找學(xué)生數(shù)據(jù)，擬定評(píng)價(jià)層級(jí)

除了教材所呈現(xiàn)的核心內(nèi)容，來(lái)自學(xué)生的數(shù)據(jù)也是聚焦評(píng)價(jià)重點(diǎn)的重要依據(jù)。為了解和判斷學(xué)生處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程和策略，筆者對(duì)三、四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了訪談。訪談針對(duì)如下問(wèn)題進(jìn)行。

問(wèn)題一：計(jì)算2＋2＋2＋2＋2＋2＋2，并說(shuō)明這樣計(jì)算的理由。

該問(wèn)題通過(guò)考查學(xué)生將同數(shù)連加的算式改寫(xiě)成乘法算式再計(jì)算的思維過(guò)程，判斷學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)乘法分配律的基礎(chǔ)。結(jié)果顯示：60%的學(xué)生能將原式寫(xiě)成“2×7”或“7×2”且計(jì)算結(jié)果正確，但是他們只是依照計(jì)算規(guī)則列式解答；只有不到10%的學(xué)生能真正理解乘法的意義，將動(dòng)手操作、口頭表達(dá)、符號(hào)書(shū)寫(xiě)三種表征方式聯(lián)系起來(lái)。

問(wèn)題二：“一盒牛奶4元，一袋豆?jié){2元。樂(lè)樂(lè)家每天都要買(mǎi)一盒牛奶和一袋豆?jié){，一個(gè)星期買(mǎi)牛奶和豆?jié){要花多少錢(qián)？”小明用“4×7＋2×7”計(jì)算，小紅用“（4＋2）×7”計(jì)算。他們的解法正確嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。

該問(wèn)題借助“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”的問(wèn)題情境，判斷學(xué)生能否識(shí)別乘法分配律的基本結(jié)構(gòu)。結(jié)果顯示：13%的學(xué)生認(rèn)為小明正確，理由是“要算一共多少錢(qián)，就要先算牛奶和豆?jié){各多少錢(qián)，再加在一起”，說(shuō)明他們從形式上無(wú)法看出乘法分配律的結(jié)構(gòu)；47%的學(xué)生認(rèn)為兩種方法都正確，理由是“通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證，兩種算法的結(jié)果一樣”，說(shuō)明他們能從計(jì)算的角度解釋算式的含義，但是無(wú)法抽象到算理層面；10%的學(xué)生認(rèn)為兩種方法都正確，并能結(jié)合情境解釋算式的含義，說(shuō)明他們能基于算理進(jìn)行判斷；另有3%的學(xué)生也認(rèn)為兩種方法都正確，理由是“一個(gè)是分別乘7，另一個(gè)是合在一起乘7”，說(shuō)明他們已經(jīng)理解了乘法分配律的概念。

通過(guò)訪談，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)乘法模型的理解比較膚淺，對(duì)算式、操作、表達(dá)三者沒(méi)有建立充分的聯(lián)系，沒(méi)有對(duì)運(yùn)算過(guò)程形成本質(zhì)理解?；诖耍P者擬定了“乘法分配律”學(xué)習(xí)成效的評(píng)價(jià)層級(jí)：水平0——能列出乘法算式，但不能多元化地表征算式的意義；水平1——能借助乘法的不同模型理解乘法的本質(zhì)；水平2——能基于乘法的意義建構(gòu)乘法分配律的模型；水平3——能將乘法分配律的模型進(jìn)行形式化表達(dá)；水平4——能實(shí)現(xiàn)遷移，解決變式問(wèn)題。

三、細(xì)化評(píng)價(jià)任務(wù)，促進(jìn)核心素養(yǎng)形成

評(píng)價(jià)有三種類(lèi)型：為評(píng)定學(xué)習(xí)水平而進(jìn)行的“學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”，為推進(jìn)學(xué)習(xí)而進(jìn)行的“學(xué)習(xí)性評(píng)價(jià)”，為讓學(xué)生學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)而進(jìn)行的“學(xué)習(xí)式評(píng)價(jià)”。學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)側(cè)重“公平”，為評(píng)定學(xué)業(yè)水平、分析學(xué)業(yè)成就提供參考；學(xué)習(xí)性評(píng)價(jià)側(cè)重“具體”，為教師提供把握學(xué)生學(xué)習(xí)情況的證據(jù)；學(xué)習(xí)式評(píng)價(jià)側(cè)重“自省”，關(guān)注學(xué)生評(píng)價(jià)能力的培養(yǎng)?；诓煌脑u(píng)價(jià)類(lèi)型，筆者將本單元的評(píng)價(jià)任務(wù)細(xì)化如下。

以0～4劃分水平層次，可以比較準(zhǔn)確地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以便教師調(diào)整教學(xué)策略和進(jìn)行個(gè)性化指導(dǎo)。

僅僅通過(guò)計(jì)算結(jié)果判斷學(xué)生是否掌握了乘法分配律是不客觀的。以計(jì)算題“39×8+6×39-39×4”為例，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生中，按原有運(yùn)算順序計(jì)算的學(xué)生，沒(méi)有理解“8個(gè)39加6個(gè)39再減4個(gè)39”的意義，只是機(jī)械操作，處在水平0；把原式寫(xiě)成“（8＋6）×39-39×4”后，因?yàn)椴粔蚝?jiǎn)便而計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生，局限于乘法分配律的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，不能識(shí)別并運(yùn)用“ab+ac-ad=a（b+c-d）”的變式結(jié)構(gòu)，其理解水平比水平2高，但未達(dá)到水平3。

基于單元評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程性評(píng)價(jià)，既能診斷學(xué)生顯性的學(xué)業(yè)成果，又能呈現(xiàn)學(xué)生隱性的思維路徑及困惑，有助于落實(shí)以學(xué)定評(píng)和以評(píng)促學(xué)。

（作者單位：白凌曉，襄陽(yáng)市教育科學(xué)研究院；張銀德，棗陽(yáng)市王城鎮(zhèn)中心學(xué)校）