核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“二項(xiàng)分布”為例

廣東省深圳外國語學(xué)校(518083) 楊 亞

怎樣才是“教好數(shù)學(xué)”? 章建躍博士說,要以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo),設(shè)計(jì)出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的邏輯性的系列化活動,引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)對象,構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑,發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題,探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法,獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論,建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題.[1]筆者以“二項(xiàng)分布”為例,與教師們探討在核心素養(yǎng)視角下如何設(shè)計(jì)教學(xué),才能真正教好數(shù)學(xué).

1 理解數(shù)學(xué),解析教學(xué)內(nèi)容

1.1 內(nèi)容

n重伯努利試驗(yàn),二項(xiàng)分布.

1.2 內(nèi)容解析

二項(xiàng)分布和超幾何分布是離散概率模型的代表,類似于等差、等比數(shù)列與一般數(shù)列;排列、組合與一般計(jì)數(shù)問題的關(guān)系.通過對這兩種典型的離散型分布的研究,進(jìn)一步理解隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用,理解隨機(jī)思想在解決實(shí)際問題中的價值[2].

擲一枚硬幣要么正面要么反面這種只有兩個可能結(jié)果的一類試驗(yàn),被定義為伯努利試驗(yàn).將伯努利試驗(yàn)在相同的條件下,獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次便得到了“n重伯努利試驗(yàn)”.要理解n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ?關(guān)鍵在于搞清楚兩個特征: 1、對立性,即一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生或不發(fā)生,二者必居其一;2、獨(dú)立重復(fù)性,即各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,且各次試驗(yàn)的條件完全相同, 因此各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率都相等.而我們通過這些大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)不僅僅是關(guān)心某事件發(fā)生的概率,可能會關(guān)心某事件首次發(fā)生時試驗(yàn)的次數(shù),這個方向?qū)⑼ㄍ鶐缀畏植?高中數(shù)學(xué)不做要求);同時也可能關(guān)心某事件累計(jì)發(fā)生的次數(shù),這個方向便通往了二項(xiàng)分布.

二項(xiàng)分布是根據(jù)試驗(yàn)的特征,利用概率的加法和乘法公式、組合數(shù)等知識,由特殊到一般的方法推導(dǎo)出的分布列.這個內(nèi)容的學(xué)習(xí)能有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化價值、科學(xué)價值和應(yīng)用價值.

1.3 教學(xué)重點(diǎn)

(1)n重伯努利試驗(yàn)的特征;

(2)明確確定二項(xiàng)分布模型的步驟.

2 理解學(xué)生,解析教學(xué)目標(biāo)、難點(diǎn)突破

2.1 目標(biāo)解析

(1)學(xué)生經(jīng)歷“背景—?dú)w納共同屬性—n重伯努利試驗(yàn)定義—關(guān)鍵詞辨析—應(yīng)用”的抽象過程,能判斷一個問題是否滿足對立性和獨(dú)立重復(fù)性,能明確問題中的隨機(jī)變量.

(2)學(xué)生充分經(jīng)歷“背景—研究對象特征—分布模型—應(yīng)用”的抽象活動后,知道確定二項(xiàng)分布的方法和步驟.提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

(3)通過豐富的、有趣的、學(xué)生熟悉的問題(擲幣試驗(yàn)、高爾頓板試驗(yàn)、雙人賽),能更好地理解二項(xiàng)分布模型,樹立正確的概率直覺.

(4)學(xué)生能夠舉出生活中服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的例子,體會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界.

2.2 問題診斷

學(xué)生對n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭小蔼?dú)立、重復(fù)”特征的理解是本節(jié)課第一個難點(diǎn).為了強(qiáng)化對試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖R別,教學(xué)中可以提供豐富的具體實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生思考這些基本問題: 題中的伯努利試驗(yàn)是什么? 某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是多少? 試驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)是多少? 各次試驗(yàn)結(jié)果是否獨(dú)立? 進(jìn)而幫助學(xué)生積累更多數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn), 達(dá)到知識內(nèi)化和遷移,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

第二個難點(diǎn)是n重伯努利試驗(yàn)中我們關(guān)注的是什么? 研究“一個新的對象能夠幫助我們解決什么問題”,是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最好時機(jī).同時培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題.

二項(xiàng)分布公式的推導(dǎo)需要利用的知識點(diǎn)較多,是第三個難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“具體實(shí)例的分析—本質(zhì)特征的歸納—分布列的推導(dǎo)”的完整過程.從求解“連續(xù)3 次投籃投中2 次的概率”到“連續(xù)4 次投籃投中2 次的概率”到“連續(xù)n次投籃投中k次的概率”由特殊到一般歸納出二項(xiàng)分布的計(jì)算模型, 促使學(xué)生思考和理解公式的一般化表達(dá),這個過程有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

第四個難點(diǎn)是應(yīng)用中解的解釋和二項(xiàng)分布模型的識別與轉(zhuǎn)化.

2.3 教學(xué)難點(diǎn)

(1)n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖R別與轉(zhuǎn)化;

(2)二項(xiàng)分布的應(yīng)用.

3 理解技術(shù),分析教學(xué)支持條件

本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)重視以下環(huán)節(jié): 收集素材,激發(fā)興趣;分析實(shí)例,識別模型;展開反思,解釋解的實(shí)際意義等.為促使有效進(jìn)行數(shù)學(xué)思維,更好發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,可以借助信息技術(shù)手段(Geogebra 軟件)幫助學(xué)生體會二項(xiàng)分布在實(shí)際生活中的魅力.

4 預(yù)設(shè)教學(xué)過程

引導(dǎo)語我們研究一個數(shù)學(xué)對象,一般經(jīng)歷這樣的過程:先在一般意義上定義研究對象,再研究關(guān)鍵的特例,“一般性寓于特殊性”,通過特例的研究,達(dá)到對研究對象的基本認(rèn)識,獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[1].例如,一般意義上研究函數(shù)的概念與性質(zhì)后,研究基本初等函數(shù),給出數(shù)列的一般概念后再研究等差、等比數(shù)列.前面我們學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征,你覺得接下來的學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么呢?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)問題的一般方法和“套路”.

環(huán)節(jié)一分析具體實(shí)例,歸納共同特征

問題1分析下面的試驗(yàn)結(jié)果,它們有什么共同的特點(diǎn)?

1、擲一枚硬幣; 2、姚明投籃; 3、購買彩票; 4、新生兒性別;5、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn);6、產(chǎn)品檢測.

活動學(xué)生獨(dú)立思考問題,歸納出試驗(yàn)的共同屬性,教師點(diǎn)評,給出伯努利試驗(yàn)的定義.

追問1下面3 個試驗(yàn)和伯努利試驗(yàn)相關(guān)嗎,它們有什么共同的特點(diǎn)?

1、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10 次;2、某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8,連續(xù)射擊3 次;3、一批產(chǎn)品的次品率為5%,有放回的隨機(jī)抽取20 件.

活動學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行全班交流,教師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞背后的含義(“質(zhì)地均勻”、“每次射擊中靶概率相等”、“有放回”),引導(dǎo)學(xué)生歸納出試驗(yàn)的共同特點(diǎn),進(jìn)而抽象出n重伯努利試驗(yàn)的定義.

追問2伯努利試驗(yàn)和n重伯努利試驗(yàn)有什么區(qū)別,n重伯努利試驗(yàn)中我們關(guān)注的是什么?

活動教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例分析n重伯努利試驗(yàn)可以解決什么問題,進(jìn)一步得出問題中的隨機(jī)變量是什么.

設(shè)計(jì)意圖通過豐富的、有趣的、典型的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析、歸納共性、抽象本質(zhì),并形成概念.使學(xué)生明確這兩種試驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系,深層理解n重伯努利試驗(yàn)的特征和它將解決的問題.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

環(huán)節(jié)二合作探究,形成二項(xiàng)分布概念

引入語眾所周知,姚明通過自身努力成為了我國至今為止成就最高的籃球運(yùn)動員.他職業(yè)生涯的罰球命中率為0.8,假設(shè)他每次命中率都相同,你知道他在連續(xù)3 次投籃中,投中次數(shù)的概率分布列是怎樣的嗎?

活動先由學(xué)生嘗試識別“n重伯努利試驗(yàn)”模型,再由教師引導(dǎo)學(xué)生尋找運(yùn)算規(guī)律.記Ai=“第i次投籃命中”(i= 1,2,3),利用樹狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果.其中3 次投籃恰好投中2 次的結(jié)果為:它們的概率都是0.82×0.2,與哪兩次中靶無關(guān),因此其概率為C23×0.82×0.2.同理可得投中0、1、3 次的概率,因此投中次數(shù)X的概率分布列為:P(X=k) =Ck3×0.8k ×0.23-k,k=0,1,2,3.

追問1類比上面的分析,如果連續(xù)4 次投籃,表示投中2 次的結(jié)果有哪些? 寫出投中次數(shù)X的分布列.

追問2根據(jù)上述分析,你能抽象概括出一類概率問題的計(jì)算嗎?

活動學(xué)生獨(dú)立思考、互相交流,從運(yùn)算的角度充分經(jīng)歷二項(xiàng)分布概念的自主建構(gòu)過程,教師點(diǎn)評和補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生熟悉的投籃問題,讓學(xué)生體會先抽象條件,再抽象結(jié)論的研究過程,體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,是學(xué)生提升邏輯推理、運(yùn)算能力的契機(jī).

環(huán)節(jié)三揭示概念的內(nèi)涵與外延

問題2二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有何關(guān)系?

問題3二項(xiàng)分布和二項(xiàng)式定理有何聯(lián)系?

活動學(xué)生思考、交流、作答,教師總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生體會知識的發(fā)生和發(fā)展過程,理解二項(xiàng)分布概念的來龍去脈, 形成數(shù)學(xué)知識的整體性和連貫性,真正把握其本質(zhì)內(nèi)涵,提高靈活解決問題的能力.

環(huán)節(jié)四概念運(yùn)用,鞏固提高

例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10 次,求:

(1)恰好出現(xiàn)5 次正面朝上的概率;

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.

活動學(xué)生先識別試驗(yàn)?zāi)Ｐ?嘗試獨(dú)立完成,教師巡視,對有問題的學(xué)生給予適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn), 再將學(xué)生的解答投屏展示、點(diǎn)評.

追問有人說“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率為0.5,那么隨機(jī)拋擲10 次,出現(xiàn)5 次正面朝上的概率也是0.5.”你怎么認(rèn)為?

活動由學(xué)生代表根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋: 許多人都拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10 次,其中約24.6%的人恰好出現(xiàn)5 次正面朝上.且只有約為66.6%的人正面朝上的次數(shù)是4～6次.教師組織學(xué)生利用Geogebra 軟件模擬試驗(yàn)(如圖1)驗(yàn)證這個規(guī)律.

圖1 擲幣試驗(yàn)

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生初步應(yīng)用二項(xiàng)分布解決實(shí)際問題.結(jié)合信息技術(shù)更好的輔助其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,并澄清一些錯誤的認(rèn)識,從而樹立正確的概率直覺.

例2如圖2 是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘, 小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ? 前面擋有一塊玻璃,將小球從頂端放入,小球下落的過程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0,1,2,…,10,用X表示小球最后落入格子的號碼,求X的分布列.

圖2 高爾頓板示意圖

活動教師播放介紹高爾頓板試驗(yàn)的小視頻,既滲透數(shù)學(xué)文化,也幫助學(xué)生理解小球最后落入格子的號碼X等于向右落下的次數(shù),這樣就將“小球碰撞小木釘10 次”轉(zhuǎn)化為“10 重伯努利試驗(yàn)”,將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布模型來處理.本質(zhì)上與例1 擲幣模型是一致的.

在分析的基礎(chǔ)上,由學(xué)生獨(dú)立完成解答過程,教師展示X的概率分布圖,指明小球落入中間格子的概率大,落入兩邊格子的概率小,與高爾頓板試驗(yàn)中許多小球下落后累計(jì)記錄的潛在信息是一致的: 這些球堆輪廓圖近似為鐘形曲線.

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)中利用數(shù)學(xué)文化知識讓學(xué)生更全面深入地了解二項(xiàng)分布的概念,體會其中的人文精神,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力,也為學(xué)習(xí)正態(tài)分布做好準(zhǔn)備.同時也是“德育”的良好載體: 高爾頓版試驗(yàn)啟示人們事物的發(fā)展大多是漸進(jìn)和累積的,從全局的角度來考慮問題才能掌握事物的本質(zhì)特性.

例3甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3 局2 勝制還是采用5 局3 勝制對甲更有利?

活動學(xué)生思考、交流,教師巡視,由學(xué)生代表作答: 該問題本質(zhì)上是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率大.可以把事件“甲最終獲勝”,按可能的比分情況表示為若干事件的和,再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個求概率,得到解析1.

追問1本題是否符合n重伯努利試驗(yàn)特征? 伯努利試驗(yàn)是什么? 事件A是什么及其概率是多少? 試驗(yàn)的次數(shù)是多少? 各次試驗(yàn)結(jié)果是否獨(dú)立? 隨機(jī)變量是什么?

活動本題中學(xué)生不確定試驗(yàn)的次數(shù),因?yàn)椤叭绻l先贏2 局就不再比第3 局”.教師鼓勵學(xué)生按照假定賽滿n局,利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”的概率.

追問2假定“賽滿n局”利用二項(xiàng)分布計(jì)算的結(jié)果與解析1 的結(jié)果相等是巧合嗎?

活動教師引導(dǎo)學(xué)生將比賽情形分類分析(如下表1):

表1

前兩局甲連勝的概率為p2, 可以分解為前兩局甲連勝, 第三局甲勝或者甲輸來計(jì)算, 即p2= (1-p)p2+p3.而三種情形整體來看3(1-p)p2、p3分別與二項(xiàng)分布中的P(X= 2)、P(X= 3)等價.因此兩種計(jì)算方式本質(zhì)上是一致的,而二項(xiàng)分布的計(jì)算方式更簡便,還可以做到不重不漏.

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可得5 局3 勝制對甲有利.教學(xué)過程中,教師組織學(xué)生利用Geogebra 軟件作圖(如下圖3)驗(yàn)證這一結(jié)論: 橫坐標(biāo)是選手每局勝出的概率,縱坐標(biāo)是選手最終勝出的概率,對實(shí)力派選手而言,局?jǐn)?shù)越多,勝算越大.

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過對比兩種概率的計(jì)算方法,使學(xué)生了解二項(xiàng)分布計(jì)算的優(yōu)越性,學(xué)會在具體情境中,將問題轉(zhuǎn)化為能夠應(yīng)用模型加以解決的形式.同時向?qū)W生展示生活中的許多決策可以通過嚴(yán)密、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)來論證,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,使數(shù)學(xué)課堂更有活力.

環(huán)節(jié)五梳理過程,感悟本質(zhì)

問題4回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,請你梳理二項(xiàng)分布概念的抽象過程、確定二項(xiàng)分布模型的步驟,并舉出幾個生活中服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的例子.

活動先由學(xué)生闡述自己的想法,教師帶領(lǐng)學(xué)生梳理“事實(shí)—概念—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”的研究思路,體會概念的形成過程,進(jìn)一步總結(jié)確定二項(xiàng)分布模型的步驟.由教師簡要板書: 伯努利試驗(yàn)及事件A發(fā)生的概率p—試驗(yàn)的次數(shù)n—判斷獨(dú)立性—確定隨機(jī)變量.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過梳理研究過程和確定二項(xiàng)分布模型的步驟,理解二項(xiàng)分布的內(nèi)涵,形成對本節(jié)課內(nèi)容的整體認(rèn)識.在思想方法上為自主探究超幾何分布打下基礎(chǔ).舉生活中的例子可以加深學(xué)生對二項(xiàng)分布的理解,另外應(yīng)用數(shù)學(xué)知識研究生活問題,正是數(shù)學(xué)的價值所在.

環(huán)節(jié)六目標(biāo)檢測,檢驗(yàn)效果

檢測判斷下列表述正確與否,并說明理由:

(1)10 道四選一的單選題,隨機(jī)猜結(jié)果,猜對答案的題目數(shù)X ～B(10,0.25);

(2)100 件產(chǎn)品中包含8 件次品,不放回地隨機(jī)抽取4 件,其中次品數(shù)X ～B(4,0.08).

設(shè)計(jì)意圖考察學(xué)生對二項(xiàng)分布的理解.

作業(yè)布置

(1)《選擇性必修三》第76 頁,練習(xí)第1、2 題;

(2)思考目標(biāo)檢測題(2)如果采用不放回抽樣,其中次品數(shù)的分布列你會計(jì)算嗎?

設(shè)計(jì)意圖鞏固、內(nèi)化知識,也為后面“超幾何分布”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,給學(xué)生提供感悟知識精髓的空間和時間.

結(jié)語本教學(xué)設(shè)計(jì)重視明確基本套路、增強(qiáng)教學(xué)的整體性.以明線為載體: 事實(shí)—概念—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用,發(fā)揮暗線的育人價值: 具體實(shí)例—數(shù)學(xué)問題—由特殊到一般建立模型—模型應(yīng)用—感悟隨機(jī)思想和概率的魅力.為學(xué)生自主探究超幾何分布定好了框架,為學(xué)習(xí)正態(tài)分布奠定了基礎(chǔ).另外也重視創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生開展系列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,如觀看高爾頓版試驗(yàn)小視頻;利用geogebra 軟件分析實(shí)例,解釋解的實(shí)際意義、為生活提供決策等.注重數(shù)學(xué)教學(xué)中的“五育融合”.“二項(xiàng)分布”這一節(jié)內(nèi)容很豐富,思維難度較大,與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān),需要教師站在數(shù)學(xué)高位上認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容和活動,努力讓數(shù)學(xué)課堂生動有趣,讓學(xué)生真正學(xué)有所獲.