2022 年高考“空間幾何體”問題聚焦

■彭國強(qiáng)

下面以2022年高考題為載體,探究空間幾何體問題的類型,以及求解的思維方法,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

聚焦1：旋轉(zhuǎn)體的體積或表面積的計(jì)算

反思：理解旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)過程,正確應(yīng)用軸截面和側(cè)面展開圖中不變的量是解題的關(guān)鍵。本題主要考查運(yùn)算能力、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

聚焦2：多面體的外接球中的“直接法”和“函數(shù)法”

例2(1)(2022 年高考天津卷改編)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底邊長分別為

反思：處理多面體的外接球問題的關(guān)鍵是確定球心的位置。求多面體的外接球的面積和體積問題的常用方法:①三條棱兩兩互相垂直時(shí),可恢復(fù)為長方體,利用長方體的體對角線為外接球的直徑,求出球的半徑;②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的對稱性,球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn),再根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑。

聚焦3：空間位置關(guān)系的判斷

例3(2022年新高考卷)(多選題)如圖1 所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( )。

圖1

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

解：因?yàn)镈A1//B1C,所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角。因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形,所以B1C⊥BC1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,A 正確。因?yàn)锳1B1⊥平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C,所以A1B1⊥BC1。因?yàn)锽1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1C。又A1C?平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,B正確。設(shè)A1C1∩B1D1=O,因?yàn)锽B1⊥平 面A1B1C1D1,C1O?平 面A1B1C1D1,所 以C1O⊥B1B。因 為C1O⊥B1D1,B1D1∩B1B=B1,所 以C1O⊥平 面BB1D1D,所以∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角。設(shè)正方體棱長為1,則,所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30°,C錯(cuò)誤。因?yàn)镃1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角。易得∠C1BC=45°,D 正確。應(yīng)選ABD。

反思：以正方體模型為載體,考查空間位置關(guān)系問題是高考命題的熱點(diǎn),因此同學(xué)們一定要重視。

聚焦4：傳統(tǒng)方法探究線線角、線面角以及二面角

例4(2022年高考浙江卷)如圖2,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點(diǎn)。記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F-BC-A的平面角為γ,則( )。

圖2

A.α≤β≤γB.β≤α≤γ

C.β≤γ≤αD.α≤γ≤β

反思：傳統(tǒng)方法作線線角、線面角、二面角的平面角的依據(jù)是利用定義得到的。利用直線的平行移動(dòng)可作出異面直線所成的角;求斜線和平面所成角的關(guān)鍵是尋找斜線在平面上的射影的位置;二面角的平面角是在棱上找一點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)作與棱垂直的直線所成的角。