直線、平面垂直的判斷及性質(zhì)中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

■石漢榮 劉大鳴(特級(jí)教師)

以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理,運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系,凸顯邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

一、與線、面垂直相關(guān)命題的判斷

例1下列命題中錯(cuò)誤的是( )。

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β

解析

對(duì)于A,設(shè)平面α∩β=a,設(shè)b?α,且b//a,顯然直線b?β,根據(jù)線面平行的判定定理得b//β,A 正確。對(duì)于B,如果α內(nèi)存在直線與β垂直,則由面面垂直的判定定理知平面α⊥β,這與已知矛盾,B 正確。對(duì)于C,設(shè)平面α∩γ=a,平面β∩γ=b,在平面γ內(nèi)作直線m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥α,n⊥β,由直線l?α,l?β,可得m⊥l,n⊥l,由α∩β=l,可得m,n為相交直線,所以l⊥平面γ,C 正確。對(duì)于D,平面α⊥β,設(shè)平面α∩β=a,在平面α內(nèi)與a平行的直線都不與平面β垂直,D 錯(cuò)誤。應(yīng)選D。

素養(yǎng)：與線、面垂直的相關(guān)命題的真假判斷問題,正確的需說明原因,不成立舉出反例即可。線線、線面、面面垂直的五個(gè)常用結(jié)論:若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線;若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這條直線與另一個(gè)平面也垂直;兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。

二、直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)

例2如圖1,已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為_____。

圖1

解析

過點(diǎn)P作PD,PE分別垂直于AC,BC于D,E,作PO⊥平面ABC于O。

因?yàn)镻O⊥平面ABC,所以PO⊥AC,所以AC⊥平面POD,所以AC⊥OD。同理,BC⊥OE。所以四邊形CDOE是矩形。

素養(yǎng)：證明直線和平面垂直的四種常用方法:判定定理;平行線的傳遞性(a//b,a⊥α?b⊥α);面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α//β?a⊥β);面面垂直的性質(zhì)。證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)。

三、平面與平面垂直的判斷與性質(zhì)

例3如圖2,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn)。過B1C1和點(diǎn)P的平面交AB于E,交AC于F。

圖2

證明:AA1//MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F。

證明：因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所 以MN//BB1。又AA1//BB1,所 以MN//AA1。

在等邊△ABC中,M為BC中點(diǎn),則BC⊥AM。因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為矩形,所以BC⊥BB1。因 為MN//BB1,所 以MN⊥BC。由MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,可得BC⊥平面A1AMN。

因?yàn)锽1C1//BC,且B1C1?平面ABC,BC?平面ABC,所以B1C1//平面ABC。因?yàn)锽1C1?平面EB1C1F,且平面EB1C1F∩平面ABC=EF,所以B1C1//EF,所以EF//BC。又因?yàn)锽C⊥平面A1AMN,所以EF⊥平面A1AMN。

因?yàn)镋F?平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN。

素養(yǎng)：在垂直關(guān)系的證明中,線線垂直是證明的核心,可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式(如勾股定理)證明線線垂直,也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直。判斷面面垂直的兩種方法:面面垂直的定義;面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)。

感悟與提高

若點(diǎn)P是兩條異面直線l,m外的任一點(diǎn),則( )。

A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都平行

B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直

C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都相交

D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都異面

提示:過點(diǎn)P與l,m都平行的直線不存在;過點(diǎn)P與l,m都垂直的直線只有一條;過點(diǎn)P與l,m都相交的直線最多有一條;過點(diǎn)P與l,m都異面的直線有無數(shù)條。應(yīng)選B。