立體幾何中軌跡問題的處理技巧與方法

■陳 婷

立體幾何中的軌跡問題,是立體幾何與解析幾何的知識(shí)交匯點(diǎn)。這類問題,立意新穎,重視不同知識(shí)的交叉與滲透,重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的考查與應(yīng)用,是培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好素材。

一、直接法

直接法就是直接利用立體幾何的相關(guān)知識(shí),合理分析和研究問題中各個(gè)元素之間的關(guān)系,或者直接利用軌跡定義進(jìn)行求解的方法。

例1如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是下列哪種線的一部分( )。

圖1

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系,直接得到動(dòng)點(diǎn)P到直線BC與到點(diǎn)C1的距離相等,再結(jié)合解析幾何中拋物線的定義,可得對(duì)應(yīng)的答案。

解：根據(jù)正方體的性質(zhì),可知C1D1⊥平面BCC1B1,所以動(dòng)點(diǎn)P到直線C1D1的距離與到點(diǎn)C1的距離相等。又動(dòng)點(diǎn)P到直線BC與到直線C1D1的距離相等,所以動(dòng)點(diǎn)P到直線BC與到點(diǎn)C1的距離相等。根據(jù)拋物線的定義,可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條拋物線的一部分。應(yīng)選D。

二、轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化法就是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,進(jìn)行合理“降維”處理,進(jìn)而應(yīng)用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識(shí)來分析與求解的方法。

例2(2022年高考北京卷)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合。設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為( )。

三、解析法

解析法就是利用解析幾何在研究軌跡方面的一整套比較完整的理論體系,通過坐標(biāo)法進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理的一種求軌跡的方法。解析法是解決立體幾何圖形的二維軌跡問題的常用方法之一。

例3(多選題)如圖2 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的 中 點(diǎn),點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),若PD1,PE與底面ABCD所成的角相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )。

圖2

A.圓的一部分

B.橢圓的一部分

C.經(jīng)過線段BC靠近B的三等分點(diǎn)

D.經(jīng)過線段CD靠近C的三等分點(diǎn)

分析：根據(jù)題意得DP=2PC,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)法進(jìn)行討論求解。

解：由正方體的性質(zhì)得DD1⊥平面ABCD,EC⊥平 面ABCD,所 以∠DPD1,∠CPE分別為PD1,PE與底面ABCD所成的角,所以∠DPD1=∠CPE。

圖3

四、性質(zhì)法

性質(zhì)法就是利用軌跡的相關(guān)知識(shí)來解決立體幾何中軌跡問題的一種基本方法。有些空間圖形的軌跡不一定是二維的,轉(zhuǎn)化為平面問題比較困難,這時(shí)可借助性質(zhì)法來處理。

例4已知棱長(zhǎng)為3 的正方體ABCDA1B1C1D1中,長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng),則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為____。

分析：不論△MDN如何變化,點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離始終等于1。從而點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)D為球心,半徑為1 的球的,由此可求出體積。

解：如圖4 所示,端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖4