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    構(gòu)造微分方程組的線性哈密頓結(jié)構(gòu)

    2023-04-19 11:55:57俊,章
    關(guān)鍵詞:哈密頓量哈密頓相空間

    吳 俊,章 海

    (安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)

    在經(jīng)典力學(xué)中,有限自由度的力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程通??梢员硎緸槔窭嗜樟縇=T-U的歐拉-拉格朗日方程,其中,T表示動(dòng)能,U表示勢(shì)能。運(yùn)動(dòng)方程也可以用哈密頓方程形式表示,即={f,H},其中,f是相空間上的任意不顯含時(shí)間的函數(shù),{,}是泊松括號(hào),H是系統(tǒng)的哈密頓量,常對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的總能量,但也有反例[1-2]。哈密頓量通??赏ㄟ^(guò)勒讓德變換從拉格朗日量獲得。一個(gè)給定的力學(xué)系統(tǒng)有無(wú)窮多個(gè)哈密頓量,它們不需要從拉格朗日量推導(dǎo)出。對(duì)于每一個(gè)選定的哈密頓量,都有無(wú)窮多個(gè)泊松括號(hào)使得哈密頓正則方程等價(jià)于系統(tǒng)的原始運(yùn)動(dòng)方程[3-5]。

    本文展示了辛結(jié)構(gòu)在構(gòu)造微分方程的哈密頓結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用,對(duì)于給定的守恒量可以當(dāng)作哈密頓量,且通過(guò)求解辛結(jié)構(gòu)滿足的充分必要方程可以得到適當(dāng)?shù)男两Y(jié)構(gòu),進(jìn)而可以構(gòu)造出系統(tǒng)的一組正則變量,從而得到力學(xué)系統(tǒng)的新的哈密頓量。利用勒讓德變換得到系統(tǒng)拉格朗日量,從而把原始微分方程表示為變分問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程。Torres del Castillo在哈密頓系統(tǒng)專(zhuān)著[6]中闡述了辛結(jié)構(gòu)與哈密頓正則變換的密切關(guān)系,[7]研究了可積哈密頓系統(tǒng)辛積分算法的數(shù)值不變環(huán)面。

    本文具體介紹了辛結(jié)構(gòu)及其性質(zhì),揭示了辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)之間的密切關(guān)系;同時(shí)考慮了四類(lèi)具體的微分方程,在知道守恒量后尋找適配的辛結(jié)構(gòu)和正則變量,從而得到系統(tǒng)的哈密頓表示和拉格朗日表示。此外,對(duì)于幾個(gè)可積系統(tǒng),本文推導(dǎo)了額外守恒量在正則坐標(biāo)下的表達(dá)式。

    1 辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)

    自由度為n的系統(tǒng)可由廣義坐標(biāo)q=(q1,q2,q3…,qn)和廣義動(dòng)量p=(p1,p2,p3…,pn)來(lái)描述,這些變量的全體構(gòu)成了系統(tǒng)的相空間{(q,p) }。通常相空間是位形空間M={q}的余切從T*M[6]。在T*M上坐標(biāo)(q,p)下,β=dpi∧dqi為T(mén)*M上的一個(gè)辛形式,于是T*M具有一個(gè)辛結(jié)構(gòu),其中(T*M,β)為辛流形。正則變換保持相空間的辛形式不變[8-11]。在正則坐標(biāo)下,哈密頓方程形式如

    式中H為力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)。如果(1)式右側(cè)不顯含時(shí)間,那么可以假設(shè)函數(shù)H不明顯地依賴(lài)于時(shí)間,則利用方程式(1)和求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒傻?0,可見(jiàn)H是系統(tǒng)的一個(gè)守恒量。

    類(lèi)似地,對(duì)于任意可微函數(shù)f=f(qi,pi),有

    這里{ ·,· }是泊松括號(hào)。如果xμ(μ=1,2,3,…,2n)是相空間的任意坐標(biāo)系,則兩個(gè)任意函數(shù)f和g的泊松括號(hào)表示如

    泊松括號(hào)滿足Jacobi恒等式,即對(duì)于相空間上任意函數(shù)φ,ψ,χ,有

    通過(guò)方程(2)和(3)可得

    從方程(4)可以看出,τμν是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣,即τμν=-τνμ,必須服從非線性偏微分方程(5)。若取坐標(biāo)為正則坐標(biāo)(x1,x2,x3,…,x2n)=(q1,q2,q3,…qn,p1,p2,p3,…,pn),則矩陣

    為標(biāo)準(zhǔn)辛矩陣,其中I是n階單位矩陣,此時(shí)方程(5)也成立。另一方面,根據(jù)達(dá)布定理,如果τμν是一個(gè)滿足方程(5)的非奇異反對(duì)稱(chēng)矩陣,則存在正則坐標(biāo)使得τμν具有(7)的形式[12]。如果2n×2n矩陣(τμν)可逆,其逆矩陣(ωμν)也是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)可逆矩陣,則方程(5)等價(jià)于下列偏微分方程:

    任何滿足這些條件的矩陣(ωμν)都是一個(gè)辛結(jié)構(gòu),則哈密頓方程等價(jià)于

    在力學(xué)中,通常可以借助于勒讓德變換來(lái)實(shí)現(xiàn)由力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日量得到系統(tǒng)的哈密頓量。換一種觀點(diǎn)看,力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)守恒量可以當(dāng)作哈密頓函數(shù),再適當(dāng)?shù)囟x泊松括號(hào)即辛結(jié)構(gòu),就可以得到系統(tǒng)的哈密頓表示。進(jìn)一步可以構(gòu)造系統(tǒng)在這種辛結(jié)構(gòu)下的共軛正則變量,并用正則變量來(lái)表示系統(tǒng)的哈密頓量和拉格朗日量。

    2 構(gòu)造四維系統(tǒng)的線性哈密頓結(jié)構(gòu)

    2.1 中心力場(chǎng)中的粒子

    考慮微分方程

    其中,ε是任意常數(shù),V(x)是任意可微函數(shù)。取相空間上的函數(shù)

    其使用了演化方程(10)。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)上述方程的一組特解為

    上述常值解亦滿足條件(8)中的偏微分方程。此外,對(duì)于任意的ε值,由方程(13)給出的反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)是非退化的,計(jì)算得到它的逆矩陣是

    這意味著在原坐標(biāo)下所有不為零的泊松括號(hào)是

    從而也可以得到系統(tǒng)(10)的變分表示。通過(guò)勒讓德變換,系統(tǒng)(10)的拉格朗日函數(shù)是

    將上述拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程,即可得到方程(10)的等價(jià)運(yùn)動(dòng)方程。

    2.2 坐標(biāo)分離型系統(tǒng)

    考慮運(yùn)動(dòng)方程(ε是任意常數(shù)):

    物理上這是雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。取函數(shù)

    通過(guò)觀察可以得到上述方程的一組特解:

    其也滿足方程(8)中的偏微分方程。由方程(19)給出的反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)是非退化矩陣,其逆矩陣是

    可見(jiàn)在相空間坐標(biāo)下所有不為零的泊松括號(hào)為

    顯然(x,y,px,py)不是辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo)??梢则?yàn)證下述這組變量:

    構(gòu)成辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo),其中Q1和P1,Q2和P2分別是兩對(duì)共軛變量。在正則坐標(biāo)下哈密頓量(17)表示為H=-εP1P2-cos2πQ1-cos2πQ2。

    通過(guò)勒讓德變換可推得相應(yīng)的拉格朗日量,即

    將L代入歐拉-拉格朗日方程,即可得到原方程(16)。

    2.3 具有四次多項(xiàng)式勢(shì)能的系統(tǒng)

    考慮下述帶有四個(gè)任意參數(shù)的微分方程組:

    其中a,b,c,ε是任意參數(shù)。取函數(shù)

    可驗(yàn)證此函數(shù)H是方程的一個(gè)守恒量。同樣設(shè)(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py),則方程(9)即為

    通過(guò)觀察,可知上述方程有一組特解為

    其自然滿足方程(8)。對(duì)于任意的ε值,反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)非退化,其逆矩陣是

    2.4 一個(gè)具有超越守恒量的可積系統(tǒng)

    考慮方程(ε是任意常數(shù)):

    同樣記變量(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py),根據(jù)方程(9)可以得

    上述方程有一組特解ω12=0,ω13=-,ω14=-,ω23=-,ω24=0,ω34=0,這組解也滿足方程(8)。反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)非退化,其逆矩陣為

    由此得到相空間坐標(biāo)下不為零的泊松括號(hào)是{x,py}=2,{y,px}=3,{y,py}=-ε,顯然(x,y,px,py)不是辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo),變量Q1=x,Q2=y,P1=構(gòu)成一組正則坐標(biāo)。利用它們可以將方程(26)的哈密頓量表達(dá)為

    方程(26)的哈密頓量(27)屬于常規(guī)的動(dòng)能加勢(shì)能類(lèi)型,即自然型系統(tǒng)。此系統(tǒng)超可積,具有兩個(gè)額外守恒量,只能用拋物柱面函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于方程[14]y″(x)+=0,兩個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)解是朗斯基行列式W+(a,x),W-(a,x)=W+(a,-x),其中W+和W-的朗斯基行列式等于1,方程中的W′+表示對(duì)px的微分,E表示哈密頓函數(shù)H。它的兩個(gè)額外守恒量是

    同樣可利用上述定義的辛結(jié)構(gòu)的正則坐標(biāo)來(lái)表示系統(tǒng)(26)的額外守恒量,即(28)和(29)的守恒量

    3 結(jié)論

    ROUBTSOV等[15]和HOLM[16]介紹了泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)、矩映射、哈密頓作用,還討論了相空間約化和泊松-李結(jié)構(gòu),這些與可積系統(tǒng)都有密切聯(lián)系。給定一個(gè)n自由度的力學(xué)系統(tǒng),至少存在(2n-1)個(gè)獨(dú)立的(局部)運(yùn)動(dòng)積分。本文對(duì)幾類(lèi)運(yùn)動(dòng)方程尋找首次積分,適當(dāng)定義相空間的辛結(jié)構(gòu),并得到系統(tǒng)的哈密頓量。然后通過(guò)勒讓德變換找到系統(tǒng)的拉格朗日量,本文方法構(gòu)造系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵,辛結(jié)構(gòu)要滿足復(fù)雜的偏微分方程組(8)。這組方程的制約是研究工作的難點(diǎn),也是今后進(jìn)一步調(diào)查研究的一個(gè)方向。

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