特殊四邊形運(yùn)動(dòng)型問題探究

張穎

動(dòng)點(diǎn)問題是近幾年各地中考的熱點(diǎn)，特殊四邊形存在性問題是其中一類常見題型.下面帶領(lǐng)同學(xué)們探究此類問題的常見考點(diǎn)及解題思路.

考點(diǎn)提煉

考點(diǎn)1：特殊四邊形的判定定理

解題思路：結(jié)合分類標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，尋找四邊形確定位置.對(duì)于平行四邊形，當(dāng)已知線段為邊時(shí)，通常使用定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，先將直尺的邊緣與已知邊重合擺放，通過平移直尺找到合適位置.當(dāng)已知線段為對(duì)角線時(shí)，通常使用定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，先將直尺過已知線段中點(diǎn)擺放，通過旋轉(zhuǎn)找到合適位置.對(duì)于矩形，通常使用定理“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，先構(gòu)造直角三角形，再構(gòu)造平行四邊形.對(duì)于菱形，通常使用定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，先構(gòu)造等腰三角形，再構(gòu)造平行四邊形.

易錯(cuò)點(diǎn)：不能靈活有效地利用題目中的已知條件結(jié)合判定定理構(gòu)造所求圖形；構(gòu)造過程中情況分析不完整，存在丟解的情況.

解題要點(diǎn)：在分析題目時(shí)關(guān)注已知線段與未知線段的數(shù)量位置關(guān)系，尋找四邊形確定位置.當(dāng)已知線段為邊時(shí)，利用直尺從已知位置向不同方向平移，動(dòng)態(tài)觀察對(duì)邊長(zhǎng)度變化趨勢(shì).當(dāng)已知線段為對(duì)角線時(shí)，利用直尺繞已知線段中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，動(dòng)態(tài)觀察另一條對(duì)角線是否可以達(dá)到被平分的效果，最終確定圖形位置.

考點(diǎn)2：特殊四邊形的性質(zhì)定理

解題思路：對(duì)于平行四邊形運(yùn)動(dòng)問題通常使用以下兩條性質(zhì)進(jìn)行求解：“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”.從圖形中抽取出一組線段，利用其數(shù)量及位置關(guān)系進(jìn)一步構(gòu)造全等三角形或相似三角形，最終通過對(duì)應(yīng)邊關(guān)系求解問題.而矩形和菱形是特殊的平行四邊形，在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)通常將矩形分解成直角三角形和平行四邊形，將菱形分解成等腰三角形和平行四邊形.

易錯(cuò)點(diǎn)：方法選擇不當(dāng)，運(yùn)算復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算準(zhǔn)確率低.

解題要點(diǎn)：利用圖形性質(zhì)，尋求變化過程中一組線段的不變數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)行合理求解.

真題精講

例1 （2022·重慶）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=-34x2+bx+c]與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求[PM+65AM]的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于拋物線[y=-34x2+bx+c]的對(duì)稱軸對(duì)稱．將拋物線[y=-34x2+bx+c]向右平移，使新拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)C在新拋物線上，點(diǎn)D在l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，P′，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)的過程寫出來．

分析：（1）將點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程組即可；

（2）利用△AQM∽△AOB，得 [AM=53MQ]，設(shè)P [p，-34p2+bp+c]，用含p的代數(shù)式表示出[PM+65AM]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；

（3）先求出新拋物線的解析式，再利用已知線段AP'分別為邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論，用對(duì)邊平行且相等構(gòu)造全等三角形列方程（組），從而解決問題．

解：（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為[y=-34x2+94x+3].

（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA = 4，OB = 3. 由勾股定理得AB? =? 5.

∵PQ⊥OA，∴PQ[?]OB，∴△AQM ∽ △AOB，∴[AMAB=MQOB]，

∴[AM=53MQ]，∴[PM+65AM=PM+2MQ].

∵B（0，3），A（4，0），∴直線AB的解析式為[y=-34x+3].

設(shè)P [p，-34p2+94p+3]，M [p，-34p+3]，Q（p，0），

∴[PM+2MQ=-34p2+32p+6=-34p-12+274].

∵[-34<0]，∴拋物線開口向下.

∵0 < p < 4，

∴當(dāng)p? =? 1時(shí)，[PM+65AM]的最大值為[274]，此時(shí)P [1，92] .

（3）[y=-34x2+94x+3=-34x-322+7516]，

所以拋物線對(duì)稱軸為直線x? =? [32]，

∴P'[2，92] .

由題意知新拋物線的對(duì)稱軸為直線x? =? 4，

∴平移后拋物線解析式為[y=-34x-42+7516=-34x2+6x-11716].

設(shè)D（4，m），C [n，-34n2+6n-11716]，

①如圖2，AP'為對(duì)角線時(shí)，AP'與CD互相平分，

∴[2+4=4+n，0+92=m-34n2+6n-11716.]

∴[n=2，m=4516.] ∴D [4，4516].

②如圖3，AP'為邊時(shí)，AP'與CD平行且相等，

可得D [4，- 4516]或[4，9916].

綜上，D [4，4516]或[4，- 4516]或[4，9916]．

點(diǎn)評(píng)：此題點(diǎn)D的位置雖然不確定，但是由于點(diǎn)D和點(diǎn)A同時(shí)在對(duì)稱軸上，所以也可以以AD為邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論.

總結(jié)提升

解特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問題，應(yīng)先根據(jù)題目特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，再利用相關(guān)判定定理，尋找四邊形的確定位置，最后利用四邊形性質(zhì)靈活求解.

專題精練

例2 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線[y=-x2+bx+c]與直線AB交于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn). 是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解析：易得拋物線的解析式為[y=-x2+4x]，直線AB的解析式為[y=-x+4]，C（1，3）.

①如圖5，若AC是矩形的邊，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)R（2，2），過點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)P1，P2，可得CD2 + CR2 = DR2，∴∠RCD = 90°，∴點(diǎn)P1與點(diǎn)D重合，當(dāng)CP1[?]AQ1，CP1 = AQ1時(shí)，四邊形ACP1Q1是矩形，則P1（2，4），Q1（5，1），此時(shí)直線P1C的解析式為y = x + 2. 可得P2A的解析式為y = x - 4，由點(diǎn)P2是直線y = x - 4與拋物線[y=-x2+4x]的交點(diǎn)，可得P2（-1，-5），則Q2（-4，-2）.

②如圖6，若AC是矩形的對(duì)角線，設(shè)P3（m，-m2 + 4m），當(dāng)∠AP3C = 90°時(shí)，過點(diǎn)P3作P3H⊥x軸于H，過點(diǎn)C作CK⊥P3H于K，∴∠P3KC = ∠AHP3 = 90°，∠P3CK = ∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴[P3KCK=AHP3H]，∴[-m2+4m-3m-1=4-m-m2+4m]，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，∴m ≠ 1且m ≠ 4，∴m2 - 3m + 1 = 0，∴[m=3±52].

∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即[P33+52，5+52 ，P43-52，5-52]，由平移可得[Q37-52， 1-52]，[Q47+52，1+52].

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，1）或（-4，-2）或[7-52， 1-52]或[7+52，1+52]．

（作者單位：大連理工大學(xué)附屬學(xué)校）