拋物線中平行四邊形存在性問(wèn)題探究

毛麗麗

拋物線背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，常見(jiàn)的考查類型有兩種：一是已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求解第四個(gè)頂點(diǎn)，即“三定一動(dòng)”型；二是已知平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，求解其余兩個(gè)頂點(diǎn)，即“兩定兩動(dòng)”型.下面與同學(xué)們探究此類問(wèn)題的解題策略.

考點(diǎn)提煉

考點(diǎn)1：“三定一動(dòng)”型

例1 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C是不在同一直線上的三點(diǎn)，點(diǎn)D是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

解題思路：分類—畫(huà)圖—計(jì)算

易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)畫(huà)圖，或者畫(huà)圖不全面，或者計(jì)算復(fù)雜，導(dǎo)致漏解錯(cuò)解.

解題要點(diǎn)：（1）分類：①以AB，BC為邊（或以AC為對(duì)角線）；②以AC，BC為邊（或以AB為對(duì)角線）；③以AB，AC為邊（或以BC為對(duì)角線）.

（2）畫(huà)圖：

方法1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，據(jù)此作平行線即可得平行四邊形.

如圖1，連接AB，BC，AC，分別過(guò)點(diǎn)A，B，C作其對(duì)邊的平行線，三條直線的交點(diǎn)為D1，D2，D3，則四邊形ABCD1，ACBD2，ABD3C均為平行四邊形．

方法2：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據(jù)此倍長(zhǎng)中線即可得平行四邊形.

如圖2，延長(zhǎng)AC，AB，BC邊上的中線，使延長(zhǎng)部分與中線相等，得到點(diǎn)D1，D2，D3，連接D1D2，D1D3，D2D3. 則四邊形ABCD1，ACBD2，ABD3C均為平行四邊形．

（2）計(jì)算：以求解D1為例，設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D1（xD1，yD1）.

方法1：如圖3，過(guò)點(diǎn)A，D1分別作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B，C分別作x軸的平行線，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn). 由AB[?]CD1，AB = CD1得△ABE ≌ △D1CF，∴CF = BE，D1F = AE，即xD1 - xC = xA - xB，yD1 - yC = yA - yB.由此可求得D1的坐標(biāo)為（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

方法2：如圖4，設(shè)點(diǎn)M為AC，BD1中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，[xA+xC2=xM=xB+xD12]，[yA+yC2=yM=yB+yD12]（若對(duì)中點(diǎn)坐標(biāo)公式不熟悉，可結(jié)合圖5理解），由此可求得D1的坐標(biāo)為（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

綜上，無(wú)論利用平行四邊形何種判斷方法畫(huà)圖，都可得到平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求得第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

其實(shí)，在“三定一動(dòng)”型題目中，我們還常見(jiàn)到一種簡(jiǎn)單情況，如已知A，B，C三個(gè)定點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)尋找點(diǎn)D，使得四邊形ABCD為平行四邊形，此種題目為確定問(wèn)題，無(wú)須再分類，為上述考點(diǎn)分類中的一種情況.

考點(diǎn)2：“兩定兩動(dòng)”型

例2 如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C為某直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是某拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo).

解題思路：分類—畫(huà)圖—計(jì)算.

易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)畫(huà)圖，畫(huà)圖不全面，或者計(jì)算復(fù)雜，導(dǎo)致漏解錯(cuò)解.

解題要點(diǎn)：（1）分類：①以AB為邊；②以AB為對(duì)角線.

（2）畫(huà)圖：可先將直線上點(diǎn)C位置確定，再尋找滿足條件的點(diǎn)D.當(dāng)以AB為邊時(shí)，利用與AB平行且相等畫(huà)CD，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的平行四邊形；當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，取AB中點(diǎn)M，利用DM = CM，畫(huà)出點(diǎn)D，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的平行四邊形.

（3）計(jì)算：從上述畫(huà)圖過(guò)程可知，將“兩定兩動(dòng)”型轉(zhuǎn)化為“三定一動(dòng)”型，進(jìn)而借助考點(diǎn)1的計(jì)算方法即可求點(diǎn)D的坐標(biāo).

真題精講

例3 （2022·遼寧·阜新）已知二次函數(shù)[y=-x2+bx+c]的圖象交x軸于點(diǎn)A（ - 1，0），B（5，0），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知P是拋物線上一點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：（1）用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)表達(dá)式為[y=-x2+4x+5].

（2）由（1）得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），直線BC的表達(dá)式為：[y=-x+5].借助考點(diǎn)2的解題思路和要點(diǎn)分析問(wèn)題.

根據(jù)兩動(dòng)點(diǎn)所滿足的函數(shù)關(guān)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（[m]，[-m2+4m+5]），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（[n]，[-n+5]）.

如圖7，以AC為邊，探究點(diǎn)Q在線段BC上，畫(huà)圖得平行四邊形AQ1P1C.

則有[-1+m=0+n，0+（-m2+4m+5）=5+（-n+5） ，]解得[m1=2，n1=1，][m2=3，n2=2.]

如圖8，以AC為邊，探究點(diǎn)Q在線段CB的延長(zhǎng)線上，畫(huà)圖得平行四邊形AP2Q2C.

則有[-1+n=0+m，0+（-n+5）=5+（-m2+4m+5） ，]

解得[m1=6，n1=7，][m2=-1，n2=0.]（不符合題意，舍去）

如圖9，以AC為對(duì)角線，探究點(diǎn)Q在直線BC上，最終當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)畫(huà)圖得平行四邊形AP3CQ3.

則有[-1+0=m+n，0+5=（-m2+4m+5）+（-n+5） ，]解得[m1=6，n1=-7，] [m2=-1，n2=0.]（不符合題意，舍去）

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，4），（2，3），（7， - 2），（ - 7，12）.

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)平行四邊形的探究開(kāi)放性強(qiáng)，有一定難度，解題第一個(gè)關(guān)鍵步驟是在明確分類的情況下畫(huà)圖探究，第二個(gè)關(guān)鍵步驟是用含字母的代數(shù)式表達(dá)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，借助平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解決問(wèn)題.

總結(jié)提升

拋物線背景下平行四邊形存在性問(wèn)題，從“幾何角度”切入問(wèn)題，以邊、對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形畫(huà)出圖形，然后再利用相對(duì)頂點(diǎn)（可簡(jiǎn)稱對(duì)點(diǎn)）坐標(biāo)間關(guān)系列出方程組求解，這種數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是一種常用方法.隨著解題經(jīng)驗(yàn)越來(lái)越豐富，我們可以將數(shù)形結(jié)合的方法簡(jiǎn)化為盲解盲算的代數(shù)方法，可以簡(jiǎn)稱為“對(duì)點(diǎn)法”. 無(wú)論是“三定一動(dòng)”型，還是“兩定兩動(dòng)”型，甚至是“四動(dòng)”，都可以用對(duì)點(diǎn)法直接計(jì)算.

具體做法如下：對(duì)于以A，B，C，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B相對(duì)時(shí)，可得[xA+xB=xC+xD，yA+yB=yC+yD;]當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C相對(duì)時(shí)，可得[xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD;]當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C相對(duì)時(shí)，可得[xB+xC=xA+xD，yB+yC=yA+yD.]利用以上方程組即可得到所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).這種從“代數(shù)角度”思考解決問(wèn)題的方法，不易漏解，而且動(dòng)點(diǎn)越多優(yōu)越性越明顯. 同時(shí)應(yīng)該注意題目中頂點(diǎn)位置的特殊性，若其中一邊與y軸平行，除用上述通法解決問(wèn)題，還可利用特殊解法求解.

專題精練

如圖10，已知二次函數(shù)[y=-38x2+bx+c]的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C，與y軸交于點(diǎn)B，直線[y=34x+3]經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AB中點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使得以C，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以C，D，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：（1）[b=-34]，[c=3]；

（2）存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為[4，32] ，[0，-32]， [-4， 92]；

（3）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為[1，158]， [3，-218]， [-5，-218].

（作者單位：沈陽(yáng)市于洪區(qū)教育研究中心）