巧借整體思想優(yōu)化數(shù)學(xué)思維

錢 怡

?江蘇省常熟中學(xué)

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師若僅就題論題，不關(guān)注問題的整體結(jié)構(gòu)，將難以應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于用典型的綜合題來引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕忸}思路和解題方法來解決難題，進(jìn)而讓學(xué)生擺脫枯燥的死記硬背和生搬硬套，提升學(xué)生的綜合能力[1].

利用整體思想從整體和大局出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征從整體去分析和思考，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)化繁為簡、化難為易的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生厘清思維障礙，從而成功解決問題.

1 整體思想應(yīng)用的重要性

首先，整體思想著眼于全局，重視整體的開發(fā)和改造，使題目經(jīng)過開發(fā)和改造后結(jié)構(gòu)特點(diǎn)更加清晰，使解題思路更加明朗，有利于解題效率的提升.

其次，運(yùn)用整體思想解題時(shí)往往采用整體代入、整體換元等方法進(jìn)行求解，使復(fù)雜的問題通過構(gòu)造和轉(zhuǎn)化變成了一個(gè)整體，這在優(yōu)化解題步驟、優(yōu)化數(shù)學(xué)思維上都是一個(gè)較大的提升.

最后，整體思想作為常用的解題技巧，在高中數(shù)學(xué)中被廣泛地應(yīng)用，如幾何證明、代數(shù)式的求值等，可以幫助學(xué)生厘清解題思路，使解題變得游刃有余.

2 整體思想應(yīng)用面臨的問題

運(yùn)用整體思想解題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析能力、構(gòu)造能力和推理能力，而這些能力往往是學(xué)生較為欠缺的.究其原因主要是在日常教學(xué)中，學(xué)生習(xí)慣于“灌輸式”的強(qiáng)化訓(xùn)練，習(xí)慣于就題論題，缺乏整體的建構(gòu)能力和分析能力，因此在遇到利用整體思想來解題的問題時(shí)顯得力不從心，整體思想的應(yīng)用步履維艱.基于此，教師的教學(xué)形式和學(xué)生的學(xué)習(xí)形式都應(yīng)該有所改變，應(yīng)使教學(xué)由“重知識(shí)”向“重能力”轉(zhuǎn)化，使學(xué)習(xí)由“被動(dòng)學(xué)”變?yōu)椤爸鲃?dòng)思”.

在教學(xué)中，教師要仔細(xì)分析教材，研究章節(jié)間的聯(lián)系，善于從整體出發(fā)，讓學(xué)生先對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有個(gè)大輪廓的了解，之后再從局部出發(fā)進(jìn)行知識(shí)的內(nèi)化，以此引導(dǎo)學(xué)生從宏觀上去把握知識(shí)，樹立宏觀意識(shí)，為知識(shí)體系的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).

3 整體思想應(yīng)用的教學(xué)實(shí)踐

3.1 整體代入

高考主要考查學(xué)生的綜合能力，高考中若出現(xiàn)代入法求值的問題時(shí)，往往不是簡單代入就可以直接求解的，其主要考查的應(yīng)是學(xué)生的整體代入思想，因此若在求解時(shí)發(fā)現(xiàn)其計(jì)算量大或很難求解，就必須對(duì)比已知和結(jié)論，從已知和結(jié)論中找到聯(lián)系，進(jìn)而通過整體代入實(shí)現(xiàn)化難為簡.

分析：如果求解時(shí)直接應(yīng)用代入法，雖思路簡單但求解困難，故該方法不可取.

3.2 整體換元

換元是數(shù)學(xué)解題的常用手段，通過換元可以實(shí)現(xiàn)降次、化分為整、化繁為簡的目的，其在方程、函數(shù)、三角問題中的應(yīng)用較多.

例2求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

評(píng)注：此題是利用sinx與cosx的平方關(guān)系，將sinx+cosx看成整體，令sinx+cosx=t，通過換元和轉(zhuǎn)化，使之成為二次函數(shù)求最值的問題，從而實(shí)現(xiàn)了化繁為簡.

3.3 設(shè)而不求

“設(shè)而不求”是整體思想的重要應(yīng)用，運(yùn)用該方法可以將學(xué)生從復(fù)雜的運(yùn)算中解放出來，通過整體分析、聯(lián)想輕松地解決問題，從計(jì)算求解升華至分析求解，有利于解題思路的優(yōu)化.

例3過圓外一點(diǎn)P(a,b)引圓x2+y2=R2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，求直線AB的方程.

根據(jù)已知條件求兩切點(diǎn)所在的直線方程首先想到的就是兩點(diǎn)式，但求兩切點(diǎn)坐標(biāo)非常復(fù)雜，故教師帶領(lǐng)學(xué)生選擇了其他解決方法.

師：若不求切點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件你能寫出兩切線的方程嗎？(小組合作求解)

生1：設(shè)兩切點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則切線方程為x1x+y1y=R2，x2x+y2y=R2.

師：根據(jù)已知，兩切線過點(diǎn)P(a,b)，則有x1a+y1b=R2，x2a+y2b=R2.根據(jù)以上信息你能寫出直線AB的方程嗎？

學(xué)生通過觀察，得出直線AB的方程為ax+by=R2.

上述兩種解法都應(yīng)用了“設(shè)而不求”的整體思想，通過“設(shè)”為已知和未知架橋鋪路.通過整體觀察、分析，規(guī)避求解的過程，這樣既節(jié)省了時(shí)間又避免了解題過程中可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，有利于提高解題準(zhǔn)確率.

3.4 整體構(gòu)造

數(shù)學(xué)題目具有一定的結(jié)構(gòu)特征，有些結(jié)構(gòu)是“顯性”的，學(xué)生可以直接利用原有認(rèn)知進(jìn)行求解，而有些結(jié)構(gòu)是“隱性”的，需要結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)模型.對(duì)隱性特征的轉(zhuǎn)化需要學(xué)生從整體去發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造.

例4sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是( ).

題目乍看上去應(yīng)該是應(yīng)用正余弦的和或差公式求解，然仔細(xì)分析卻不能直接應(yīng)用，若進(jìn)一步轉(zhuǎn)化合并求解則會(huì)大大地增加計(jì)算量.根據(jù)題目特點(diǎn)可以嘗試應(yīng)用構(gòu)造法求解.

解：設(shè)a=sin20°cos70°+sin10°sin50°，b=cos20°sin70°+cos10°cos50°，則

a+b=sin90°+cos40°=1+cos40°；

評(píng)注：因本題缺乏直接應(yīng)用公式的條件，但已知條件是對(duì)稱的，故可通過構(gòu)造b使之與公式建立聯(lián)系，進(jìn)而整體求解，使解題獲得了事半功倍的效果.

3.5 整體聯(lián)想

整體聯(lián)想主要考查的是學(xué)生的思維能力和思維習(xí)慣，通過聯(lián)想、分析，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而拓展解題思路，提升解題效率.

依據(jù)常規(guī)解題方法應(yīng)先求出a，b的值，然后分四種情況進(jìn)行討論，運(yùn)算量較大，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，故可嘗試從整體入手分析.

評(píng)注：求解時(shí)從結(jié)論入手，將結(jié)論進(jìn)行通分轉(zhuǎn)化，通過觀察、分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)將a+b和ab分別看成整體，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，可避免繁瑣的分類討論，既節(jié)省了解題時(shí)間又優(yōu)化了解題步驟和思路.

總之，數(shù)學(xué)題目多變，數(shù)學(xué)解題方法亦是如此，在解題時(shí)要避免就題論題的生搬硬套，要善于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力和總結(jié)歸納能力，進(jìn)而從重知識(shí)向重技能轉(zhuǎn)變，以此來提高解題能力，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，提升創(chuàng)造力.