單元整體視角下“對數(shù)函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)的探討

鐘苑明

?東莞市松山湖北區(qū)學(xué)校

1 引言

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的標(biāo)志是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步構(gòu)建起系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)和全息化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就要求廣大一線教師更需要注重知識前后的連續(xù)性和整體性[1].單元整體教學(xué)是在實(shí)際教學(xué)過程中合理地構(gòu)建單元整體教學(xué)模式，以完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系為目標(biāo)，有機(jī)地將教學(xué)模塊進(jìn)行組織與構(gòu)成，從而更好地促進(jìn)學(xué)生知識的內(nèi)化，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率[2].對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的延續(xù)，是研究現(xiàn)實(shí)問題重要的數(shù)學(xué)工具，是高中階段重要的函數(shù)模型之一.鑒于此，本文基于單元整體教學(xué)的視角，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，形成如下“對數(shù)函數(shù)”概念的教學(xué)過程.

2 教學(xué)目標(biāo)

“對數(shù)函數(shù)”是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，是繼指數(shù)函數(shù)之后的重要初等函數(shù)之一.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，無論是知識角度還是思想方法角度，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都具有共通之處，因此在教學(xué)上可通過類比指數(shù)函數(shù)的研究過程，來研究對數(shù)函數(shù).基于上述分析，以單元整體教學(xué)為背景，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及學(xué)生的知識基礎(chǔ)和思維水平，確定如下教學(xué)目標(biāo).

(1)通過解決現(xiàn)實(shí)問題，感受對數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景與引入的必要性，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

(2)經(jīng)歷對數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu)過程，理解對數(shù)函數(shù)的概念.感受從特殊到一般、具體到抽象以及類比等數(shù)學(xué)思想在研究函數(shù)過程中的作用，提高數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

(3)通過例題的分析與練習(xí)，掌握辨析對數(shù)函數(shù)解析式和求解對數(shù)函數(shù)定義域的方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過解決實(shí)際問題，感悟數(shù)學(xué)源于生活、用于生活的價(jià)值，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3 教學(xué)重難點(diǎn)

基于上述分析，筆者將本節(jié)課的重點(diǎn)設(shè)置為對數(shù)函數(shù)的概念，難點(diǎn)為概念建立的過程.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，可以通過創(chuàng)設(shè)一個具體的指數(shù)函數(shù)模型的情境，引入對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí).結(jié)合指數(shù)與對數(shù)互為逆運(yùn)算的關(guān)系，借助函數(shù)的定義進(jìn)行說明，再從特殊到一般，抽象概括出對數(shù)函數(shù)的概念，借此突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

4 教學(xué)過程

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問題情境：1980年在新疆樓蘭地區(qū)出土了一具木乃伊，考古學(xué)家們經(jīng)過三年努力，于2004年7月將這一具距今3 800年的古樓蘭女木乃伊頭像在沈陽成功復(fù)原.此次復(fù)原的是她18歲時(shí)的容貌.請問考古學(xué)家們是如何推算出樓蘭美女的年代的呢？

問題1如果已知該木乃伊碳14的含量y，那么如何得到生物死亡經(jīng)過的年數(shù)x呢？

問題2死亡年數(shù)x是碳14含量y的函數(shù)嗎？

引導(dǎo)：判斷x是否為y的函數(shù)，可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象以及函數(shù)的定義進(jìn)行說明.

追問：依據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和函數(shù)的定義怎么進(jìn)行判斷呢？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過一個自然而真實(shí)的問題，引導(dǎo)學(xué)生感受對數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景以及引入對數(shù)函數(shù)的必要性，為抽象出對數(shù)函數(shù)的概念作準(zhǔn)備.問題1是為了引導(dǎo)學(xué)生從另一個角度研究同一問題的變化規(guī)律，學(xué)生通過這種并列結(jié)合的學(xué)習(xí)，能夠從貌似無關(guān)的兩個概念中發(fā)現(xiàn)它們某些共同的關(guān)鍵特征.根據(jù)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生回答問題2時(shí)都不會經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎?，直接回答“是?因此在問題2提出之后，教師給出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與追問，最后通過圖象的形式直觀呈現(xiàn)出二者的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想.

4.2 合作交流，形成概念

問題3如果將底數(shù)換成其他常數(shù)，x還是y的函數(shù)嗎？如：x=log2y，x=log3y，……

問題4這類函數(shù)有怎樣的一般表示形式呢？

追問1：聯(lián)系指數(shù)函數(shù)內(nèi)容，底數(shù)a的取值有什么要求嗎？函數(shù)的定義域又是什么？請說明理由.

追問2：類比指數(shù)函數(shù)，如何定義對數(shù)函數(shù)？

師生活動：由特殊到一般，學(xué)生抽象出這類函數(shù)的一般表示形式為x=logay.教師提示，在數(shù)學(xué)中習(xí)慣把x作為自變量，y作為因變量，因此把x=logay改為y=logax.教師引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，可以得到底數(shù)a>0，且a≠1.由于同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的因變量變成了對數(shù)函數(shù)的自變量，因此對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞).在形成概念的過程中，以學(xué)生討論交流為主，通過合作學(xué)習(xí)得出問題的答案，采用類比的思想方法，形成對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，+∞).

設(shè)計(jì)意圖：著名的教育家烏申斯基認(rèn)為，在教學(xué)論中，比較(類比、對比)應(yīng)當(dāng)是一種基本的方法[3].類比指數(shù)函數(shù)概念的形成過程，由學(xué)生先歸納出對數(shù)函數(shù)的一般形式，再通過問題鏈的形式，引導(dǎo)學(xué)生一步步完善并得到對數(shù)函數(shù)的概念.這種方式可以充分發(fā)揮學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念，有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力與知識遷移能力.

4.3 例題演練，鞏固新知

例1給出下列函數(shù)：

①y=2log2x；②y=log3(x+1)；

③y=logπx；④y=log2x+1.

其中是對數(shù)函數(shù)的有( ).

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

變式1下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的有：.

①y=lnx；②y=loga2x(a>0且a≠1)；

變式2a為何值時(shí)，函數(shù)f(x)=(a2+a-5)·logax是對數(shù)函數(shù)？

師生活動：對于例1，教師引導(dǎo)學(xué)生從對數(shù)函數(shù)的概念出發(fā)，強(qiáng)調(diào)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別.通過對例1的分析，變式1與變式2由學(xué)生自主完成.最后，讓學(xué)生總結(jié)判斷一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，要注意“①對數(shù)符號前面的系數(shù)為1；②底數(shù)為不等于1的正常數(shù)；③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x”.

設(shè)計(jì)意圖：通過例1加深學(xué)生對數(shù)函數(shù)的理解.根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計(jì)變式1和變式2，可以讓學(xué)生更加充分地認(rèn)識對數(shù)函數(shù)的本質(zhì)特征，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

例2求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=ln(1-x)；

(2)y=loga|x|(a>0且a≠1).

(3)y=log(x-3)(x+1).

師生活動：對于例2，提示學(xué)生這些雖然不是對數(shù)函數(shù)，但與對數(shù)函數(shù)緊密相關(guān)，求這些函數(shù)的定義域時(shí)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的概念.教師展示學(xué)生解答，并對易錯點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)評.最后由學(xué)生總結(jié)求對數(shù)型函數(shù)定義域的一般步驟——①根據(jù)概念列出限制條件；②解不等式組，用集合或區(qū)間的形式寫出函數(shù)的定義域.

設(shè)計(jì)意圖：通過求相關(guān)函數(shù)的定義域，加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零的印象，這是學(xué)生容易忽略的一個地方.同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)的印象，加深對對數(shù)函數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例3假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過t年后物價(jià)為w.

(1)該地物價(jià)經(jīng)過幾年翻一番？

(2)填寫表格，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，說明物價(jià)變化規(guī)律.

物價(jià)w12345678910年數(shù)t0

師生活動：教師給出現(xiàn)實(shí)背景問題，引導(dǎo)學(xué)生理解題意.

設(shè)計(jì)意圖：例3讓學(xué)生再次體會指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律，使學(xué)生進(jìn)一步深化對概念的理解.運(yùn)用對數(shù)函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問題，回歸生活，在課堂有效落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時(shí)提高學(xué)生分析與解決問題的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識得到提升，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

4.4 課堂小結(jié)

問題5 回顧本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容并思考：為什么學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)？研究對數(shù)函數(shù)的方法是什么？利用對數(shù)函數(shù)可以解決什么問題？(課堂小結(jié)如圖2)

設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，讓學(xué)生體會到已有經(jīng)驗(yàn)對研究類似對象的作用，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，再次鞏固本節(jié)課所學(xué)知識和所用到的數(shù)學(xué)思想方法并且加強(qiáng)學(xué)生對知識的運(yùn)用能力.

4.5 目標(biāo)檢測

(1)已知函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù)，且f(3)=1，則f(9)的值為.

(2)求函數(shù)y=log2(x-1)+log2(x+1)的定義域，并判斷其奇偶性.

(3)課本第131頁第2，3題.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對對數(shù)函數(shù)概念的理解；考查對數(shù)函數(shù)定義域并復(fù)習(xí)上一章內(nèi)容.

5 教學(xué)感悟

本節(jié)課是一節(jié)單元教學(xué)課，課堂設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮將這個單元的不同知識、思想方法融合到一節(jié)課，從而實(shí)現(xiàn)培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).經(jīng)過本節(jié)課的教學(xué)，筆者得出如下兩點(diǎn)感悟.

5.1 注重知識聯(lián)系，優(yōu)化整合教學(xué)方案

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是一個具有連續(xù)性和階段性的過程，它是跨課時(shí)、跨單元、甚至是跨學(xué)科主線的過程.而基于課時(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)是屬于微觀層面的教學(xué)設(shè)計(jì)，很難充分發(fā)揮出學(xué)科育人功能[4].單元教學(xué)的突出特點(diǎn)就是打破知識學(xué)習(xí)碎片化的教學(xué)，有效培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).本節(jié)課以一個自然而真實(shí)的情境引入，使學(xué)生主動聯(lián)想到前面指數(shù)函數(shù)的知識，繼而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.在對數(shù)函數(shù)概念的構(gòu)建與完善過程中，引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)的定義以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來說明死亡年數(shù)x是碳14含量y的函數(shù)，聯(lián)系指數(shù)式與對數(shù)式的互化，得到對數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的定義域.從引入到概念的構(gòu)建，充分體現(xiàn)了單元教學(xué)能夠有效幫助學(xué)生在頭腦中形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu).

5.2 踐行以生為本理念，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

為了實(shí)現(xiàn)在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要時(shí)刻提醒自己在課堂教學(xué)中的角色定位，牢記學(xué)生的主體地位，教師作為引導(dǎo)者、啟發(fā)者，通過恰當(dāng)?shù)膯栴}推動課程的進(jìn)程，發(fā)展學(xué)生的思維[5].概念的形成與完善往往是課堂教學(xué)的難點(diǎn)，本節(jié)課遵循以學(xué)生為中心，通過提示學(xué)生從函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)角度思考以及設(shè)置問題鏈，讓學(xué)生進(jìn)行合作交流，進(jìn)而一步步完善并概括出對數(shù)函數(shù)的概念.課堂還設(shè)置了學(xué)生總結(jié)提煉解題技巧的環(huán)節(jié).因此，在本節(jié)課的知識建構(gòu)過程中，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.課堂習(xí)題的設(shè)置，必須注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).喻平認(rèn)為，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要思考這個知識有什么應(yīng)用價(jià)值，包括在現(xiàn)實(shí)生活中和其他學(xué)科中的應(yīng)用[6]，因此在課堂練習(xí)中設(shè)置了對數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的題目.從情境引入到習(xí)題演練，引導(dǎo)學(xué)生在了解問題背景的基礎(chǔ)上，從已有的經(jīng)驗(yàn)角度去分析問題、解決問題，將“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”落實(shí)到課堂中.