靈活運用構(gòu)造函數(shù)法，提升證明不等式的效率

吳謙

構(gòu)造函數(shù)法是解答高中數(shù)學問題的一種常用方法，即通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或單調(diào)性問題來求解.構(gòu)造函數(shù)法常用于求參數(shù)的取值范圍、證明不等式、比較函數(shù)式的大小等.本文主要談一談運用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的三種思路，供大家參考.

一、通過作差構(gòu)造函數(shù)

有些不等式左右兩邊的式子中含有多個單項式， 此時可將不等式左右兩邊的式子移項，通過作差，來構(gòu) 造出函數(shù)，如將 f （x） > g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） > 0 ， 將 f （x） < g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） < 0 .求得函數(shù) h（x） 在定義域內(nèi)的最值，并使函數(shù) h（x） 的最值恒大于（小 于）0，即可證明不等式成立.

例1.

證明：

目標不等式左右兩邊的式子較為復雜，于是將左 右兩邊的式子作差，構(gòu)造出新函數(shù) F（x） ；然后利用導 函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性， 求得函數(shù) F（x） 在 x > 0 時的最小值，證明 F（x） > 0 ，即 可證明不等式.通過作差構(gòu)造出函數(shù)，就可以將問題轉(zhuǎn) 化為函數(shù)最值問題，即可通過轉(zhuǎn)換解題的思路，順利 證明不等式.

例2

證明：

首先將要證明的不等式進行移項、作差，使所有 項都位于不等號的左邊；然后將變形后不等式左邊的 式子構(gòu)造成函數(shù)式，探討在 x > 0 時函數(shù)的單調(diào)性以 及值域，即可證明不等式成立.

二、通過換元構(gòu)造函數(shù)

有些不等式的結(jié)構(gòu)較為復雜，其中含有根式、絕 對值、指數(shù)冪、對數(shù)式等，此時為了簡化不等式，需將 不等式中的某一部分式子進行換元，從而構(gòu)造出新函 數(shù).運用該思路證明不等式，需仔細分析已知條件和不 等式的結(jié)構(gòu)特點，選取合適的代數(shù)式進行換元.同時， 在換元的過程中，要注意新舊元取值范圍的等價性.

例3

證明：

本題中要證明的不等式較為復雜，于是先根據(jù)已 知條件將不等式變形為 ln x1 - ln x2 x1 - x2 > 2 x1 + x2 ；然后引 入新變量，將其替換 x1 x2 ，并構(gòu)造關(guān)于新變量 t 的函數(shù) 式，通過討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，證明函數(shù)的最值 小于 0 ，從而證明結(jié)論.在遇到結(jié)構(gòu)復雜的不等式問題 時，往往可將其變形，選取多次出現(xiàn)的式子進行換元， 這樣便可使復雜的不等式得以簡化，以構(gòu)造出合適的 函數(shù)模型.

例4

證明：

首先根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，將 1 n 替換為變量 x ，以簡化不等式；然后將化簡后的不等式構(gòu)造成函數(shù) 式，在定義域 （0，1） 內(nèi)探討函數(shù)的最小值，即可通過證 明函數(shù)的最小值大于 0 ，證明不等式成立.

三、通過放縮構(gòu)造函數(shù)

有時不等式左右兩邊的式子沒有直接聯(lián)系，我們 很難證明不等式.此時，不妨將不等式左右兩邊的式子 進行適當?shù)姆趴s，可根據(jù)重要不等式 ln x ≤ x - 1 、 e x ≥ x + 1 、a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 等進行放縮，也可 將不等式與某個函數(shù)關(guān)聯(lián)起來進行放縮.再構(gòu)造出函 數(shù)模型，通過求函數(shù)的值域，進而運用不等式的傳遞 性證明不等式成立.

例5

證明：

在證明第二個問題中的不等式時，需借助第一個 問題中的結(jié)論，將要證明的不等式進行放縮，并構(gòu)造 函數(shù) h（x） = ln x - x + 1 以及 g（x） = x 2 - x + 2 - 2 sin x ，使 問題轉(zhuǎn)化為證明 f （x） < h（x） < g（x） ，利用導數(shù)法分別 求得兩個函數(shù)的最值，即可證明不等式成立.

根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，將不等式進行適當?shù)淖冃?，如作差、換元、放縮，從而構(gòu)造出不同的函數(shù)模型，即可將不等式問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)最值問題來求解，這樣便達到了化難為易，化繁為簡的效果.

（作者單位：江蘇省泗洪姜堰高級中學）