初中數(shù)學(xué)知識(shí)域結(jié)構(gòu)化的再思考

【摘 要】知識(shí)結(jié)構(gòu)化視域下的知識(shí)域再思考，是以數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體，以適應(yīng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知為路徑指向的。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過建立同質(zhì)結(jié)構(gòu)的知識(shí)域，可以準(zhǔn)確地對學(xué)習(xí)素材進(jìn)行辨識(shí)，找到貼合自身需求與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的認(rèn)知聯(lián)結(jié)域。教學(xué)中以“知識(shí)相近”“層級派生”“隱性同質(zhì)”等三種不同方式構(gòu)建“知識(shí)域”，可以映照學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，形成助推數(shù)學(xué)認(rèn)知的新動(dòng)能。

【關(guān)鍵詞】知識(shí)域；結(jié)構(gòu)化；適應(yīng)學(xué)習(xí)；深度學(xué)習(xí)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）11-0051-05

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能否有效且快速發(fā)生，取決于自身是否適應(yīng)所建構(gòu)的知識(shí)儲(chǔ)備與以此建立的結(jié)構(gòu)化的知識(shí)載體。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“學(xué)業(yè)質(zhì)量描述”部分將“以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體，在形成與發(fā)展‘四基’的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念等”作為評估學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成及發(fā)展情況的重要方面?！爸R(shí)域”是基于數(shù)學(xué)知識(shí)的情境場域，對知識(shí)域的結(jié)構(gòu)化不只是對數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，而是對以數(shù)學(xué)知識(shí)主題作為載體的“知識(shí)域”進(jìn)行再次建構(gòu)。對知識(shí)域進(jìn)行再建構(gòu)，可以有效呈現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的思維路徑，形成助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新動(dòng)能。

一、學(xué)生“知識(shí)域”構(gòu)建現(xiàn)狀

（一）橫向知識(shí)各自獨(dú)立

面對知識(shí)，不同學(xué)生的處理方式與處理結(jié)果是不同的。學(xué)有困難的學(xué)生，通常不會(huì)思考知識(shí)之間的聯(lián)系，在這部分學(xué)生的認(rèn)知中，知識(shí)是各自獨(dú)立的，他們意識(shí)不到客觀知識(shí)之間是存在著密切關(guān)系的。那么在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于所面對的問題信息的獲取與處理得不到響應(yīng)，長此以往，這部分學(xué)生就會(huì)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生排斥情緒。

例如，在面對方程應(yīng)用題時(shí)，學(xué)有困難的學(xué)生會(huì)認(rèn)為已知量與未知量之間是不存在聯(lián)系的，更不知道如何利用等式表示它們之間的關(guān)系。從知識(shí)層面來說，設(shè)未知數(shù)、表示代數(shù)式、列等量關(guān)系式等步驟都體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)之間應(yīng)有的聯(lián)系，學(xué)生若是不具備這樣的意識(shí)，數(shù)學(xué)思維的“進(jìn)場”將難以啟動(dòng)。

（二）縱向知識(shí)不成結(jié)構(gòu)

相當(dāng)多的學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，很少關(guān)注知識(shí)之間的縱向關(guān)系，也就是知識(shí)之間的層級派生關(guān)系。在他們的認(rèn)知中，只要掌握一節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，能用這些知識(shí)點(diǎn)解決當(dāng)堂課的問題就行，至于這些知識(shí)的生成、發(fā)展過程，是不需要去考慮的。甚至，一些教師的課堂設(shè)計(jì)對層級派生關(guān)系關(guān)注也不夠。

例如，在人教版教材九年級上冊“中心對稱圖形”這一節(jié)內(nèi)容中，中心對稱圖形矩形、菱形、正方形等可以由一個(gè)三角形繞其某一頂點(diǎn)或某邊中點(diǎn)通過旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)得到，這展現(xiàn)了知識(shí)間的派生關(guān)系。當(dāng)學(xué)生不具備這樣的認(rèn)識(shí)時(shí)，解決問題就缺少知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維“進(jìn)場”就會(huì)慢。

（三）知識(shí)本質(zhì)辨析不明

學(xué)習(xí)行為的結(jié)果是受到許多因素影響的，除了環(huán)境與人為因素，更主要的是知識(shí)本身。很多學(xué)生被知識(shí)之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系吸引了太多的注意力，而忽視了這些數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)是什么。

學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況——課上能聽懂，自己做題就會(huì)錯(cuò)，老師稍微提醒，就茅塞頓開。究其原因，就是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)缺少認(rèn)知。近年來，中考試題出現(xiàn)了許多運(yùn)用作圓解決實(shí)際問題的題目。很多情況下，學(xué)生讀完題根本發(fā)現(xiàn)不了這里應(yīng)該運(yùn)用圓的知識(shí)解題，這就是因?yàn)樗麄兤綍r(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)沒有更多關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。當(dāng)隱去部分問題條件時(shí)，學(xué)生難以辨析問題的本質(zhì)。

二、知識(shí)域概念定位的再思考

當(dāng)前，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為以建構(gòu)主義理論為主要考量方式。而數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)也決定了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)是理性的、交互式的。尤其是知識(shí)與思維間的交互深度，更能體現(xiàn)出教學(xué)行為的效能。

（一）“全息思維”的內(nèi)涵指向

數(shù)學(xué)教學(xué)視域下的全息思維，指從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)與結(jié)構(gòu)的角度來研究數(shù)學(xué)認(rèn)知。運(yùn)用全息思維的理論，整體審視數(shù)學(xué)教學(xué)過程與教學(xué)行為，能為學(xué)生提供數(shù)學(xué)認(rèn)知的場域，并激發(fā)其思考問題的動(dòng)力源。

1.認(rèn)知活動(dòng)的場域支持

教師要負(fù)責(zé)教學(xué)架構(gòu)的建立，而學(xué)生則要在這個(gè)架構(gòu)下開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，建立知識(shí)認(rèn)知的有效通道。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展需要教師順著其發(fā)展方向，不斷用貼近學(xué)生認(rèn)知水平的問題引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，將學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)和積累變?yōu)樗季S生長的養(yǎng)分。［1］

學(xué)生的認(rèn)知需求與認(rèn)知理論密切相關(guān)，需求是人外部行為的動(dòng)力源泉。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要能夠進(jìn)行自我的學(xué)習(xí)反思，用正確的方式從學(xué)習(xí)素材中獲取相關(guān)信息并加以綜合分析。學(xué)習(xí)方面的需求主要來自課堂教學(xué)，如何對教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)與實(shí)踐決定了學(xué)生的認(rèn)知需求得到怎樣的實(shí)現(xiàn)。

2.問題思考的動(dòng)力源

學(xué)生若缺少思考的動(dòng)力源，在對已習(xí)得的知識(shí)進(jìn)行提取與整合時(shí)，就不能很好地與所面對的問題進(jìn)行聯(lián)系，這樣的聯(lián)系顯得不夠牢固，對問題的解決幫助不大。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的主要原因是缺少動(dòng)力源對思維進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，而這個(gè)動(dòng)力源是指學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

例如，蘇科版教材九年級上冊“圓”一章中，揭示圓的概念是從三個(gè)維度進(jìn)行的。根據(jù)九年級學(xué)生的認(rèn)知水平，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)三種認(rèn)知路徑，分別是：動(dòng)手操作，體會(huì)圓的形成；線型描述，抽象圖形概念；集合思想，深挖概念本質(zhì)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)深化了學(xué)生對圓的認(rèn)知，幫助學(xué)生有效地建構(gòu)了關(guān)于圓的概念的全息思維。

（二）知識(shí)域的概念定位

知識(shí)域指的是具有共同特征或同質(zhì)結(jié)構(gòu)的知識(shí)的集合。知識(shí)域的有效建構(gòu)，可以為學(xué)生提供進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)所需的知識(shí)環(huán)境與心理情境，為學(xué)習(xí)行為的發(fā)生提供思考的動(dòng)力源。

1.要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知通道

如何通過情境認(rèn)知對學(xué)生思維中的動(dòng)力源進(jìn)行刺激、挖掘，從而有效培養(yǎng)學(xué)生深入思考的習(xí)慣？當(dāng)學(xué)生對問題進(jìn)行初步的思考后，教師可根據(jù)學(xué)生理解現(xiàn)狀，對問題進(jìn)行加工變式，以形成與相關(guān)知識(shí)接近的問題結(jié)構(gòu)，不讓學(xué)生感到突兀。這樣就可以在更大范圍發(fā)展學(xué)生的思維驅(qū)動(dòng)力，同時(shí)也可以對剛產(chǎn)生的思維方式進(jìn)行一定的鞏固。在經(jīng)歷了這樣的過程之后，學(xué)生就積累了思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能形成自我思考的方式，并將其內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.搭建學(xué)生的認(rèn)知腳手架

學(xué)生從體驗(yàn)式訓(xùn)練中獲得一定的問題思考方式后，以后在面對同類問題時(shí)，就具備了相應(yīng)的辨別能力。這就使得學(xué)生能站在比先前更高的思維層次上去思考問題，除了對問題有了更清晰的認(rèn)知，對自我思考的過程與結(jié)果也有更好的辨識(shí)與審視能力。

例如，在《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》七年級下冊“在不規(guī)則四邊形中如何折出兩條平行線”一節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生通過之前的操作，已經(jīng)獲得了三角形折平行線的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，學(xué)生是在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上思考四邊形折疊問題，從而把動(dòng)手折疊過程抽象為圖形變換說理的過程，再通過猜想、操作、驗(yàn)證、交流，從更高思維層面體會(huì)平行線判定這一知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、“知識(shí)域”結(jié)構(gòu)化的路徑再透析

（一）“知識(shí)域”結(jié)構(gòu)化的三種方式

1.知識(shí)相近式知識(shí)域

知識(shí)相近式知識(shí)域指的是最淺層且相似度高的知識(shí)的聚合，是基本知識(shí)與基本技能整合而成的知識(shí)域，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本也是認(rèn)知“最先發(fā)生”的知識(shí)域。將這樣的一些知識(shí)進(jìn)行“建群”，可以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)目標(biāo)設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地展開探究思考，教師圍繞驅(qū)動(dòng)問題設(shè)計(jì)逐層展開的學(xué)習(xí)任務(wù)，這些任務(wù)之間有一定層次性，又相互關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的歷程與進(jìn)階。［2］

由于任務(wù)之間具備層次性與關(guān)聯(lián)性，這給學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提供了必要的發(fā)展空間，使得學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展成為可能。學(xué)生在開展學(xué)習(xí)行為之前，需要必要的知識(shí)準(zhǔn)備，而常態(tài)的知識(shí)資源是松散的，學(xué)生在進(jìn)行調(diào)用和提取時(shí)效率是低下的，并且知識(shí)信息被調(diào)用的效度是不充分的，容易產(chǎn)生偏差、缺損、混亂等情形。經(jīng)過整合的知識(shí)域是有一定的邏輯關(guān)系的，是完整且?guī)в兄赶蛐缘摹?/p>

2.層級派生式知識(shí)域

數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特征就是知識(shí)的派生。數(shù)學(xué)知識(shí)之間不是割裂的，知識(shí)之間是存在“等級”的，具備“派生繁衍”特征。大部分知識(shí)是縱向?qū)蛹壟缮?，而派生的終端就是數(shù)學(xué)問題，因此，知識(shí)的縱向聯(lián)想對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題十分重要。將大量卻不同的知識(shí)點(diǎn)，系統(tǒng)、有序、指向明確地組合成知識(shí)域，可以重塑學(xué)生理解問題的思維模式。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力受到多方面因素影響，最直接的就是客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)，而對知識(shí)層級的辨識(shí)能力，應(yīng)是學(xué)生思維培養(yǎng)的起點(diǎn)。

3.隱性同質(zhì)式知識(shí)域

隱性同質(zhì)指的是一些知識(shí)表面看上去并沒有相近的地方，但是具有一些隱藏的共同的特質(zhì)。這些共同的特質(zhì)并不是恒存在的，只有在面對某類或是某個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)才呈現(xiàn)出來，也可以理解為即發(fā)的解題模型。這樣的一些知識(shí)聚合為知識(shí)域，對學(xué)生解題有很大的幫助。

我們將同質(zhì)或關(guān)聯(lián)密切的知識(shí)整合到同一個(gè)知識(shí)域中，可以幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)知識(shí)間相互關(guān)聯(lián)的思維通道，建立起可以覆蓋學(xué)生思維盲區(qū)的知識(shí)架構(gòu)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)不是孤立的存在，拓寬其知識(shí)理解的外延，助推學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）“知識(shí)域”結(jié)構(gòu)化形成助推數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新動(dòng)能

1.在知識(shí)相近處助推

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)設(shè)計(jì)整合的成功與否，不只關(guān)系到學(xué)生能否順利地進(jìn)行學(xué)習(xí)，更影響了其對數(shù)學(xué)的態(tài)度。學(xué)生不同的表征方式往往反映出他們對問題理解的不同水平。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的表征方式，并加強(qiáng)彼此之間的理解。學(xué)生在整合設(shè)計(jì)的架構(gòu)下學(xué)習(xí)，可以從更高的視角重新審視自我的認(rèn)知過程，對所學(xué)知識(shí)有更深入的理解。

例如，蘇科版教材八年級下冊“三角形的中位線”一節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生在面對新知的時(shí)候，頭腦中會(huì)出現(xiàn)中線的相關(guān)知識(shí)，但是不全面。因此，在這之前教師需要幫助學(xué)生建立關(guān)于“中”字的圖形知識(shí)域，設(shè)置情境讓學(xué)生自主建立知識(shí)相近的群。教師要引導(dǎo)學(xué)生辨析它們之間的異同，明白中位線是兩個(gè)中點(diǎn)的知識(shí)，而其余幾個(gè)知識(shí)都是一個(gè)中點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)群內(nèi)知識(shí)的區(qū)別時(shí)更要注重聯(lián)系。這樣，知識(shí)域的建立才能起到應(yīng)有的作用。

2.在層級派生處助推

初中階段圖形部分的知識(shí)體系是公理化的邏輯體系。由若干個(gè)基本事實(shí)與一些定義，可以派生出許多定理或推論，這些數(shù)學(xué)結(jié)論再進(jìn)行復(fù)雜的組合，可以產(chǎn)生大量的終端數(shù)學(xué)問題。例如，尺規(guī)作圖派生出了圖形輔助線的知識(shí)系統(tǒng)。

同樣，在代數(shù)部分也呈現(xiàn)出明顯的派生現(xiàn)象。運(yùn)算法則的字母化抽象，將法則的結(jié)論提升了一個(gè)理解層次，從“等級”視角而言又增加了縱向理解的難度。但同時(shí)最基本的算理還是從加法到乘法，學(xué)生如果對法則間的層級派生不加以理解，是很難把不同的運(yùn)算法則辨析清楚的。

例如，蘇科版教材七年級下冊“乘法公式”一節(jié)中，大量的教學(xué)實(shí)例表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法公式的時(shí)候，顯得非?！皝y”。分析其原因，就是運(yùn)算法則的派生方式?jīng)]有內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知思維中。運(yùn)算學(xué)習(xí)的梯度是從七年級上冊的“字母表示數(shù)”開始的，運(yùn)算法則的表現(xiàn)形式從學(xué)生最熟悉的具體數(shù)字演變成為用字母進(jìn)行運(yùn)算，這里就包含了從數(shù)值到字母的派生，學(xué)生在認(rèn)知上就會(huì)出現(xiàn)困難。但是在學(xué)生知悉運(yùn)算法則之間的層級派生關(guān)系后，在解決代數(shù)運(yùn)算問題的時(shí)候，就能夠辨析法則、靈活運(yùn)用法則。知識(shí)域的構(gòu)建可以幫助學(xué)生減輕面對運(yùn)算題的畏難心理，避免出現(xiàn)“無從下手”的現(xiàn)象，也可以很好地減少運(yùn)算法則使用混亂的情況，真正從認(rèn)知層面助推學(xué)生解決計(jì)算問題。

3.在隱性同質(zhì)處助推

隱性同質(zhì)知識(shí)域可以幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的本原，讓學(xué)生初步體會(huì)到綜合性探究問題分析與解決的方式，逐步形成自我理解型的解題意識(shí)，感受到不同知識(shí)系統(tǒng)間的差異。面對問題，需要對知識(shí)進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化時(shí)，學(xué)生要注重理解所給條件的意義，緊扣本原問題，理清同質(zhì)知識(shí)之間的關(guān)系。

例如，蘇科版教材八年級下冊“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一節(jié)中，在學(xué)生已經(jīng)知曉“一次函數(shù)的圖象是直線”的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是要探究為什么反比例函數(shù)圖象是曲線，幫助學(xué)生理解知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本原性問題，學(xué)會(huì)整合集合思想與極限思想。在學(xué)生完成對反比例函數(shù)圖象的認(rèn)知過程之后，教師再類比一次函數(shù)圖象的一些基本性質(zhì)，從圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的層面更深層次地挖掘反比例函數(shù)的基本性質(zhì)。

深度學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是結(jié)構(gòu)性與非結(jié)構(gòu)性知識(shí)的建構(gòu)過程，也是復(fù)雜的信息加工過程，需對已激活的先前知識(shí)和所獲得的新知識(shí)進(jìn)行有效和精細(xì)的深度加工。［3］當(dāng)知識(shí)域介入教學(xué)活動(dòng)時(shí)，能否改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，不只要進(jìn)行合理且有效的整合設(shè)計(jì)，更重要的是影響驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的多種因素的優(yōu)化組合。學(xué)生對于知識(shí)的認(rèn)知，排除遺忘因素的影響，主要的影響來自課堂，學(xué)生很容易被一些模糊的知識(shí)、錯(cuò)亂的關(guān)系等影響。把知識(shí)域與認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行深度融合，找到知識(shí)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的思維場域，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全息思維，呈現(xiàn)在較為優(yōu)化的認(rèn)知系統(tǒng)中，有助于學(xué)生建立認(rèn)知通道，同時(shí)也有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

［1］黃秀旺，謝蓓蓓.引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的問題設(shè)計(jì)［J］.江蘇教育，2018（6）：37.

［2］高叢林.學(xué)習(xí)路徑：基于學(xué)習(xí)者視角的教學(xué)新探索［J］.江蘇教育研究，2019（1A）：69.

［3］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2016：114.

（注：本文系第34屆江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎(jiǎng)文章，有刪改）

【作者簡介】王雷，江蘇省東海縣張灣中學(xué)（江蘇東海，222343）教師，高級教師。