代數(shù)解題教學(xué):重視“代”和“變”,培養(yǎng)結(jié)構(gòu)感

劉東升

摘要：代數(shù)解題教學(xué)常常偏重程序性操作（“怎樣做”），而弱化思路分析（對“怎么想”的探索），不利于培養(yǎng)學(xué)生面對陌生情境時獨立解決問題的能力，特別是，會使學(xué)生在遇到一些要作適當(dāng)變形和代換才能歸結(jié)到操作流程上的代數(shù)問題時感到困難；也容易造成思維定式，不利于學(xué)生思維靈活性的發(fā)展。對此，代數(shù)解題數(shù)學(xué)要重視由代數(shù)式子的一般性與可變性決定的“代”和“變”，努力培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)感。具體而言，要通過必要的分析和示范，凸顯目標指向下“代”和“變”的思維過程。

關(guān)鍵詞：代數(shù)解題；解題教學(xué)；代換；變形；結(jié)構(gòu)感

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃特色項目研究所專項課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學(xué)’立人的實踐研究”（編號：TSXM/2021/06）的階段性研究成果。一、 誤區(qū)：偏重程序性操作，弱化思路分析

我國著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生曾經(jīng)指出：“初中代數(shù)教材中，大量的是按法則、公式的形式出現(xiàn)，而這些法則、公式大都是帶有程序性的。”［1］例如兩個有理數(shù)相加，根據(jù)有理數(shù)加法法則，按照以下流程運算：識別類型、確定符號、絕對值運算。再如解一元一次方程，依次按照以下步驟操作：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。又如異分母分式相加減，先通分（需分析最小公倍式），化為同分母分式后再加減，這樣的過程也是帶有程序性的。

關(guān)于初中代數(shù)內(nèi)容的程序性特點，曹才翰先生歸納了七點教學(xué)建議與價值，包括“偏重記憶”“操作要靠練習(xí)來獲得”“對初學(xué)者有法可循”“示范模仿是必要的”“把簡單操作對接為復(fù)雜操作”“便于自學(xué)”“有利于形成技能”等。［2］

由此，代數(shù)解題教學(xué)中，教師常常組織學(xué)生基于題型（考點）分類訓(xùn)練程序性操作。比如，對一元二次方程的應(yīng)用問題，有些學(xué)校的備課組將其細分為數(shù)字問題、傳播問題、單或雙循環(huán)問題、增長率問題、商品銷售問題、圖形面積問題、動態(tài)幾何問題，等等。

然而，題型固化后解題的程序性操作偏重的是“怎樣做”，屬于解題技能，容易演變?yōu)橐环N機械的動作。這弱化了基于題意理解的思路分析（對“怎么想”的探索），不利于培養(yǎng)學(xué)生面對陌生情境時獨立解決問題的能力（加工思想材料時反映出來的比較穩(wěn)定的心理特點，如感知覺、注意力、記憶、聯(lián)想、推理等），特別是，會使學(xué)生在遇到一些要做適當(dāng)變形和代換才能歸結(jié)到操作流程上的代數(shù)問題時感到困難。

例如，求分式（x－1）（2x＋1）（x2－x－2）x2的最小值。本題中分式的分子是兩個一次二項式和一個二次三項式的積，分母是一個二次單項式。如果按常規(guī)的解題程序?qū)⒎肿诱归_，則會得到一個四次五項式。如果沒有三次項和一次項，則很容易轉(zhuǎn)化為二次三項式（令x2＝t代換，即把x2看成一個整體），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解。但是，這里有三次項和一次項，所以很難處理。將其與分母約分，雖然消去了四次項和三次項，但是會新增“負一次項”和“負二次項”，依然很難處理。如果從對稱（平均）的角度考慮，把分子轉(zhuǎn)化為四個一次二項式的積，進而轉(zhuǎn)化為兩個二次式的積（因為分母顯然是兩個一次一項式的積），則只能出現(xiàn)一個沒有一次項的二次式，其他都是完整的二次式（即二次三項式），還是不知道如何處理。只有進一步嘗試轉(zhuǎn)化為兩個二次式積的各種情況，才有可能在兩個二次式分別與x約分后，發(fā)現(xiàn)x－1x這個公共部分（結(jié)構(gòu)元素），再通過整體代換，把原式轉(zhuǎn)化成可以求出最值的形式，即二次式形式。具體解答過程如下：

此外值得一提的是，做好代數(shù)解題與平面幾何解題的銜接過渡，關(guān)鍵不是在代數(shù)解題中強調(diào)平面幾何解題強調(diào)的推理（因為代數(shù)代換與變形本質(zhì)上就是推理，強調(diào)推理只不過是在程序化操作的過程中讓學(xué)生注意算理，知道“為什么”，即“知其所以然”），而是強調(diào)平面幾何解題更加強調(diào)的思路分析（這樣才能讓學(xué)生學(xué)會探索，知道“怎么想”，即“知何由以知其所以然”）。

參考文獻：

［1］［2］ 曹才翰．曹才翰數(shù)學(xué)教育文選［M］．北京：人民教育出版社，2005：210，210222.

［3］［4］ 葉旭山.芻議初中代數(shù)推理教學(xué)［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（11）：1516，19.

［5］ 華羅庚.大哉數(shù)學(xué)之為用：華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，2018：119.

［6］ 徐彥輝.例析代數(shù)問題解答中“結(jié)構(gòu)感”的培養(yǎng)［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（10）：5253.