聚焦“關(guān)系”鏈接，建構(gòu)“問題解決”模型
——以北師大版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“回收廢品”一課為例

廣東省深圳市寶安區(qū)海城小學(xué) 陳永暢 賴允玨

課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。貫穿小學(xué)六年的“問題解決”教學(xué)是發(fā)展學(xué)生問題解決能力的重要載體，它有助于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，有助于學(xué)習(xí)方式的根本性改變及學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)。那“問題解決”的教學(xué)核心是什么？學(xué)生的關(guān)鍵能力又如何在學(xué)習(xí)過程中得到提升？筆者在多年教學(xué)探索中發(fā)現(xiàn)，最重要的就是幫助學(xué)生尋找條件與條件間的關(guān)系、條件與問題間的關(guān)系，從而建立相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

北師大版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“回收廢品”一課是一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾的問題解決的學(xué)習(xí)內(nèi)容。將問題解決植入數(shù)的運(yùn)算是北師大版數(shù)學(xué)教材的典型特色，因此，教師往往會(huì)把“問題解決”的教學(xué)變成“數(shù)的運(yùn)算”的教學(xué)，重在處理“運(yùn)算”，而淡化了“問題解決”。當(dāng)然，部分教師意識(shí)到要重在“問題解決”，但是其教學(xué)還是停留在表層，無法促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度理解以及建構(gòu)完整的思考模型。

一、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，制造條件間的沖突“關(guān)系”

北師大版數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容大多是以“情境+問題串”的形式呈現(xiàn)的，課本上的知識(shí)是靜態(tài)的，給予學(xué)生的數(shù)學(xué)信息是一次性全部拋出的。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)教師會(huì)如此處理——展示這個(gè)情境后提出問題：“你能從這個(gè)情境中發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息？”（見圖1）這樣的教學(xué)方式并不能很好地讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)條件與條件間的重要關(guān)系，淡化了問題解決的內(nèi)涵。

圖1

因此，為了使學(xué)生能對(duì)條件與條件間的關(guān)系產(chǎn)生疑惑和認(rèn)知沖突，本課我們采用“動(dòng)態(tài)化”的信息呈現(xiàn)方式，先呈現(xiàn)圖中小紅和小青說出的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生說一說“你知道了什么”“你還想知道什么？為什么”，再讓學(xué)生在兩條信息中建立三者之間的關(guān)系，最后再出示小林的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。（見圖2）

師：小朋友們正在收集瓶子，他們收集的情況怎么樣呢？誰來說一說？

生1：小紅比小林多收集了3個(gè)瓶子。

生2：小青比小林少收集了4個(gè)瓶子。

師：像這樣告訴你誰比誰多幾、少幾的話，叫作數(shù)學(xué)信息。你還想知道哪些信息呢？為什么？

生：我想知道小林收集了多少個(gè)瓶子。因?yàn)樾〖t和小青都在和小林比，不知道小林的數(shù)量，就沒辦法算出小紅和小青收集的瓶子數(shù)量。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我們將與小紅和小青數(shù)量關(guān)系密切的小林的數(shù)量先隱去，就是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)小紅與小青的這兩個(gè)數(shù)量條件都與小林的相關(guān)，從而得出解決問題的關(guān)鍵在于梳理?xiàng)l件與條件之間的關(guān)系，然后根據(jù)問題進(jìn)行分析并列式等。這一過程設(shè)計(jì)強(qiáng)化了數(shù)量關(guān)系對(duì)問題解決的重要作用，也能夠幫助學(xué)生去建構(gòu)條件與問題間的關(guān)系，從而排除一些干擾條件。借助認(rèn)知沖突，學(xué)生對(duì)“問題解決”有了較為深刻的印象，并掌握了一些解決問題的策略，也能初步建立起問題解決的模型。

二、分類提煉，梳理問題間的聯(lián)結(jié)關(guān)系

許多研究與課堂教學(xué)把重點(diǎn)放在如何理解信息與解決問題上，往往忽視了培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。在多次試課中，我們發(fā)現(xiàn)低年級(jí)學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題上存在困難。有的學(xué)生還未將數(shù)學(xué)從生活中抽象出來，往往提出一些生活問題；有的學(xué)生則將已知條件作為問題；有的學(xué)生會(huì)提需要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)才能解決的問題。在教學(xué)本課時(shí)，筆者特別尊重學(xué)生提出的各種問題，在匯集各種問題后組織學(xué)生對(duì)這些問題進(jìn)行分類，讓學(xué)生感受問題間的聯(lián)結(jié)關(guān)系。我們分三步進(jìn)行分類提煉：

（一）初次分類：篩選出需要運(yùn)算的數(shù)學(xué)問題

師：根據(jù)這些信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

（生提問）

師：同學(xué)們真會(huì)思考、會(huì)提問！在這些問題中，哪些問題是你不能解決的？哪些問題是可以直接回答的？哪些是需要列式運(yùn)算得到的？

生1：“還有多少個(gè)瓶子沒有收集？”這個(gè)問題沒辦法解決。

生2：因?yàn)樾〖t比小林多收集3個(gè)瓶子，所以小林比小紅少收集了3個(gè)瓶子。

生3：因?yàn)樾∏啾刃×稚偈占?個(gè)瓶子，所以小林比小青多收集了4個(gè)瓶子。

師：我們?cè)谔釂柕臅r(shí)候要分清楚信息與問題。對(duì)于已有的信息，我們就不再對(duì)其進(jìn)行提問了。

（二）再次分類：篩選出需要先解決的數(shù)學(xué)問題

問題1：小紅和小青收集了多少個(gè)瓶子？

問題2：一共收集了多少個(gè)瓶子？

問題3：小紅比小青多收集多少個(gè)瓶子？

師：在剩下的這些問題中，我們先解決哪個(gè)好呢？

生：要先解決“小紅和小青收集了多少個(gè)瓶子”，只有知道了小紅和小青收集的數(shù)量，才能求總數(shù)，才能進(jìn)行比較。

以上教學(xué)中，教師兩次有意識(shí)地引導(dǎo)分類，培養(yǎng)學(xué)生兩個(gè)意識(shí)：一是已知的信息不是問題；二是要先解決簡(jiǎn)單的問題，才能解決更難的問題。

（三）梳理分析，篩選出條件與問題關(guān)系密切的問題

師：現(xiàn)在有3個(gè)信息和2個(gè)問題，到底哪些信息能解決哪些問題呢？我們來玩一個(gè)“連連看”的游戲！請(qǐng)你把這些信息和能夠解決的問題放在同一行。（見圖3）

圖3 信息與問題匹配圖

師：為什么這樣擺？

生：要求小紅收集了多少個(gè)瓶子，要用到“小紅比小林收集的多3個(gè)瓶子”這個(gè)信息，因?yàn)樾〖t在和小林比，所以要用到“小林收集了13個(gè)瓶子”這個(gè)數(shù)學(xué)信息。

師：看來只有信息與問題相匹配，才能幫助我們解決問題。

在“連連看”的游戲中，通過“動(dòng)態(tài)”的視覺過程與有思考的表達(dá)，學(xué)生感知到不是所有的條件都能用來解決某一個(gè)問題，而是要思考“這個(gè)問題與誰有關(guān)系”“解決這個(gè)問題應(yīng)該選擇什么條件”。

三、深度學(xué)習(xí)，體驗(yàn)策略間的模型“關(guān)系”

學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決的過程中發(fā)展策略性知識(shí)是十分重要的，但各個(gè)年齡階段的學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略的發(fā)展也是有所不同的。低年級(jí)學(xué)生需要掌握嘗試、作圖、概括規(guī)律、操作發(fā)現(xiàn)、列舉信息等多種策略，從而探索多種方法來回答疑問、解決問題。因此，解決問題的策略是關(guān)鍵，策略間存在的關(guān)聯(lián)則是關(guān)鍵中的關(guān)鍵。學(xué)生將這些策略進(jìn)行梳理、分類、整理、歸一，是問題解決模型的固化過程，是學(xué)習(xí)能力提升的表現(xiàn)，也是素養(yǎng)發(fā)展的具體表現(xiàn)。

低年級(jí)學(xué)生常用操作和畫圖兩種方式來解決問題。在解決“小紅收集了多少個(gè)瓶子”和“小青收集了多少個(gè)瓶子”這兩個(gè)問題時(shí)，很多學(xué)生看到“多”就加，看到“少”就減，這樣也能把題做對(duì)，但并不能進(jìn)行解釋，不能在情境中理解加、減法的含義。在解決問題的教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者把重點(diǎn)放在操作解決問題，理解加、減法含義上。同時(shí)，筆者借助“如果小林比小亮少4個(gè)，那么小亮收集了幾個(gè)瓶子呢”這樣一個(gè)變式問題，制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在畫圖與辯論中學(xué)會(huì)解決問題的方法。

（一）多元表征，理解加減模型

師：“小紅收集了多少個(gè)瓶子”這個(gè)問題要怎么解決？請(qǐng)你在學(xué)習(xí)單上列式計(jì)算，并畫圖解釋為什么這樣做，然后和同桌說一說。

師：（出示一學(xué)生畫的圖，見圖4）你能結(jié)合圖來解釋一下為什么這樣做嗎？

圖4 學(xué)生作圖1

生：這里的1個(gè)大○表示10，3個(gè)小○表示3，表示小林收集的13個(gè)瓶子，小紅比他多3個(gè)，就往后面再加3個(gè)○，所以用“13+3”來解決。

師：通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)小紅的數(shù)量是在小林的基礎(chǔ)上加3個(gè)，求把兩部分合起來用加法。

師：“小青收集了多少個(gè)瓶子”這個(gè)問題要怎么列式計(jì)算呢？

生（不約而同）：13-4=9（個(gè)）。

師：從整體中拿走一部分可以用減法來解決。

（二）對(duì)比分析，深化加減模型

師：小亮加入他們的隊(duì)伍，小亮說小林比他少4個(gè)，請(qǐng)問小亮收集了多少個(gè)？小亮收集的數(shù)量是需要合起來還是需要去掉一部分呢？

[展示學(xué)生的兩種做法：13+4=17（個(gè)）和13-4=9（個(gè)）]

師：我看見大家有這兩種做法，到底是用加法還是用減法？請(qǐng)大家辯一辯！

生1：用減法，因?yàn)樗f少4個(gè)，就是減4個(gè)。

生2：不對(duì)，用加法。小林比小亮少4個(gè)，那小亮就比小林多4個(gè)，13+4=17（個(gè)）。

師：我們解決的這些問題就是數(shù)學(xué)里的“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾是多少”，我們不能看到多就加、看到少就減，而是要思考：是合起來，還是去掉一部分？

從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)，從知其然到知其所以然，這才是我們學(xué)習(xí)的本質(zhì)。因此，這里我們強(qiáng)化的是解決問題的策略間的關(guān)系，只要真正理解這些策略間的本質(zhì)，理解這些問題解決的一般模型，就不需要再死記硬背，而是融會(huì)貫通。這也是為什么我們?cè)诒菊n中不斷地去強(qiáng)化比較的“標(biāo)準(zhǔn)量”，去深化解決問題策略間的關(guān)系，因?yàn)檫@才是學(xué)生思維發(fā)展和素養(yǎng)提升的關(guān)鍵。

問題解決能力的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過程，低年級(jí)是學(xué)生問題解決能力發(fā)展的起步階段。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，幫助學(xué)生緊緊抓住“關(guān)系”深究，通過制造條件間的沖突關(guān)系、問題間的聯(lián)結(jié)關(guān)系、策略間的模型關(guān)系，在畫圖、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納、總結(jié)中不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的敏銳力、理解力與分析力，不斷提升學(xué)生的問題解決能力。