以問引學(xué)明晰進(jìn)位本質(zhì) 整體建構(gòu)發(fā)展運算能力
——“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”的思考與實踐

安徽省合肥市廬陽區(qū)教育體育局教研室 李玲玲

安徽省合肥市六安路小學(xué)中鐵國際城校區(qū) 吳 安

新課標(biāo)指出，要使學(xué)生感悟數(shù)與運算本質(zhì)上的一致性。而數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算是相互統(tǒng)一的，其數(shù)學(xué)核心要素聚焦在數(shù)位、計數(shù)單位、位值制和十進(jìn)制計數(shù)等方面。筆者“三思而后行”，力求探尋運算能力素養(yǎng)落地的實施路徑。

一、一思：內(nèi)容前后關(guān)聯(lián)

1.知識前后聯(lián)系

已學(xué)內(nèi)容單元內(nèi)容后續(xù)內(nèi)容10 以 內(nèi) 加、兩位數(shù)加一位數(shù)減法（進(jìn)位） 百以內(nèi)的連加、連減和加、減2加0 法以內(nèi)進(jìn)位?（兩退位位數(shù)）減一位數(shù)?混合20 以內(nèi)退位兩位數(shù)加兩位數(shù)減法（進(jìn)位） 萬以內(nèi)的加法100 以內(nèi)加、兩位數(shù)減兩位數(shù)和減法減法（退位）

兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法的內(nèi)容是學(xué)生從100以內(nèi)不進(jìn)位、不退位運算向進(jìn)位、退位進(jìn)階學(xué)習(xí)的開啟內(nèi)容。

2.單元內(nèi)容分析

從單元整體視角分析發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)加、減一位數(shù)的口算是以10個一是1個十為基礎(chǔ)的概念建構(gòu)課，是學(xué)生從數(shù)的認(rèn)識向數(shù)的運算認(rèn)知十進(jìn)制計數(shù)原理的一次重要跨越，是學(xué)生理解加、減中進(jìn)位和退位運算聯(lián)系和遷移的重要基石。（如圖1）

圖1

二、二思：學(xué)生已有水平

為了更真切地了解學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點，我們分別從能算出結(jié)果、掌握算法、理解算理、選擇合理簡潔的運算策略等方面對校區(qū)學(xué)生進(jìn)行抽樣檢測。

通過對圖2問題單中計算結(jié)果統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，能算出結(jié)果的學(xué)生約占78%，能掌握算法的約占67%，而理解算理的約占31%，能用多種方法計算的約占34%。由此可知，學(xué)生已經(jīng)具備一定的運算能力，只是運算的算理及算法之間的關(guān)聯(lián)意識薄弱，對十進(jìn)制計數(shù)原理下的進(jìn)位加法本質(zhì)感知不深。

圖2

三、三思：教學(xué)存在疑難

筆者在訪談教師關(guān)于教學(xué)情況時發(fā)現(xiàn)一些共性問題：

（1）學(xué)生的計算沒有太大問題，因此通過小棒操作得出結(jié)果的價值不夠突出，操作時有一種無處著手之感。

（2）雖然大部分學(xué)生會算，但教師在課堂中還是將教學(xué)重點落在學(xué)生計算技能的訓(xùn)練上，學(xué)生運算素養(yǎng)不高。

基于以上現(xiàn)實情況，筆者確定這節(jié)課的教學(xué)重點是理解兩位數(shù)加一位數(shù)的算理、算法之間的關(guān)聯(lián)，能比較熟練地進(jìn)行計算；難點是幫助學(xué)生理解十進(jìn)制計數(shù)原理下“滿十進(jìn)一”的進(jìn)位加法本質(zhì)。

筆者通過比較、分析，借助直觀的學(xué)具模型——小棒和半抽象學(xué)具模型——計數(shù)器，以問引學(xué)，用操作突破學(xué)生關(guān)于“10個一是1個十，即個位相加滿十向十位進(jìn)一”算理的認(rèn)知壁壘，在先“扶”再“放”的過程中讓學(xué)生感受算法多樣化，再逐層對比，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)探究的層次性，嘗試帶領(lǐng)學(xué)生觸及進(jìn)位加法的概念本質(zhì)。

一、多元表征促理解，顯化進(jìn)位概念

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重視知識的形成過程，過程與結(jié)果并行；重視直觀表述，直觀與抽象并重；經(jīng)歷數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑?！被诖蠖鄶?shù)學(xué)生已經(jīng)能計算出結(jié)果的學(xué)情，教學(xué)需要突破進(jìn)位加法的認(rèn)知盲點。為外顯滿十進(jìn)一的進(jìn)位計算原理，在實際教學(xué)時，應(yīng)以關(guān)鍵問題引領(lǐng)，讓學(xué)生借操作的直觀過程理解抽象的進(jìn)位本質(zhì)，讓概念建立可視化。

師：24里原來明明只有2個十，怎么得到3個十呢？多出的1個十從哪來的？你是怎樣想的？先用小棒擺一擺或用計數(shù)器撥一撥，再和同桌說一說。

生1：我是用小棒擺的，24，先拿2個十和4個1，加6，4+6=10，10+20=30，多的1個十就是4+6=10。

師：和你想的一樣嗎？多的那個十在哪里？（圈畫10個一得到1個十）

生2：我是撥計數(shù)器的，先撥24，加6，在個位上再撥6顆珠子，4+6=10，滿十退回，再在十位上撥1顆珠子，這就是多的1個十，合起來是30。

操作的直觀價值在這里凸顯。相較于用小棒或者計數(shù)器得出結(jié)果或者驗證結(jié)果的要求，“24里原來明明是2個十，怎么得到了3個十呢？多出的1個十是從哪來的”對學(xué)生來說是一個全新的探究問題，也是需要操作予以解釋的，避免了學(xué)生明明已經(jīng)會算，還被強行要求操作的尷尬，此時問題“多出的1個十是從哪來的”讓原本不易理解的4+6=10、10+20=30的算法中似明非明的“10個一是1個十”的認(rèn)知盲點以多元表征的方式直觀呈現(xiàn)。從實物小棒到更具抽象的計數(shù)器，再到用分解式記錄計算過程，層層遞進(jìn)，以操作促進(jìn)算法、算理的融合，將“10個一是1個十”的認(rèn)知經(jīng)驗與“滿十進(jìn)一”的進(jìn)位本質(zhì)進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)和溝通。

二、變式對比析本質(zhì)，強化進(jìn)位意義

課堂教學(xué)要遵循學(xué)生的思維特點和認(rèn)知規(guī)律，需要在新舊知識和可遷移知識間搭建對比支架，讓學(xué)生從宏觀上思考，建立數(shù)學(xué)對象之間的邏輯關(guān)系，揭示本質(zhì)屬性。為更好地讓學(xué)生讓學(xué)生感受滿十進(jìn)一，設(shè)計適時的對比、辨析可以凸顯進(jìn)位本質(zhì)。本節(jié)課注重設(shè)計對比性問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)據(jù)的觀察、比較、發(fā)現(xiàn)中激活思維、發(fā)展思維、深化思維，在對比過程中強化十進(jìn)制計數(shù)原理下的進(jìn)位加法意義。

片段一：

在教學(xué)完24+6=30后，筆者設(shè)計了一組變式練習(xí)。

變式練習(xí)：

6+24=30 25+5=30 21+9=30 27+3=30

師：仔細(xì)觀察這些算式及得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：算式都是二十幾加幾，得數(shù)都是30。

生2：加數(shù)都是2個十，得數(shù)都是30，3個十。

師：這里的加數(shù)都只有2個十，得數(shù)卻都是3個十，怎么多了1個十？

生：個位上相加等于10。

師：個位相加滿十，向十位進(jìn)一，這就是數(shù)學(xué)上說的滿十進(jìn)一的規(guī)律。（板書：滿十進(jìn)一）

片段二：

在探究完24+9=33后，再把今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容和課前復(fù)習(xí)的計算進(jìn)行對比。

師：這是我們剛才解決的兩個問題，結(jié)合之前的計算，仔細(xì)觀察圖3，比較左右兩邊算式及得數(shù)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

生1：都是二十多加幾。

生2：前面的得數(shù)都是二十多，后面的是三十和三十多。

生3：之前學(xué)的沒有進(jìn)一個數(shù)，這次學(xué)的進(jìn)了一個數(shù)。

師：你的意思是從2個十變成3個十嗎？那進(jìn)的1個十是從哪來的？

生：個位上相加滿十就向十位進(jìn)一。

經(jīng)歷前面的操作經(jīng)驗，第一次湊整的進(jìn)位對比鋪墊，學(xué)生能夠感受到兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位其實就是要個位相加滿十，得數(shù)從原來的2個十進(jìn)位相加得3個十；通過對24+9=33的計算，學(xué)生能夠感知到雖然口算的方法不一樣，但是都是個位加起來超過十需要向十位進(jìn)一；再到最后和之前學(xué)習(xí)的不進(jìn)位的加法進(jìn)行對比，學(xué)生能夠感受到兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位與不進(jìn)位的前后聯(lián)系與區(qū)別，建構(gòu)兩位數(shù)加一位數(shù)的加法認(rèn)知體系。

三、精編練習(xí)促鞏固，提升進(jìn)位技能

適量、適度、有層次性的練習(xí)可以有效鞏固所學(xué)；關(guān)鍵處提出反思性問題，可以讓學(xué)生在學(xué)中練、練中思，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力和思考力。

如圖4中第1題，為進(jìn)一步讓學(xué)生熟練滿十進(jìn)一的計算方法，教師提供思考支架，要求會說先算什么、再算什么，思考有沒有不同的方法，讓學(xué)生在多種算法中發(fā)展口算技能。

圖4

如圖5，第2題以題組形式出現(xiàn)，待完成之后，教師追問：觀察加數(shù)及得數(shù)，每組算式間有什么聯(lián)系？學(xué)生在計算之后感受到第一個算式就是下面算式分別先算的部分，得數(shù)個位均相同，得數(shù)十位在加數(shù)的十位上進(jìn)一，進(jìn)一步感受兩位數(shù)加一位數(shù)和之前學(xué)習(xí)的20以內(nèi)進(jìn)位加法之間的聯(lián)系與進(jìn)階。

圖5

如圖6，第3題以發(fā)展學(xué)生的思維為主，教師提問“35+□可能等于幾十多”引發(fā)學(xué)生思考?？v觀課堂學(xué)習(xí)，回歸學(xué)習(xí)兩位數(shù)加一位數(shù)內(nèi)容的本質(zhì)，感受其進(jìn)位與不進(jìn)位之間的區(qū)別，即個位相加是否滿十，決定是否需要向十位進(jìn)一，感受知識的縱向生長，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)，深刻思維結(jié)構(gòu)。

圖6

四、建構(gòu)遷移引思考，延伸運算能力

數(shù)學(xué)思維的深刻應(yīng)體現(xiàn)其動態(tài)的生成，以點連線，用聯(lián)結(jié)構(gòu)建知識的立體網(wǎng)絡(luò)，教學(xué)中教師要適時關(guān)注學(xué)生知識的結(jié)構(gòu)化生長。

師：上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了10以內(nèi)的加法和20以內(nèi)的進(jìn)位加法，這學(xué)期學(xué)習(xí)了不進(jìn)位的兩位數(shù)加一位數(shù)，今天學(xué)習(xí)的是進(jìn)位加法，你覺得接下來要學(xué)習(xí)什么呢？你會用今天學(xué)到的方法解決圖7中的問題嗎？

圖7

以啟發(fā)性的問題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的溯源與承接，讓學(xué)生在聯(lián)想中抓住學(xué)習(xí)要點，串聯(lián)進(jìn)階脈絡(luò)，在類比推理中感知算法都是計數(shù)單位的累加，進(jìn)位加法的算理上孕伏滿十進(jìn)一的十進(jìn)制計數(shù)原理。

“有效的教學(xué)活動是教師的教和學(xué)生的學(xué)的統(tǒng)一?！睘槁鋵嵑诵乃仞B(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課注重單元整體設(shè)計，豐富學(xué)習(xí)方式，有效實施教師和學(xué)生“雙主體”策略，教師主導(dǎo)提出關(guān)鍵性的探究問題，在對比中引導(dǎo)思索，在反思中提升技能，在啟發(fā)中有效建構(gòu)，讓學(xué)生探究的主體價值充分發(fā)揮。利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在多樣的表征形式中充分感知到“10個一是1個十，滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制計數(shù)原理的含義和價值，在發(fā)掘進(jìn)位加法的內(nèi)核的過程中感受數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，培養(yǎng)運算思維的深刻性。