解數(shù)學(xué)題需注意的幾個(gè)要點(diǎn)

童云飛

要想提升解題的效率，我們不僅要熟練并靈活運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，還需把握一些解題的步驟和要點(diǎn).那么在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們需注意哪些要點(diǎn)呢？下面一起來(lái)探討.

一、仔細(xì)審題

對(duì)于很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果能抓住某些關(guān)鍵信息作 為突破口，就可以使問(wèn)題迎刃而解.這就要求我們?cè)诮?題時(shí)，仔細(xì)審題，抓住關(guān)鍵信息，理解題目的本質(zhì)，必 要時(shí)可將題目中的信息、數(shù)據(jù)以表格、圖象、樹(shù)狀圖、 Venn圖等形式呈現(xiàn)出現(xiàn).這樣便能靈活地運(yùn)用所學(xué)知 識(shí)，將已知條件和所求目標(biāo)快速地關(guān)聯(lián)起來(lái)，從而快 速找到解題的思路.

例1

分析

解

例2

分析

在解題時(shí)，要仔細(xì)審題，重點(diǎn)研究問(wèn)題中式子的 結(jié)構(gòu)、形式，各個(gè)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，圖形之間的位置關(guān) 系，提煉出有用的信息.這樣才能快速發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的已 知條件與所求目標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題突破 口，從而使問(wèn)題順利獲解.

二、挖掘隱含條件

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述隱晦、復(fù)雜，需要通過(guò)深入 挖掘，才能找到題設(shè)中的隱含信息，避免陷入解題誤 區(qū).在挖掘隱含條件時(shí)，可從以下幾點(diǎn)入手：（1）確保各 個(gè)式子有意義；（2）畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形，結(jié)合幾何圖 形挖掘一些隱含的幾何關(guān)系；（3）將數(shù)學(xué)式子、圖形與 相關(guān)的定義、公式、公理、定理、結(jié)論等相關(guān)聯(lián)，挖掘一 些隱含關(guān)系（式）.這樣便能為解題尋找到更多的條件， 確保得到正確的答案.

例3

解：

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)的二次不等式（方程），一 定要分等于0和不等于0兩種情況進(jìn)行討論.因?yàn)楫?dāng)二 次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，不等式（方程）為一次不等式（方程）； 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，不等式（方程）為二次不等式 （方程）.這是題目中的隱含信息.

例4.某班星期三有五節(jié)課：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化 學(xué)、外語(yǔ)，要求數(shù)學(xué)課必須排在化學(xué)課之前，則一共有 多少種不同的排法？

分析：本題中“數(shù)學(xué)課”“化學(xué)課”有特殊要求：數(shù) 學(xué)課必須排在化學(xué)課之前，這就說(shuō)明，數(shù)學(xué)課與化學(xué) 課的順序已經(jīng)確定，只需把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外 語(yǔ)這五門(mén)課程任意排列，有 A5 5 = 120 種情況.再除以數(shù) 學(xué)與化學(xué)之間可能的順序 A2 2 = 2 種，所以數(shù)學(xué)課必須 排在化學(xué)課之前的排法共有 120 2 = 60 種.

能否得出正確的答案，關(guān)鍵在于明確本題為定序問(wèn)題，而“定序”就隱藏在題目中：數(shù)學(xué)課必須排在化學(xué)課之前.我們需要仔細(xì)讀題，通過(guò)“消序”，即除以數(shù)學(xué)與化學(xué)之間的可能順序 A2（2）=2種，得到問(wèn)題的答案.

三、進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題較為復(fù)雜，我們無(wú)法或很難直接根據(jù)題意獲得問(wèn)題的答案，只有將問(wèn)題或其中的信息進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，才能順利找到解題的思路.這就需要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通起來(lái)，將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，如將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，將解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，等等.通過(guò)另辟蹊徑，求得問(wèn)題的答案.

例5.若對(duì)所有的實(shí)數(shù) x ，不等式 x2 log2 +2x log2 +log2 >0恒成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

分析：這是一個(gè)關(guān)于 x 的一元二次不等式恒成立 問(wèn)題，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行分析、求解，但解 題過(guò)程較為復(fù)雜，且 a 的值不確定，很難畫(huà)出準(zhǔn)確的 函數(shù)圖象.不妨將參數(shù)、變量分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 最值問(wèn)題來(lái)求解.令 log2 a + 1 2a = t ，則原不等式可化為 x 2 （3 + t）+ 2x（-t）+ 2t > 0 ，再以 t 為主元，將不等式變形 為 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 ，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 恒 成立時(shí) a 的值.而對(duì)于 x ∈ R ，總有 x 2 - 2x + 2 > 0 且 -3x 2 ≤ 0 成立，只需使 t = log2 a + 1 2a > 0 ，即 a + 1 2a > 1 即 可，解得 0 < a < 1 .

通過(guò)變更主元，將關(guān)于 x 的一元二次不等式恒成 立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 恒成立時(shí)a的值，根據(jù) 函數(shù)的性質(zhì)求 -3x 2 x 2 - 2x + 2 的最值，即可解題.這樣就能 化難為易，化繁為簡(jiǎn)，輕松獲得問(wèn)題的答案.

例6

解：

已知關(guān)系式比較復(fù)雜，由該式很難求得 ab 的最 大值，于是將兩式相乘，即可將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化.再令 2a + b = x ，2b + a = y ，通過(guò)換元，將目標(biāo)式化為兩式的 和 y x + 2x y ，且這兩式的積為定值，運(yùn)用基本不等式就 能快速求得ab的最大值.

例7

解：

我們先將不等式變形，使得參變量分離，即可將 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，求 y = x + 4 x - 1 在 （4，+∞） 上的最值，從而求得a的取值范圍.

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，只有認(rèn)真研究題意，挖掘問(wèn) 題的隱含條件，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，才能抓住問(wèn)題的核 心要點(diǎn)，從問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，探索出解題的方向，找到 簡(jiǎn)單、便捷的解題方案.

（作者單位：江蘇省如皋中學(xué)）