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    方程與不等式中的常見錯誤剖析

    2023-04-07 19:13:11郭金網(wǎng)
    初中生世界·九年級 2023年3期
    關(guān)鍵詞:錯因易錯一元二次方程

    郭金網(wǎng)

    方程與不等式是初中數(shù)學(xué)的核心知識,在中考中具有十分重要的地位,主要包括一元一次方程、二元一次方程(組)、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式(組)等。下面,老師結(jié)合幾道例題對方程與不等式中的易錯點進行剖析。

    一、概念理解不透徹

    例1 下列方程是關(guān)于x的一元一次方程的是( )。

    A.ax+b=0

    B.x(x+1)=x2+2x+1

    C.x+y=2

    D.x+[1x]=1

    【錯解】A(或C、D)。

    【錯因分析】本題出錯的原因是對一元一次方程的概念理解不清。一元一次方程的定義是:含有一個未知數(shù)且未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次的整式方程叫作一元一次方程。根據(jù)定義我們知道,一元一次方程應(yīng)該包含三個條件:(1)一個未知數(shù);(2)最高次數(shù)為一次;(3)整式方程。一元一次方程的一般式為ax+b=0(a≠0)。我們?nèi)绻袛嘁粋€方程是否為一元一次方程,可先將其化為一般式,再看它是否滿足上述三個條件。A選項未考慮a≠0;B選項應(yīng)先將其化為一般式再判斷;C選項有兩個未知數(shù);D選項是分式方程。

    【正確答案】B。

    二、忽視隱含條件

    例2 若關(guān)于x的分式方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]的解大于1,則m的取值范圍是 。

    【錯解】m>0。

    【錯因分析】本題出錯的原因是僅考慮方程的解大于1,而未考慮分式方程的隱含條件“分母不等于0”。方程與不等式的隱含條件主要有:一元一次方程ax+b=0中a≠0;一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0,利用韋達定理解題時要考慮b2-4ac≥0;分式方程中分母不等于0等。

    【正確答案】解方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4],得x=m+1,

    由題意得[m+1>1,m+1≠2,m+1≠-2,]

    解得m>0且m≠1。

    所以m的取值范圍是m>0且m≠1。

    三、臨界點理解有誤

    例3 關(guān)于x的不等式組

    [-x+a<2,3x-12≤x+1]恰有3個整數(shù)解,則a的取值范圍是 。

    【錯解】2<a<3(或2<a≤3、2≤a≤3)。

    【錯因分析】本題出錯的原因是對問題中的“恰有3個整數(shù)解”理解不到位,進而在確定a的取值范圍時,對其臨界點理解有誤所致。我們可以先求出不等式的解集,再根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定有哪幾個整數(shù)解,得到a的大致取值范圍,最后考慮哪些臨界值可以取到。

    【正確答案】解不等式組

    [-x+a<2,3x-12≤x+1,]得a-2<x≤3,

    由不等式組[-x+a<2,3x-12≤x+1]恰有3個整數(shù)解,可知整數(shù)解為1、2、3,進而a-2在0和1之間,再分別考慮當(dāng)a-2取臨界值0和1時,是否滿足題意,可得0≤a-2<1,解得2≤a<3。所以a的取值范圍是2≤a<3。

    通過上面三道題目的錯因分析,相信同學(xué)們對方程與不等式中的易錯點有了更深入的了解。下面有兩道練習(xí)題,請同學(xué)們試一試:

    1.若關(guān)于x的方程[mx-1x-1]=3無解,則m的值為( )。

    A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3

    2.關(guān)于x的不等式組

    [-13x>23-x,12x-1<12(a-2)]有且只有三個整數(shù)解,則a的最大值是( )。

    A.3 B.4 C.5 D.6

    (作者單位:江蘇省泰州市大泗學(xué)校)

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