怎樣解答三類零點問題

李凱

函數(shù)零點問題常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在各類試題中.此類問題側重于考查函數(shù)零點的定義、簡單基本函數(shù)的性質和圖象．常見的命題形式有：（1）求零點的所在區(qū)間；（2）求零點的個數(shù)；（3）根據(jù)已知的零點求參數(shù)的取值范圍.本文重點探討一下這三類函數(shù)零點問題及其解法.

一、判斷零點的所在區(qū)間

判斷零點的所在區(qū)間問題通常會以選擇題的形式出現(xiàn)，要求根據(jù)函數(shù)的解析式和四個選項，判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間.求解此類問題，常需運用二分法和零點存在性定理.其思路為：①判斷所求函數(shù)圖象在定義域內是否連續(xù)；②將定義域或區(qū)間的端點代入解析式中，求得端點處的函數(shù)值；③根據(jù)零點存在性定理判斷函數(shù)該區(qū)間內是否存在零點.若兩端點的函數(shù)值f（a）·f（b）＜0，說明函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點；若f（a）f（b）＞0，則需要取區(qū)間中點，判斷f（a）·f（a／b）和? 值的大小，進一步判斷零點的所在區(qū)間.

例1

首先根據(jù)題意可以明確所求函數(shù)是連續(xù)的;然后將選項中各個區(qū)間的端點值x = 1 ，、x = 2、x = 3、 x =4、x =5分別代入函數(shù)g（x）的解析式中，求得其對應的函數(shù)值;再根據(jù)零點存在性定理，判斷各個區(qū)間上端點處函數(shù)值的乘積是否小于0 ，即可得到正確的答案.

例2.已知函數(shù) f x= ln x+ x - ，則函數(shù)零點的所在區(qū)間為（??? ）.

在明確函數(shù) f x的圖象是連續(xù)的之后，即可根據(jù)零點存在性定理判斷各個區(qū)間上端點處的函數(shù)值之積是否小于0.值得注意的是，運用函數(shù)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在該區(qū)間上是否有零點，卻很難判斷出函數(shù)有幾個零點.

二、求零點的個數(shù)

要判斷函數(shù)零點的個數(shù)，不僅要先根據(jù)函數(shù)零點存在性定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，還需根據(jù)函數(shù)的圖象來確定函數(shù)零點的個數(shù).在借助圖象來討論函數(shù)零點的個數(shù)時，往往要根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，明確函數(shù)的單調性以及最值，這樣才能通過圖象準確地找到函數(shù)圖象與 x 軸的交點，求得函數(shù)零點的個數(shù).

例3.

根據(jù)函數(shù)零點的定義可知，函數(shù) y =f （x）的零點即為函數(shù) y =f （x）圖象與 x 軸的交點，也是方程 f （x）=0的根.于是令 g（x）=xf （x）-1=0，將問題轉化求兩個函數(shù) y =f （x）和 y = 的圖象在定義域內交點的個數(shù)問題.明確兩個函數(shù)的最值和單調性，畫出其圖象，通過分析其交點的情況，即可判斷出函數(shù)零點的個數(shù).

例4.

若在某個區(qū)間內函數(shù)只有一個零點，往往需根據(jù)零點存在性定理進行判斷.

三、根據(jù)已知的零點求參數(shù)的取值范圍

根據(jù)已知的零點求參數(shù)的取值范圍問題一般較為復雜，解答這類問題需要運用轉化思想、方程思想、數(shù)形結合思想來輔助解題.通常要把含參函數(shù)零點問題等價轉化為方程 f （x）= m （ m 為參數(shù)）有解或有幾個解的問題.根據(jù)題意找到滿足方程的解，建立關于參數(shù)的不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.

例5.

解：

解答本題，要先利用方程思想，將零點問題轉化為方程 f （x）+ m =g（x）有3個根的問題；再將問題轉化為函數(shù) y = m 與 g（x）-f （x）的圖象有3個交點；然后利用數(shù)形結合思想，結合圖象來研究兩函數(shù)有3個交點的情形，確定其極限情形，從而建立關于 m 的不等式，求得參數(shù) m 的取值范圍.

解答函數(shù)零點問題，需根據(jù)函數(shù)零點的定義，靈活運用轉化思想、方程思想、數(shù)形結合思想，將問題轉化為方程問題、圖象的交點問題，通過解方程、利用函數(shù)的圖象來求得問題的答案.

（作者單位：甘肅省張家川縣張川鎮(zhèn)中學）