馬麗麗
由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征,或者由個別事實概括出一般的結(jié)論,稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.歸納推理在解題中應(yīng)用廣泛,尤其在解答一些有規(guī)律的圖形變換問題時,運用觀察、實驗、分析、比較等手段,通過歸納推理,由個別現(xiàn)象推理到一般的情形,便可快速總結(jié)出圖形變換的規(guī)律,求得問題的答案.
例1.2022年北京冬奧會開幕式中節(jié)目《構(gòu)建一朵雪花》開始后,一朵巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺的中央,十分壯觀.這種圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”,又稱為“科克曲線”,是瑞典數(shù)學(xué)家科克在1904年研究的一種分形曲線.“雪花曲線”是把一個正三角形的每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊,重復(fù)進(jìn)行這一過程無數(shù)次,得到的閉合曲線.
若上圖中的第1個圖形中的三角形的周長為1,
則第10個圖形的周長為(? ) .
解:
仔細(xì)觀察前四個圖形,可發(fā)現(xiàn)圖形的邊數(shù)與周長之間存在一定的規(guī)律:當(dāng) n=1,2,3,…,n 時,這 n 個圖形的周長可構(gòu)成以1為首項,為公比的等比數(shù)列.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出 an 的表達(dá)式,經(jīng)檢驗該結(jié)論正確,由此可斷定第10個圖形的周長為a10= ?(?)9.
歸納推理不是證明方法,只是一種猜測結(jié)果的途徑,通過歸納,推理出的結(jié)論不一定準(zhǔn)確,所以在求得問題的答案后,我們還需進(jìn)一步對其加以嚴(yán)格證明和檢驗答案的正確性.
例2.
解:
我們通過觀察圖形,由 n=3,4,5,6時逐步進(jìn)行推理,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律:其頂點的個數(shù)與 n 的取值密切相關(guān),由此歸納推理出第 n 個圖形中頂點的個數(shù)為(n+2)+(n+2)(n+2)=(n+2)(n+3).
例3.
細(xì)心觀察,尋找每一項與相鄰項、每一項與序號之間的關(guān)系,同時聯(lián)系等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,即可從圖中歸納出遞推關(guān)系,從而把圖形變換問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題來求解.
例4.線性分形又稱為自相似分形,其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換的過程中具有不變性,通過不斷迭代生成無限精細(xì)的圖形.一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示,若第1個圖形中正六邊形的邊長為1,周長與面積分別記為 a1,S1,第2個圖形中所有正六邊形的周長之和與面積之和分別記為 a2,S2.若第 n 個圖形中所有正六邊形的周長之和與面積之和分別記為 an , Sn ,第 n 個圖形中每個正六邊形的邊長是第 n-1個圖形中每個正六邊形邊長的 ,則下列說法正確的是(? ) .
解:對于 A 項,由圖可知,第1個圖形中至第 n 個圖形中正六邊形的個數(shù)構(gòu)成以1為首項,7為公比的等比數(shù)列,故第4個圖形中共有73=343個正六邊形,所以 A項不正確.
從本題可以看出,通過歸納推理,可將圖形變換問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.通過探討數(shù)列的性質(zhì)、求數(shù)列的通項和數(shù)列和,就能順利求得問題的答案.
通過上述分析可知,對于有規(guī)律的圖形變換問題,一般可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求解.其解題步驟如下:(1)比較、分析圖形結(jié)構(gòu)每一次發(fā)生變化前后的數(shù)值;探尋圖形中數(shù)量的變化規(guī)律;(2)根據(jù)這些數(shù)據(jù),構(gòu)建一個數(shù)列的前幾項,并將其看作完整的數(shù)列;(3)探尋數(shù)列的性質(zhì),求數(shù)列的通項和數(shù)列和;(4)通過計算,得出結(jié)論,并檢驗所得的結(jié)果.
(作者單位:江蘇省靖江高級中學(xué))
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬2023年1期